Основы теории вероятностей
Ознакомление с общими характеристиками теории вероятности. Применение теоремы Бернулли, формулы полной вероятности, центральной предельной теоремы. Сложение и умножение вероятностей. Нахождение оптимального решения, руководствуясь "правилом Лапласа".
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.11.2015 |
| Размер файла | 28,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача 1
Стрелок стреляет по мишени. Вероятность падания в мишень при одном выстреле р = 0,7. Какова вероятность того, что при пяти выстрелах в мишени будут ровно два попадания?
Решение. Поскольку от выстрела к выстрелу вероятность попадания не меняется, а события попадания в мишень события независимые, то применима теорема Бернулли:
вероятность теорема бернулли лаплас
Рm,n = Cnm pm qn - m,
где Рm,n - вероятность того, что в n испытаниях интересующее нас событие реализуется ровно m раз;
Cnm - число сочетаний из n элементов по m элементам;
q = 1- р.
Имеем
Р2,5 = • 0,72 • 0,33 = • 0,49 • 0,027 = • 0,49 • 0,027= • 0,49 • 0,027=0.1323
Ответ: 0.1323
Задача 2
Вероятность пассажиру "маршрутки" попасть в аварию в дождливую погоду равна 0,05; в сухую погоду - 0,01. По прогнозу погоды ожидается, что предстоящий день будет дождливым с вероятностью 0,8. Какова вероятность попасть в аварию, если добираться до места проведения занятий на "маршрутке"?
Решение. Задача на применение формулы полной вероятности.
Р(A) = P(Hi) • P(A/Hi),
где Р(A) - вероятность интересующего нас события А;
P(Hi) - вероятность реализации i-й гипотезы;
P(A/Hi) - условная вероятность реализации события А, при реализации i-й гипотезы;
n - общее число гипотез.
При этом должно выполняться условие Р(Hi) = 1.
Применительно к нашей задаче имеем Р(H1) = 0,8 - вероятность дождливой погоды. Р(H2) = 1 - P(H2) = 1 -0,8 = 0,2 - вероятность сухой погоды. Тогда вероятность попасть в аварию P(A) = 0,8 • 0,05 + 0,2 • 0,01 = 0.04 + 0,002 = 0,042
Ответ: 0,042
Задача 3
Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попасть в мишень у первого стрелка Р1 = 0,4, у второго Р2 = 0,7. Какова вероятность поразить мишень? Какова вероятность того, что в мишень будет поражена только одним стрелком?
Решение. Задача на сложение и умножение вероятностей.
Для того чтобы мишень была поражена, достаточно, чтобы при двух выстрелах, произведенных двумя стрелками, в мишени было хотя бы одно попадание.
Это событие противоположно событию не поражения мишени. Тогда сначала вычисляем вероятность не поражения мишени.
Это произойдет тогда, когда и первый, и второй стрелок промахнутся.
Р(не А) = (1 - 0,4)•(1 - 0,7) = 0,18.
Р(А) = 1 - Р(не А) = 1 - 0,18 = 0,82.
В мишени будет одно попадание, если первый стрелок попадет в мишень, а второй - совершит промах, или первый стрелок совершит промах, а второй - попадет в цель. События "попадание в мишень" и "промах" независимые, а события, в результате которых в мишени только одно попадание, не совместны. Поэтому можем вычислить искомую вероятность того, что в мишени окажется только одно попадание по схеме:
Р1 = 0,4 • (1 - 0,7) + (1 - 0,4) • 0,7 = 0,12 + 0,42 = 0,54.
Ответ: а) 0,82; б) 0,54.
Задача 4
Пусть требуется организовать работу по озеленению территории города. Для этого требуется завезти на территорию чернозем. Но количество чернозема, взятого с поля, зависит от погодных условий. Поэтому количество тонн чернозема, взятого за один день с поля, является случайной величиной с рядом распределения
|
0 т |
20 т |
40 т |
|
|
0,1 |
0,7 |
0,2 |
Сколько тонн чернозема необходимо подготовить на поле, чтобы его хватило для вывоза с поля в течение квартала (90 дней) с вероятностью 0,9545?
Решение. Задача на применение центральной предельной теоремы. Ее целесообразно решать в следующей последовательности.
1) Определяем математическое ожидание количества тонн чернозема, вывезенного с поля за один день. М1 = 0 • 0.1+ 20 • 0.7 + 40 •0.2= 22 т.
2) Определяем дисперсию количества вывезенного за день чернозема:
D1 = M1[X2} - M12 = 0 • 0.1 + 202 • 0.7 + 402 •0.2 - 222 = 116 т2.
3) Считаем, что количество взятого с поля за один из каждых 90 дней чернозема - независимые одинаково распределенные случайные величины. Тогда в соответствии с центральной предельной теоремой закон распределения суммы таких случайных величин приближенно нормальный с параметрами М90 = 90М1 и D90 = 90D1. При этом известно, что вероятность отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания в любую сторону менее, чем на "одну сигму" равна 0,6827, на "две сигмы" - 0, 9545, на "три сигмы" - 0,9973, где "сигма" - среднее квадратическое отклонение.
4) Определяем математическое ожидание тонн чернозема, взятого с поля за 90 дней: М90 = 90 • 22 = 1980 т
5) Определяем дисперсию и среднее квадратическое отклонение тонн чернозема, взятое с поля за 90 дней: D90 = 90 • 116 = 10 440 т2.
?90 = = 102.176 т.
6) Для того, чтобы с вероятностью 0,9545 хватило чернозема для вывоза в течение квартала, его на поле должно быть на "две сигмы" больше математического ожидания.
