Вища математика для студентів І курсу лікувального факультету
Загальна характеристика використання методів математичного аналізу в медико-біологічній практиці. Розгляд функції та її похідних. Застосування диференціалу для наближених розрахунків. Основи інтегрального числення. Поняття про диференціальні рівняння.
| Рубрика | Математика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 17.11.2015 |
| Размер файла | 388,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Зміна інтенсивності світла (-dI) пропорційна інтенсивності світла I та товщині поглинаючого шару d:
-dI=kId(4.1)
Отримане рівняння є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінами.
На даному прикладі ми бачимо, що не можна безпосередньо встановити зв'язок між шуканою величиною y(I) і незалежною зміною x(), а лише зв'язок між x, y і похідними або диференціалами різних порядків, тобто записати вираз, який називається диференціальним рівнянням.
Диференціальним називається рівняння, яке містить незалежну зміну x, шукану функцію y=f(x) та її похідні y,y….y:
F( x, y, y,….y)=0(4.2)
Замість похідних можуть входити диференціали, як у рівнянні (4.1).
Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної у цьому рівнянні.
Розв'язком диференціального рівняння називається будь-яка функція y=f(x), яка перетворює це рівняння в тотожність після підстановки y=f(x).
Основним завданням теорії диференціальних рівнянь є знаходження всіх розв'язків даного диференціального рівняння. В простих випадках це завдання зводиться до обчислення інтеграла, поза як шукана функція знаходиться під знаком похідної або диференціала.
Будь-який розв'язок, який містить стільки довільних сталих, який порядок рівняння, називається загальним розв'язком.
Розв'язки, які отримали із загального розв'язку шляхом надання довільним сталим певних числових значень, називаються частковими розв'язками.
Приклад 2. Загальний розв'язок рівняння (4.1) має вигляд : , де С-константа інтегрування. Знайти частковий розв'язок при умові, що при =0, І =Іо.
Розв'язання. В рівняння підставляємо значення =0 i I=Io:
4.2 Диференціальні рівняння першого порядку,що розв'язуються безпосереднім інтегруванням
Загальний вигляд диференціального рівняння першого порядку такий:
(4.3)
Рівняння (4.3), розв'язане відносно має вигляд :
(4.4)
Вважається, що функція однозначно визначена в деякій області і шукаються інтеграли, що належать до цієї області.
Щоб проінтегрувати рівняння ( 4.4 ) необхідно відокремити змінні, тобто надати рівнянню ( 4.4 ) вид:
(4.5)
Рівняння ( 4.5 ) називається рівнянням з відокремленими змінними. Загальний інтеграл цього рівняння знаходиться безпосереднім інтегруванням.
(4.6)
Розглянемо рівняння типу
Для його розв'язання необхідно виконати такі дії:
1) Похідну записати через відношення диференціалів: .
2) Відокремити змінні, для чого всі члени рівняння, які містять "у", перенести в ліву частину, а члени рівняння з "х" - в праву:
3) Про інтегрувати ліву частину по аргументу "у", а праву - по аргументу "х":
Аналогічно розв'язується диференціальне рівняння типу y'=f(y):
, ,
Рівняння типу : , в припущенні , перетворюється до вигляду:
(4.7)
(4.8)
З рівності (4.8) випливає, що первісні можуть відрізнятися тільки на адитивну сталу.
Приклад 1.
Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
; ; ;
Приклад 2. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
; ; ;
Приклад 3.
Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
; ; ; ;
Приклад 4.
Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
; ; ; ;
4.3 Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінами
Рівняння вигляду:
(4.9)
називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Його можна привести до рівняння з відокремленими змінними шляхом ділення обох частин рівняння на вираз :
,
Звідки
(4.10)
Загальний інтеграл рівняння ( 4.10) має такий вигляд :
Ми не будемо розглядати та аналізувати випадки коли дорівнюють нулю.
Приклад 1. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
4.4 Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальне рівняння:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0(4.11)
називається однорідним, якщо відношення можна подати як функцію відношення, тобто надати рівнянню вигляду:
(4.12)
Однорідне диференціальне рівняння (4.12) приводиться до вигляду рівняння з відокремлюваними змінними підстановкою , звідки
Продиференціюємо :
Тепер рівняння (4.12) матиме вигляд:
,(4.13)
який дозволяє відокремити змінні:
,
Виконавши інтегрування, отримаємо:
Приклад 1. Знайти загальний вигляд диференціального рівняння
Зробимо підстановку y=tx, звідки dy=tdx+xdt Отримаємо:
Відокреми0мо змінні
Звідки
4.4 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальні рівняння першого порядку (4.11)називається лінійним, якщо відношення містить у тільки в першій степені("лінійно").
