Основы теории ошибок измерений

Процесс измерений протекает во времени и определенных условиях, в нём участвуют объект измерения, измерительный прибор, наблюдатель и среда, в которой выполняют измерения. В связи с этим на результаты измерений влияют качество измерительных приборов, квалификация наблюдателя, состояние измеряемого объекта и изменения среды во времени. При многократном измерении одной и той же величины из-за влияния перечисленных факторов результаты измерений могут отличаться друг от друга и не совпадать со значением измеряемой величины. Ни одну физическую величину нельзя измерить абсолютно точно. Это означает, что истинное значение измеряемой величины нам, строго говоря, неизвестно. Экспериментальное значение измеряемой величины всегда отличается от ее истинного значения. Разность между результатом измерения и действительным значением измеряемой величины называется абсолютной ошибкой (погрешностью) результата измерения.

. (1)

Относительной ошибкой называется величина

. (2)

По характеру и свойствам ошибки подразделяют на:

грубые;

систематические;

случайные.

Грубые ошибки (просчеты, промахи) легко обнаружить при повторных измерениях или при внимательном отношении к измерениям.

Систематические ошибки - те, которые действуют по определенным законам и сохраняют один и тот же знак. Систематические ошибки можно учесть в результатах измерений, если найти функциональную зависимость и с её помощью исключить ошибку или уменьшить её до малой величины.

Случайные ошибки - результат действия нескольких причин. Величина случайной ошибки зависит от того, кто измеряет, каким методом и в каких условиях.

Случайными эти ошибки называются потому, что каждый из факторов действует случайно. Их нельзя устранить, но уменьшить влияние можно увеличением числа измерений.

За погрешность шкалы измерительного прибора принимают обычно полцены деления.

3. Свойства случайных ошибок измерений

ошибка косвенный измерение точность

Теория ошибок изучает только случайные ошибки. Это означает, что измеренные значения x_эксп случайным образом разбросаны вокруг истинного значения X. Соответственно, величины Дx случайным образом распределены вокруг нуля.

Случайные ошибки имеют следующие свойства:

1. Чем меньше по абсолютной величине случайная ошибка, тем она чаще встречается при измерениях.

2. Одинаковые по абсолютной величине случайные ошибки одинаково часто встречаются при измерениях.

3. При данных условиях измерений величина случайной погрешности по абсолютной величине не превосходит некоторого предела. Под данными условиями подразумевается один и тот же прибор, один и тот же наблюдатель, одни и те же параметры внешней среды. Такие измерения называют равноточными.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок стремиться к нулю при неограниченном возрастании числа измерений.

Три первых свойства случайных ошибок достаточно очевидны. Четвертое свойство вытекает из второго.

4. Оценка точности результатов измерений

Под точностью измерений понимается степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Точность результата измерений зависит от условий измерений.

Теория говорит, что при произведении серии измерений наиболее близко к истинному значению измеряемой величины лежит среднее арифметическое серии измерений:

. (3)

Распределение случайной величины вокруг среднего значения описывается функций вероятности. Функция, удовлетворяющая свойствам случайных ошибок, имеет следующий вид:

Рис.1. Распределение случайной величины вокруг среднего значения

Функция f(x) называется функцией вероятности распределения. Каждое значение функции f(x) на этом графике равно вероятности того, что случайная величина с данным значением x попадет в интервал [x, x+dx]. Здесь m - это среднее значение измеряемой величины при бесконечно большом количестве измерений:

 (4)

В математике эту величину называют математическим ожиданием случайной величины и обозначают как M[x]. Считается, что при бесконечно большом числе измерений математическое ожидание равно истинному значению измеряемой величины. В дальнейшем вся математическая теория строится в предположении n->?, а для конечного числа измерений вводят соответствующие поправки.

Наиболее распространенное выражение для функции f(x) - так называемое нормальное распределение Гаусса:

(5)

Величина у называется средним квадратичным отклонением (или ошибкой) величины x, а у² называется дисперсией.

Функция f(x) нормирована на 1:

,

т. е. площадь под кривой равна 1. Обычно в теории принимают m = 0 и кривые рисуют в следующем виде:

Рис.2. Математическое ожидание m = 0. Кривая I соответствует самому большому значению у, кривая III - самому малому

Правило тех сигма: диапазон возможных значений случайной величины укладывается в интервал:

(6)

Рис.3. Заштрихованные области имеют площадь, обозначенную соответствующими цифрами

5. Закон распределения ошибок

Ошибки отдельного измерения Дx также представляют собой случайную величину, которая подчиняется нормальному закону распределения:

(7)

Здесь у - среднеквадратичная ошибка отдельного измерения.

Среднеквадратичные ошибки среднего значения у_ср и отдельного измерения у_i связаны следующим образом. Среднеквадратичная ошибка отдельного измерения вычисляется по формуле:

, (8)

средняя квадратичная ошибка среднего значения:

(9)

Отсюда:

(10)

Величина у_ср показывает, насколько полученное среднее значение отличается от истинного значения.

Пусть б означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину не более Дx:

.

б называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности.

Доверительный интервал:

Чем больше надежности мы требуем, тем больше получается доверительный интервал. И наоборот: чем шире мы возьмем доверительный интервал, тем больше надежность, т. е. меньше вероятность получить результат, не совпадающий с нашим.

Для б = 0,68:

Для б = 0,95:

Для б = 0,997:

6. Обработка большого числа измерений (n > 30)

Вычисляется среднее арифметическое

Вычисляются отклонения каждого измерения:

Вычисляется среднеквадратичная ошибка среднего значения:

(11)

Величина у показывает, насколько полученное среднее значение отличается от истинного значения.

Затем выбирается доверительная вероятность б и ошибка вычисляется как

Дx = ±е*у,

где е - коэффициент, зависящий от выбранной надежности б.

Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая надежность. Результаты таких расчетов приводятся в справочниках.

7. Обработка небольшого числа измерений

Для расчета ошибки при малом числе измерений вводят коэффициент Стьюдента, и доверительную вероятность (надежность) записывают в виде

Для различных n и б коэффициенты Стьюдента разные. Для большинства практических случаев достаточно взять б = 0,95. Тогда для n = 5 t = 2,776

n = 30 t_б = 2,045.

Для распределения Гаусса t_0,95 = 2.

Ошибку вычисляют как

.

Результат записывают в виде

.

Полученные результаты округляют. Ошибку округляют до одной значащей цифры, а результат - до точности ошибки. Размерность выносят за скобки. Результат принято записывать так, чтобы перед запятой была одна значащая цифра. Тогда виден порядок величины. Например:

t = 253, 876534±0,578 с

Записывается как

t = (2,538±0,006)*10² с.

8. Вычисление ошибки при косвенных измерениях

В случае косвенных измерений искомая величина X вычисляется как функция других величин, которые измеряются экспериментально:

X = f(x₁, x₂, x₃, …, x_n).

Абсолютная ошибка таких измерений вычисляется по формуле:

Здесь Дx, Дy, и т. д. - ошибки измеряемых величин.

Относительная ошибка косвенных измерений вычисляется по формуле:

Размещено на Allbest.ru