Т.е. количество тонн = М90 + 2?90 = 1980 + 2 • 102.176 = 2184.352 т.
Ответ: 2184.352 т.
Задача 5
Пусть задана матрица значений доходов, которые может получить фирма при принятии решений в определенных ситуациях
Принять оптимальное решение, руководствуясь "правилом Лапласа".
Решение. Данная задача относится к классу задач принятия решения в условиях полной неопределенности. Матрица последствий Q отражает величину доходов qij , которые может получить фирма, когда лицо, принимающее решения, примет i-е решение, а ситуация будет развиваться по j -у варианту. Здесь i - номер строки матрицы, j - номер столбца матрицы Q. Таким образом, лицо, принимающее решения, вольно в выборе номера строк, но номер столбца после выбора номера строки реализуется случайным образом, причем никаких предпочтений у лица, принимающего решения, насчет номера столбца нет. Критерий Лапласа. Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q1 = q2 = ... = qn = 1/n. qi = 1/4
|
Ai |
П1 |
П2 |
П3 |
П4 |
?(aij) |
|
|
A1 |
1.25 |
0.75 |
2 |
1.5 |
5.5 |
|
|
A2 |
1 |
1.5 |
1.75 |
3 |
7.25 |
|
|
A3 |
2 |
1.25 |
0.75 |
2.5 |
6.5 |
|
|
A4 |
0.75 |
1.25 |
1.5 |
2 |
5.5 |
|
|
pj |
0.25 |
0.25 |
0.25 |
0.25 |
0 |
Выбираем из (5.5; 7.25; 6.5; 5.5) максимальный элемент max=7.25 Условию максимума среднего ожидаемого дохода соответствует решение №2, выбираем стратегию N=2. Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A2.
Ответ: Правило Лапласа рекомендует принять второе решение.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.
практическая работа [55,0 K], добавлен 23.08.2015Возникновение теории вероятности как науки. Классическое определение вероятности. Частость наступления события. Операции над событиями. Сложение и умножение вероятности. Схема повторных независимых испытаний (система Бернулли). Формула полной вероятности.
реферат [175,1 K], добавлен 22.12.2013Случайные события, их классификация. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Аксиоматическое и геометрическое определение вероятности. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
реферат [1,4 M], добавлен 18.02.2014Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.
контрольная работа [309,4 K], добавлен 18.09.2010Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
контрольная работа [29,7 K], добавлен 24.09.2008Возникновение теории вероятностей как науки, вклад зарубежных ученых и Петербургской математической школы в ее развитие. Понятие статистической вероятности события, вычисление наивероятнейшего числа появлений события. Сущность локальной теоремы Лапласа.
презентация [1,5 M], добавлен 19.07.2015Практическое применение теории вероятностей. Методы решения задач, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. Формула Бернулли для описания вероятности наступления события. Биномиальное распределение и формулировка теоремы о повторении опытов.
презентация [47,1 K], добавлен 01.11.2013Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Общая характеристика сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений. Значение метода характеристических функций в теории вероятностей. Методика решения задач о типах сходимости. Анализ теоремы Ляпунова и Линдеберга.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 22.07.2011Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере надёжности электрической схемы. Примеры решения задач с игральными костями, выигрыша в лотерею, вероятности брака и др. Биноминальный закон распределения: решение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [74,4 K], добавлен 31.05.2010Закон распределения случайной величины дискретного типа (принимающей отдельные числовые значения). Предельные теоремы схемы Бернулли. Вычисление вероятности появления события по локальной теореме Муавра-Лапласа. Интегральная формула данной теоремы.
презентация [611,2 K], добавлен 17.08.2015Формулировка и доказательство теоремы о сложении вероятностей двух несовместных событий. Следствие теоремы в случае, когда события составляют полную группу несовместных событий, и в случае противоположных событий. Примеры вычисления вероятности событий.
презентация [77,5 K], добавлен 01.11.2013Правила применения уравнения Бернулли для определения возможности наступления события. Использование формул Муавра-Лапласа и Пуассона при неограниченном возрастании числа испытаний. Примеры решения задач с помощью теоремы Бернулли о частоте вероятности.
курсовая работа [265,6 K], добавлен 21.01.2011Теория вероятности, понятие вероятности события и её классификация. Понятие комбинаторики и её основные правила. Теоремы умножения вероятностей. Понятие и виды случайных величин. Задачи математической статистики. Расчёт коэффициента корреляции.
шпаргалка [945,2 K], добавлен 18.06.2012Применение классического определения вероятности для нахождения среди определенного количества деталей заданных комбинаций. Определение вероятности обращения пассажира в первую кассу. Использование локальной теоремы Муавра-Лапласа для оценки отклонения.
контрольная работа [136,0 K], добавлен 23.11.2014Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.
контрольная работа [129,1 K], добавлен 03.12.2010Основные понятия, которые касаются центральной предельной теоремы для независимых одинаково распределенных случайных величин и проверки статистических гипотез. Анализ сходимости последовательностей случайных величин и вероятностных распределений.
курсовая работа [582,0 K], добавлен 13.11.2012Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Показатели безотказности как показатели надежности невосстанавливаемых объектов. Классическое и геометрическое определение вероятности. Частота случайного события и "статистическое определение" вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
курсовая работа [328,1 K], добавлен 18.11.2011Понятие вероятности, математического ожидания, закона больших чисел, динамика их развития. Введение аксиоматического определения понятия вероятности математического ожидания. Теоремы Бернулли и Пуассона как простейшие формы закона больших чисел.
дипломная работа [388,7 K], добавлен 23.08.2009