Лінійні рівняння прийнято записувати у вигляді:
(4.14)
де Р(х) і Q(x) -неперервні функції від х.
Якщо Q(x)=0, то рівняння ( 4.14 ) називається лінійним рівнянням без правої частини.
У цьому випадку змінні відокремлюються, і загальний розвязок має вигляд:
(4.15)
Загальний розв'язок рівняння (4.14)шукаємо у вигляді добутку функцій:
(4.16)
Знайдемо і підставимо в рівняння( 4.14 )
або
(4.17)
Скористаємось правилом довільного вибору однієї з функцій u(x) або v(x) і виберемо функцію v(x) як один із розв'язків рівняння
(4.18)
Рівняння (4.18) є лінійним рівнянням без правої частини. На основі (4.15) записуємо один із розв'язків:
При такому виборі функції v(x) рівняння ( 4.17 ) матиме вигляд
Або
(4.19)
Знаходимо u(x):
(4.20)
Тоді на основі ( 4.16 ) загальний розв'язок рівняння ( 4.14 ) матиме вигляд:
(4.21)
Приклад. Розв'язати диференціальне рівняння
Зробимо підстановку звідки Отримаємо:
На функцію v(x) накладаємо умову за якою
Знаходимо розв'язок цього рівняння
Функцію u(x) визначаємо з рівняння
Загальний розв'язок рівняння матиме вигляд
4.5 Диференціальні рівняння другого порядку
Загальний вигляд диференціального рівняння другого порядку такий:
(4.22)
Ми розглянемо тільки ті диференціальні рівняння другого порядку, які можуть бути записані у вигляді, розв'язаному відносно :
(4.23)
Розглянемо рівняння типу:
(4.24)
яке не містить шуканої функції та її похідної. Такі рівняння допускають пониження свого порядку, шляхом введення нової змінної.
Введемо нову функцію u(x), позначивши , тоді
Тепер маємо:
(4.25)
Рівняння типу:
(4.26)
Називаються диференціальними рівняннями другого порядку, що не містять шукану функцію.
Ввівши нову змінну , отримаємо рівняння першого порядку відносно z:
Розв'язок цього рівняння можна подати у вигляді:
Тоді шуканий розв'язок знайдемо шляхом інтегрування рівняння:
Диференціальні рівняння другого порядку, що не містять аргумент, можна записати в такому загальному вигляді:
(4.27)
Введемо нову змінну ,тоді
З рівності , знайдемо і підставимо в рівність .
Тепер підставимо в (4.27), отримаємо:
Розв'язок цього рівняння подамо у вигляді:
Шуканий розв'язок отримаємо про інтегрувавши останнє рівняння:
Приклад 1. Знайти загальний розв'язок рівняння .
Позначимо
Приклад 2. Знайти загальний розв'язок рівняння . Позначимо: тоді
Приклад 3 Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Зробимо заміну , звідки . Оскільки то . Це рівняння з відокремлюваними змінними:
; ;
Замість р підставляємо :
; ; ; ; .
4.6 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
Рівняння вигляду:
(4.28)
називають лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами р=const, q=const.
Будемо шукати розв'язки рівняння (4.28) у вигляді:
де r=const
Вирази підставляємо в (4.28):
Або
.
Рівність виконується, якщо:
(4.29)
Рівняння (4.29) носить назву характеристичного рівняння. Множник . Отже функція буде розв'язком рівняння (4.28), якщо r буде коренем характеристичного рівняння (4.29).
Корені квадратичного рівняння (4.29):
Загальні розв'язки рівняння (4.28) знаходимо за теоремою, яку наводимо без доведення.
Теорема. Нехай дано диференціальне рівняння (4.28) і його характеристичне рівняння (4.29).
1) якщо корені r1 і r2 характеристичного рівняння (4.29) дійсні і різні числа,то всі розв'язки рівняння (4.28) знаходяться за формулою:
,(4.30)
де с1 і с2 - сталі величини.
