Применение теории вероятности на практике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное

бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Факультет: Финансы и кредит

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика»

Студентка: Коханская Е.Ю.

Курс: 2 № группы: ЗСПЗ-ЭК201

Преподаватель: Бутковский О.Я.

Владимир 2014

1. На складе имеется 20 приборов, из которых два неисправны. При отправке потребителю проверяется исправность приборов.

Найти вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными.

Решение:

Испытание (опыт) заключается в выборе наудачу 3 приборов со склада, на котором имеется 20 приборов (из которых 18 исправны и 2 неисправны).

Элементарным событием (исходом испытания) является полученный набор из трёх приборов.

Число всех возможных исходов испытания:

Пусть событие А заключается в том, что три первых проверенных прибора окажутся исправными.

Число исходов, благоприятствующих появлению события А (выбор трёх исправных приборов из ):

.

Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:

Ответ: вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными, равна 0,716.

2. В типографии имеется пять плоскопечатных машин. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9.

Найти вероятность того, что в данный момент работает:

а) две машины;

б) хотя бы одна машина

Решение:

а) Р=0.9 - вероятность того, что 1 машина работает

т.е. вероятноcть работы 2 машин: p = 0,9*0,9=0,81 => 81%

б) Так как события «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) противоположные, то сумма их вероятностей равна единице:

p+q= 1

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна

q=1- 0,9=0,1.

Искомая вероятность

Р(А)= 1- q5=1-(0,1)5=1- 0,00001=0,99999=99%

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то, на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий, мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Ответ: а) вероятность того, что в данный момент работает две машины = 81%

б) вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина= 99 %

3. При выпуске телевизоров количество экземпляров высшего качества в среднем составляет 80%. Выпущено 400 телевизоров.

Найти:

а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высшего качества;

б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества.

Решение:

В этой задаче мы имеем дело с независимыми испытаниями, каждое из которых заключается в исследовании качества выпущенного телевизора. Число испытаний в нашем случае .

Событие состоит в том, что выпущенный телевизор высшего качества.

а) Вычислить искомую вероятность появления события ровно 300 раз в 400 испытаниях по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Искомую вероятность можно вычислить, используя асимптотическую (приближённую) формулу Муавра - Лапласа.

Воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа: если вероятность наступления события в каждом из испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность вычисляется по приближённой формуле

Где - вероятность наступления события в каждом из испытаний,

- вероятность ненаступления события в каждом из испытаний,

- функция Гаусса.

Итак, событие состоит в том, что выпущенный телевизор высшего качества; вероятность наступления события в каждом из испытаний ; вероятность ненаступления события в каждом из испытаний ; число испытаний .

Значит вероятность того, что из 400 выпущенных телевизоров 300 высшего качества:

.

По таблице значений функции Гаусса находим: .

Следовательно, .

б) Воспользуемся следствием интегральной теоремы Муавра - Лапласа: если вероятность р наступления события А в каждом из испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность заданного отклонения относительной частоты (частости ) появления события А от его вероятности вычисляется по приближённой формуле

Где р - вероятность наступления события А в каждом из испытаний,

q - вероятность ненаступления события А в каждом из испытаний,

п - число испытаний, - заданное отклонение.

 - функция Лапласа.

вероятность случайный величина ожидание

В нашем случае ; ; число испытаний .

Найдём отклонение , при котором , то есть в силу следствия интегральной теоремы Муавра - Лапласа

Итак, найдём из выражения

: .

По таблице значений функции Лапласа находим: .

Следовательно

, откуда

Значит с вероятностью 0,9907 можно ожидать отклонение относительной частоты появления события от .

Таким образом, границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества: .

Другими словами, с вероятностью 0,9907 доля телевизоров высшего качества составляет от 74,8 % до 85,2 %.

Ответ: а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высшего качества равна 0,0022;

б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества от 74,8% до 85,2%.

4. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад отбирают две детали. Составить закон распределения случайной величины - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Решение:

Дискретная случайная величина - число стандартных деталей среди отобранных деталей - имеет следующие возможные значения: , , .

Найдём вероятности , , этих возможных значений.

Искомый закон распределения дискретной случайной величины , соответственно, будет иметь вид:

Х
Р

Испытание (опыт) заключается в случайном выборе двух деталей из партии, содержащей 8 деталей (6 стандартных и 2 нестандартных).

Элементарным событием (исходом испытания) является полученный набор из 2 деталей.

Число всех возможных исходов испытания:

.

Число исходов, благоприятствующих тому, что число стандартных деталей среди отобранных деталей (то есть среди отобранных деталей 0 стандартных и 2 нестандартных):

.

Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:

.

Число исходов, благоприятствующих тому, что число стандартных деталей среди отобранных деталей (то есть среди отобранных деталей 1 стандартная и 1 нестандартная):

.

Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:

.

Число исходов, благоприятствующих тому, что число стандартных деталей среди отобранных деталей (то есть среди отобранных деталей 2 стандартных и 0 нестандартных):

.

Воспользовавшись классическим определением вероятности, получаем:



Сумма вероятностей

.

Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Х	0	1	2
Р

Найдём математическое ожидание и функцию распределения случайной величины .

Математическое ожидание дискретной случайной величины :

Дисперсия дискретной случайной величины Х:

, где .

,

значит

.

Функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения) случайной величины задаётся формулой .

При построении функции будем получать её аналитическое выражение на каждом промежутке разбиения числовой прямой точками, соответствующими значениям заданной случайной величины, используя теорему сложения вероятностей несовместных событий:

a) для , так как в данном случае мы имеем дело с вероятностью невозможного события (в частности для );

b) для (в частности для );

c) для (в частности для );

d) для

.

Обобщая полученные данные, можно записать:

Ответ: ; ; ;

1. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице.

Количество дней пребывания на больничном листе	Менее 3	3-5	5-7	7-9	9-11	Более 11	Итого
Число сотрудников	6	13	24	39	8	10	100

Найти:

а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б)) можно гарантировать с вероятностью 0,98.

Решение:

а) Выберем число больничных, в каждом из интервалов (середина интервала). В начальном интервале примем значение 2 дня. В конечном 12 дней, в прочих середину интервала.

Выборочная средняя равна:



Выборочная дисперсия:

Тогда:

найдём значение t из соотношения

Значения Ф(t) взяты из соответствующих таблиц.

б) В выборке доля таких сотрудников равна:

Полагая генеральную совокупность много большей, по сравнению с 100 имеем для требуемой величины:

Тогда искомые границы:

в) Объём для данного вида выборки и данной вероятности (t=2,33):

Ответ: а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день, равна 0,999;

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней от 47,3% до 66,7%;

в) объем бесповторной выборки с вероятностью 0,98 равен 141сотруднику.

3. Распределение 110 образцов полимерных композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов Х (%) и водопоглощению Y (%) представлено в таблице.

y x	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	Итого
5-15	17	4					21
15-25	3	18	3				24
25-35		2	15	5			22
35-45			3	13	7		23
45-55					6	14	20
Итого	20	24	21	18	13	14	110

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние , построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости ? = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% нефтешламов.

Решение:

Х У	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	Итого
	20	30	40	50	60	70
5-15	10	17	4					21
15-25	20	3	18	3				24
25-35	30		2	15	5			22
35-45	40			3	13	7		23
45-55	50					6	14	20
Итого	20	24	21	18	13	14	110

1). Вычислим групповые средние значения :

у1 = 20%

у2 = 30%

у3 = 40%

у4 = 50%



у5 = 60%

у5 = 70%

	11,5	19,17	30	37,22	44,62	50
уj	20	30	40	50	60	70

В таблице записана функциональная зависимость между и уj, или корреляционная зависимость х по у.

Вычислим групповые средние значения :

х1 = 10

%

х2 = 20

%

х3 = 30

%

х4 = 40

%

х5 = 50

%

хi	10	20	30	40	50
	21,9	30	41,36	51,74	67

В таблице записана функциональная зависимость между и xi, или корреляционная зависимость у по х.

Построим эмпирические линии регрессии:

2). Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найдем уравнения прямых регрессии.

Случайная величина Х - содержание нефтешламов, %

(%)



Случайная величина Y - содержание водопоглащения, %.

%

Найдем ковариацию :

Где

Вычислим коэффициент регрессии у по х и составим уравнение этой зависимости:

у = 1,117 х + 8,792

Вычислим коэффициент регрессии х по у и составим уравнение соответствующей зависимости:

х = 0,797 у -3,744

Построим графики прямых регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии:

б) Вычислим коэффициент корреляции:

Т.е. связь между переменными Х и Y (степенью автоматизации производства и ростом производительности труда) прямая, тесная.

Оценим значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента:

Расчетное значение критерия Стьюдента больше табличного

tтабл.(?=0,05; k=108) = 1,6591, следовательно коэффициент корреляции является значимым.

в) Определим, используя уравнение регрессии у по х, средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% нефтешламов:

х = 35 %

у = 1,117 *35 + 8,792=47,887

Т.е. средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% нефтешламов, составит 47,9%.

Размещено на Allbest.ur

...