2) якщо корені r1 і r2 характеристичного рівняння (4.29) дійсні і рівні числа (r1=r2=r),то всі розв'язки рівняння (4.28) знаходяться за формулою:
.(4.31)
3) якщо корені r1,2= хактеристичного рівняння (4.29) комплексні числа,то всі розв'язки рівняння (4.28) знаходяться за формулою:
.(4.32)
Приклад 1. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
.
Характеристичне рівняння
має корені r1=9, r2=1. Це дійсні і різні числа. Згідно формули (4.30), загальний розв'язок рівняння
.
Приклад 2. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
.
Характеристичне рівняння
має корені r1=r2=3. Це дійсні і рівні числа. Згідно формули (4.31), загальний розв'язок рівняння
.
Приклад 3. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
.
Характеристичне рівняння
має корені r1,2=2±3і - комплексні числа. Згідно формули (4.32), загальний розв'язок рівняння
.
4.7 Приклади застосування диференціальних рівнянь для розв'язку задач з фізики, хімії, біології і медицини
Фізика.
Задача 1. Закон радіоактивного розпаду атомів.
Експериментально визначено, що активність (число розпадів за одиницю часу) пропорційна числу ядер даного радіоактивного ізотопу, тобто:
,(4.33)
де N - число атомів, що не розпалися на даний момент часу;
t - час; - постійна розпаду.
Знайти закон радіоактивного розпаду, якщо при t=0, число нерозпавшихся атомів, що не розпалися на даний момент часу N=N0.
Розділимо змінні в рівнянні (4.33) і проінтегруємо ліву частину по N, а праву - по t:
; ; ; ; .
З умови t=0 і N=N0, знаходимо С=N0.
.(4.34)
Формула (4.34) визначає основний закон радіоактивного розпаду.
Задача 2. Виведення формули Ціолковського.
Розглянемо одновимірний рух ракети в пустоті при відсутності зовнішніх сил. Припустимо, що витікання продуктів згоряння палива відбувається зі сталою швидкістю (V=const) в бік, строго протилежний рухові ракети (тобто , де - швидкість ракети (масою М(t)). При таких умовах рух ракети описується рівнянням Мещерського, яке набуває скалярної форми:
.(4.35)
Звідси
.(4.36)
Нехай задано закон зміни маси ракети
,
де f(t) - відома безрозмірна функція часу, що задовольняє умову f(0)=1.
Інтегруючи (4.36), дістаємо:
,(4.37)
тут - початкова швидкість.
Формула (4.37) вперше одержана Ціолковським і названа його ім'ям.
Мал. 4.1
Задача 3. Розв'язок рівняння Шредінгера для вільної частинки в одномірній нескінченно глибокій потенціальній ямі.
Розглянемо рух частинки між двома стінками з координатами х=0 і х=а, які подамо математично за допомогою потенціала: u=0 при , при х>а і х<0 (мал.4.1).
У цьому випадку рівняння Шредінгері матиме вигляд:
, (4.38)
де - хвильова функція;
h - стала Планка;
Е -повна енергія;
m - маса частинки.
Позначивши ,отримаємо:
(4.39)
Рівняння (4.39) є лінійним однорідним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами.
Характеристичне рівняння: ,
Звідки
.
Загальний розв'язок рівняння (4.39), згідно формули (4.32) буде мати вигляд:
,(4.40)
де с1 і с2 - довільні сталі.
Щоб отримати частковий розв'язок рівняння (4.39) скористаємось граничними умовами: .
Перша умова дає :
,
звідки с1=0.
Рівняння (4.40) матиме вигляд:
. (4.41)
Тепер друга умова дає:
,
що можливо лише, якщо
Отже, розв'язки рівняння (4.38) будуть мати фізичний зміст не при всіх значеннях енергії, а лише при значеннях, що задовольняють умову:
,
звідки дозволені енергетичні рівні
.
Підставивши в рівняння (4.41) значення , отримаємо:
.
Для визначення с2 скористаємось умовою нормування
,
Або
.
Звідки
.
Отже розв'язок рівняння Шредінгера матиме вигляд:
, n=1,2,3...(4.42)
Хімія.
Задача 4. Нехай в апараті є 100 л розчину, що містить 5 г розчиненої солі. На вхід в апарат поступає вода зі швидкістю 30 л/хв. Водночас з цього апарату з тією ж швидкістю витікає розчин. Ефективне перемішування в апараті забезпечує рівномірну концентрацію солі в апараті. Скільки солі буде в апараті на момент часу t?
Приріст солі dm визначається як різниця між надходженням солі в апарат і її витратою. За умовою задачі надходження солі дорівнює нулю. Витрата солі визначається добутком швидкості витікання розчину на його концентрацію і на час витікання.
Отже,
.(4.43)
В диференціальному рівнянні (4.43) розділимо змінні і проінтегруємо його:
.
З початкової умови m=5, при t=0 знаходимо константу інтегрування с=5. Отже,
.(4.44)
Задача 5. Встановити закон хімічної реакції другого порядку.
Для хімічних реакцій другого порядку швидкість реакції пропорційна концентрації кожної з двох реагуючих речовин:
(4.45)
Тут х - концентрація одного із продуктів реакції, що протікає без зміни об'єму маси, що реагує; k - постійна швидкості реакції; с1,с2 - концентрації двох речовин, що реагують між собою.
Вважаючи а і в за початкові кількості двох речовин, що реагують, маємо:
Тоді рівняння (4.45) набуде вигляду:
Відокремлюючи змінні, отримаємо:
Або
(4.46)
Інтегруючи (4.46), отримаємо:
(4.47)
З початкових умов х=0 при t=0,знаходимо:
(4.48)
З рівнянь (4.47) і (4.48) отримаємо:
.
Звідки
.(4.49)
Задача 6. Встановити тривалість хімічної реакції третього порядку.
Для хімічних реакцій третього порядку швидкість реакції пропорційна концентрації кожної з трьох реагуючих речовин:
(4.50)
Вважаючи а, в і с за початкові кількості трьох речовин, що реагують між собою, матимемо:
Отже,
(4.51)
Відокремлюючи змінні, отримаємо:
(4.52)
Розглядаючи ліву частину (4.52) як суму трьох дробів, можна провести інтегрування. Наступне визначення постійної інтегрування з умови х=0 при t=0 дає таку залежність:
(4.53)
Біологія і медицина.
Задача 7. В результаті експериментальних досліджень залежності швидкості росту культур мікробіологічних популяцій встановлено, що швидкість зміни числа мікроорганізмів в режимі росту лінійно зв'язана з їх кількістю в системі. Знайти залежність зміни кількості мікроорганізмів від часу.
Позначимо кількість мікроорганізмів в даний момент часу через N. Тоді:
(4.54)
де - коефіцієнт пропорційності, що носить назву питомої швидкості росту:
В рівнянні (4.54) розділимо змінні і проінтегруємо його:
З умови, що при t=0, N=N0, отримаємо с=N0. Отже:
(4.55)
Задача 8. Лікарську речовину за допомогою крапельниці вводять у кров зі сталою швидкістю V. Швидкість виведення лікарської речовини вважаємо пропорційною першому ступеню кількості цієї речовини m в крові. Знайти границю до якої прямує з часом () кількість лікарської речовини в крові.
Нехай m(t) - маса лікарської речовини в крові в момент часу t. Початкова маса m(t=0)=mo. Тоді:
(4.56)
Де k - константа, що характеризує виведення лікарської речовини з крові.
Частинним розв'язком (4.56) є функція:
(4.57)
Аналізуючи (4.57), бачимо, що з часом кількість лікарської речовини в крові наближається до стаціонарного рівня:
(4.58)
Задача 9. Нехай у початковий момент часу t=0 число носіїв інфекції у певній популяції дорівнює а, число здорових осіб, сприйнятливих до інфекції - в. Зменшення здорових осіб з часом пропорційне добутку числа носіїв інфекції на число осіб, сприйнятливих до інфекції та проміжку часу. Знайти число здорових осіб на момент часу t.
За час t число носіїв інфекції становитиме х(t), а число здорових осіб y(t).
За умовою задачі зменшення числа здорових осіб за час дорівнює:
(4.59)
де - коефіцієнт пропорційності.
Якщо не брати до уваги загальну зміну чисельності популяції, то можна записати:
(4.60)
Беручи до уваги (4.59), отримаємо таке диференціальне рівняння розвитку епідемії:
(4.61)
Частинним розв'язком (4.61) є функція:
(4.62)
5. Елементи теорії ймовірності
В оточуючому нас світі відбувається велика кількість явищ і подій, які між собою взаємозв'язані. Існують такі причинно-наслідкові зв'язки, які приводять до однозначних результатів. Такі зв'язки і закономірності називають детермінованими і вони являються частковим випадком більш загальних імовірнісних зв'язків і закономірностей.
5.1 Основні поняття теорії ймовірності
Теорія ймовірностей вивчає масові випадкові події, які характеризуються стійкою частотою їх появи. Випадковою подією в теорії ймовірності називають всякий факт, який в результаті досліду (спостереження) може відбутися або не відбутися. Різні випадкові події позначаються латинськими буквами А, В, С…. Допустимо проводиться масове дослідження людей (визначається температура тіла, тиск крові, проводяться аналізи сечі, крові).
При цьому можна спостерігати такі події.
А - наявність нормального тиску;
В - наявність підвищеного тиску;
С - наявність цукру в сечі;
Для кожної випадкової події об'єктивно існує специфічна міра можливості її появи в даному досліді, яка називається ймовірністю події. Ймовірністю події А називається границя відношення числа випадків m в яких спостерігалась подія А до загального числа випадків n.
(5.1)
Оскільки , то , тобто ймовірність невід'ємна величина рівна або менша одиниці. При обчисленні ймовірності передбачається, що сукупність умов, при яких проводиться дослід (спостереження) точно визначені. Зміна умов може привести до зміни ймовірності.
Найбільшу ймовірність, яка рівна 1, має достовірна подія, тобто така, яка обов'язково буде спостерігатися в результаті досліду, наприклад, при проведені аналізу крові виявимо там лейкоцити. Найменша ймовірність, яка рівна 0 у неможливої події, тобто такої яка не може спостерігатися в даному досліді (наприклад, відсутність еритроцитів у крові людини).Як правило в результаті досліду може спостерігатись декілька різних подій. Наприклад, при вимірюванні тиску крові можуть спостерігатись такі події: А - нормальний тиск, В-підвищений тиск, С-занижений тиск.
Якщо в результаті досліду спостерігається одна із розглядуваних подій, то їх називають повною групою подій. Події А,В,С у наведеному прикладі складають повну групу подій. Перечисленні події являються несумісними, тобто при дослідженні дві з названих подій не можуть одночасно спостерігатись(при одному вимірювані тиск не може бути нормальним і підвищеним).
Дві несумісні події, які складають повну групу подій називаються протилежними(А і ).
Наприклад, наявність захворювань і його відсутність. Події називають рівноможливими, якщо ймовірності їх спостереження рівні. Наприклад, при підкиданні монети ймовірність появи герба і цифри однакова. Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того відбулась подія В чи не відбулась.
Наприклад, група крові у другого донора не залежить від того яка група крові була у першого донора.
Подія А називається залежною від події В, якщо ймовірність спостереження події А залежить від того відбулась подія В чи така подія не відбулась.
В такому випадку ймовірність події А обчислена при умові, що мала місце подія В називається умовною ймовірністю події А і позначається Р(А\В).
5.2 Основні теореми ймовірності
1. Теорема додавання.
Для несумісних подій ймовірність спостереження в деякому досліді однієї події із декількох А1, А2, А3,…Аn рівна сумі ймовірностей появи подій А1, А2, А3,..Аn.
Р(А1 або А2або... АN)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+….Р(Аn)(5.2)
Із теореми додавання випливає декілька наслідків:
а) Якщо несумісні події утворюють повну групу подій, то:
Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+…..Р(Аn )=1(5.3)
б) Якщо події А і протилежні, то
Р(А)=1-Р()(5.4)
Приклад 1. Медсестра обслуговує три палати. Ймовірність виклику з першої палати (1 - ша подія ) Р(1)=0,2 з другої -- Р(2)=0,4. яка ймовірність того, що виклик буде з третьої палати.
Розв'язок. Події 1, 2, 3 являються несумісними і складають повну систему подій. Тому
Р(1)+ Р(2)+ Р(3)=1;
Р(3)=1 - Р(1) - Р(2)=0,4.
2. Теорема множення.
Якщо події А і В незалежні, то ймовірність складної події, яка складається із двох подій А і В рівна добутку ймовірності цих подій
Р(А і В)=Р(А) Р(В)(5.5)
Якщо події А і В залежні, то ймовірність складної події рівна добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої.
Р(А і В)=Р(А) Р(В\А)=Р(В) Р(А\В)(5.6)
Приклад 2. На обстеження прибула група із 10 осіб. Троє із них хворі. Лікар запрошує в кабінет по дві особи. Знайти ймовірність того, що
а) Обоє хворі;
б) Обоє здорові.
Розв'язок. а) Позначимо події: А - перший, який ввійшов в кабінет лікаря хворий, В - другий хворий. Тоді події А і В залежні.
б) А - перший здоровий; В - другий здоровий
5.3 Випадкова величина
В теорії ймовірності важливу роль відіграє поняття випадкової величини. Випадкова величина - це величина, яка приймає в результаті випробувань одне з багатьох можливих значень, причому появу того чи іншого значення передбачити неможливо, тобто воно являється випадковою подією. Наприклад, випадковими величинами є ріст і вага людини, число хлопчиків, які народились в якийсь день, число викликів до лікаря.
Розрізняють дискретні і неперервні величини. Дискретна випадкова величина це така величина, яка може приймати кінцеву кількість значень на заданому інтервалі, тобто таку множину, елементи якої Х можуть бути занумеровані в якомусь порядку і виписані в послідовності Х1, Х2, Х3, …..Хn.. Наведені вище приклади випадкових величин є крім того дискретними. Випадкова величина вважається заданою, якщо заданий закон її розподілу. Для цього треба задати всі можливі значення випадкової величини Х1, Х2, Х3 Хn. і ймовірності появи цих значень. Отже, законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, яке встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями. Закон розподілу або розподіл ймовірності являється її повною характеристикою. Закон розподілу дискретної величини задається таблицею виду:
Таблиця 5.1
|
Х |
Х1 |
Х2 |
…. |
Хn |
|
|
Р(Х) |
Р(Х1) |
Р(Х2) |
…. |
Р(Хn) |
Оскільки в таблиці 5.1 вказані всі без винятку можливі значення випадкової величини і їх ймовірності, то можна говорити, що задана повна система подій, тому згідно теореми додавання ймовірностей маємо:
=(5.7)
Ця формула називається умовою нормування дискретної випадкової величини.
Таблиця 5.1 в якій вказані можливі значення випадкової величини і їх ймовірності, називають також рядом розподілу. Для того щоб придати ряду розподілу більш наглядний вигляд зображують його у вигляді графіка. По осі абсцис відкладаються можливі значення випадкової величини, а по осі ординат-ймовірності цих значень. Одержані точки сполучаються відрізками прямих. Така фігура називається багатокутником розподілу (рис. 5.1).
Неперервною випадковою величиною називається випадкова величина, яка може приймати будь-яке із значень, які належить до даного інтервалу. До таких величин можна віднести температуру тіла людини, вміст цукру в крові. Так як неперервна випадкова величина приймає нескінчену кількість значень, ймовірність того, що вона прийме якесь конкретне значення рівна нулю. Відмінною від нуля буде ймовірність того, що ця величина прийме значення яке лежить в деякому інтервалі. Якщо ми розіб'ємо область в якій задана неперервна випадкова величина на ряд інтервалів і для кожного інтервалу вкажемо ймовірність попадання в цей інтервал випадкової величини, то ця величина буде задана тим точніше, чим на більшу кількість інтервалів буде розбита область.
Найбільш точно випадкова величина буде задана, якщо ширина інтервалу прямує до нуля, а кількість інтервалів n до нескінченості. При цьому величина, рівна відношенню ймовірності dp попадання випадкової величини в інтервал від x до x+dx до величини цього інтервалу dx називається функцією щільності ймовірності випадкової величини Х, тобто:
f(x)=(5.8)
Завдання щільності ймовірності неперервної випадкової величини являється одним із способів задання цієї величини. Із визначення щільності ймовірності випливає, що ця величина невід'ємна. Знаючи щільність ймовірності величини Х, можна розрахувати ймовірність попадання цієї величини в любий інтервал.
Так, якщо щільність ймовірності величини Х рівна f(x),то ймовірність попадання Х в інтервал від а до в обчислюється по формулі:
(5.9)
Подія для якої випадкова величина прийме яке-небудь значення в інтервалі від до є достовірною. Тому:
(5.10)
Остання формула називається умовою нормування для неперервної випадкової величини.
Для завдання неперервної випадкової величини крім функції щільності ймовірності використовується функція розподілу неперервної випадкової величини F(x).Ця функція рівна ймовірності того, що значення випадкової величина менше наперед заданого значення х.
(5.11)
У відповідності з означенням функції f(x) маємо:
(5.12)
Як і всяка ймовірність функція розподілу не може бути від'ємною і більшою за одиницю, тобто:
Формула (5.12) являється по суті визначенням поняття функції розподілу.Із цієї формули видно.що функція розподілу рівна імовірності того, що випадкова величина прийме значення, яке лежить в інтервалі від - до x, тобто, іншими словами прийме значення, яке менше або рівне x.
Функція розподілу F(x), як вже вказувалось, являється зростаючою в інтервалі від 0 до 1, як неперервно (рис.5.2,а) так і ступінчасто (рис. 5.2 б).
Розглянемо приклад, який ілюструє зв'язок між функцією щільності ймовірності і функцією розподілу.
Приклад 3. Функція щільності ймовірності f(x) задана таким чином:
Знайти функцію розподілу F(x).
Розв'язок. Згідно з формулою (5.12) маємо:
Для інтервалу .
Для інтервалу
Для інтервалу
Таким чином:
5.4 Числові характеристики випадкових величин
Найбільш повно можна виразити всі суттєві відомості про випадкові величини за допомогою числових параметрів. які називаються числовими характеристиками випадкових величин.
Важливою числовою характеристикою випадкової величини являється математичне сподівання (очікування), яке рівне сумі добутків всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність появи цих значень і позначається символом М(x).Для дискретної випадкової величини при обчисленні М(x) використовують формулу:
(5.13)
Математичне сподівання випадкової величини X пов'язане певною залежністю із її середнім арифметичним значенням. При невеликому числі дослідів середнє арифметичне є випадковою величиною, при великому числі випадкових величин воно наближається до постійної величини -математичного сподівання,яке є центром розподілу числових значень випадкової величини Доволі часто для позначення математичного сподівання використовують грецьку букву ?.
Для обчислення М(x) у випадку, якщо Х - неперервна випадкова величина, використовується формула
М(х)=(5.14)
Приклад 4. Знайти математичне сподівання дискретної випадкової величини за заданим рядом розподілу у вигляді таблиці 5.2.
Таблиця 5.2.
|
Х |
0 |
1 |
6 |
9 |
|
|
Р |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
Згідно з формулою (5.13) маємо:
М(х)=хр+хр+хр+хр
М(х)=0?0,1+1?0,4+6?0,3+9?0,2=4
Приклад 5. Знайти математичне сподівання випадкової величини за заданою функцією щільності розподілу f(x):
Математичне сподівання має наступні властивості:
1. Математичне сподівання постійної величини С рівне цій постійній :
М(с)=с; М(5)=5
2. Постійний множник К випадкової величини можна виносити за знак математичного сподівання
М(к·х)=к·М(х)
3. Математичне сподівання алгебраїчної суми двох незалежних випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі математичних сподівань цих величин
М(х ± y)=М(х) ± М(у)
4. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань цих величин
М(х·у)=М(х)·М(у)
5. Математичне сподівання відхилення значення випадкової величини від її математичного сподівання завжди рівне нулю
М(х-М(х))=0
Крім математичного сподівання важливо знати наскільки сильно значення випадкової величини, що розглядається, відхиляється від його середнього значення. Величина такого відхилення характеризується дисперсією і середнім квадратним відхиленням. Дисперсією випадкової величини х називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, тобто:
D(х)=М(х-М(х))?(5.15)
І відповідно середнє квадратичне відхилення:
(5.16)
Формула для розрахунку дисперсії дискретної випадкової величини має такий вигляд ( для зручності використаємо, що М(х)=)
D(х)=(х1-)2 ·р(х1)+(х2-)2 р(х2)+….=·р(хі )(5.17)
Якщо х - неперервна випадкова величина, то формула для обчислення D(x) матиме вигляд:
(5.18)
Частіше для обчислення дисперсії дискретної випадкової величини використовують формулу:
D(х)=М(х2)-(М(х))2(5.19)
Тобто дисперсія випадкової величини х являє собою різницю між математичним сподіванням квадрата випадкової величини і квадратом її математичного сподівання. При цьому М(х2) обчислюють по формулах
(5.20)
якщо х - дискретна неперервна величина.
(5.21)
якщо x неперервна випадкова величина.
Розглянемо приклади розрахунку числових характеристик випадкової величини.
Приклад 6. Дискретна випадкова величина має такий закон розподілу.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
Р(х) |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
Знайти М(х), D(х), (х)
М(х)=Р(хі)=х1Р(х1)+х2Р(х2)+х3Р(х3)+х4Р(х4)=10,4+20,3+30,2+40,1==2
D(х)=М(х2)-(М(х))2
М(х2)=і2Р(хі)=х12Р(х1)+х22Р(х2)+х32Р(х3)+х42Р(х4)=
D(x)=5-4=1(х)==1
Приклад 8. Неперервна випадкова величина х має функцію щільності ймовірності.
?(х)=
Знайти М(х); D(х).
М(х)=+=3/8х4+2/5х5=3/8+2/5=1/40;=4
М(х2)==3/10х5+2/6х6=
D(х)=19/30-(1/40)2=0,632
5.5 Закони розподілу випадкових величин
Більша частина випадкових величин описуються певними законами розподілу. Для дискретних випадкових величин-це розподіл Бернуллі (біноміальний), Пуассона, а для неперервних -- розподіл Гауса (нормальний), Максвела, Больцмана і ін.
5.5.1 Біномний розподіл (Бернуллі)
Часто зустрічаються задачі, коли ймовірність спостереження події А однакова в кожному досліді, незалежно від результатів попередніх дослідів і рівна Р(А). Необхідно знайти ймовірність того, що в n дослідах подія А відбудеться m разів. Така ймовірність може бути обчислена за формулою Бернуллі:
(5.22)
Де
(5.23)
число сполук з n по m. З врахуванням (5.23) формула (5.22) набуде вигляду:
(5.22а)
Математичне сподівання числа m подій А в n дослідах буде рівна:
(5.24)
Дисперсія цього числа подій рівна:
(5.25)
Приклад 8. Ймовірність появи колонії мікроорганізмів даного типу у визначених умовах рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що в 6 пробах колонія появиться 4 рази.
; ;і
Отже, в середньому в даних умовах в 6 пробах колонія зустрічається 4,2 рази причому середнє квадратичне відхилення складає 1,12.
5.5.2 Формула повної ймовірності
Нехай подія А може спостерігатися тільки сумісно з однією з несумісних подій Ві (і=1, 2,...., n), які утворюють повну систему подій. Нехай ймовірність події Ві рівна Р(Ві), а умовна ймовірність події А при умові, що відбулася подія Ві рівна Р(А/ Ві). Тоді ймовірність події А може бути знайдена за формулою:
Приклад 9. Відділення лікарні спеціалізується на лікуванні трьох захворювань, причому кількість хворих І, ІІ і ІІІ захворюванням співвідносяться як 1:5:3. Відомо, що деякий комплекс симптомів зустрічається при І захворюванні з ймовірністю 0,7 при ІІ - з ймовірністю 0,3, при ІІІ з ймовірністю 0,2. Визначити ймовірність наявності вказаного комплексу симптомів у довільно вибраного пацієнта цього відділення.
Розв'язок. Події, що у пацієнта І, ІІ або ІІІ захворювання позначимо В1, В2, В3. З умови задачі слідує, що
Подію, що в хворого є вказаний комплекс симптомів позначимо А. Тоді:
У відповідності з формулою повної імовірності:
5.5.3 Формула Байєса
Нехай те, що сказано в попередньому пункті залишається в силі. Умовна ймовірність події Ві при умові, що подія А відбулася рівна Р(Ві/А) і може бути обчислена за формулою:
Приклад 10.
Нехай є три захворювання А1, А2, А3 які важко розрізнити при діагнозі, і які зустрічаються з частотами 50%, 40% і 10%. Існує метод лікування, який приводить до успіху в залежності від захворювання відповідно в 70%, 75% і 90% випадків.
Яка: ймовірність успіху для пацієнта, який страдає одним (невідомо яким) із захворювань А1, А2, або А3 ?
ймовірність захворювання А1, А2, А3 при успішному лікуванні методом В?
Розв'язок.
Р(А1)=0,5; Р(А2)=0,4; Р(А3)=0,1;
За формулою повної імовірності:
За формулою Байєса:
5.5.4 Нормальний розподіл (Гауса)
Серед законів розподілу неперервних випадкових величин, особливе місце займає нормальний розподіл (розподіл Гауса).Це зв'язано з тим, що випадкові величини, котрі формуються під дією багатьох факторів, із яких жоден не являється визначальним, описується нормальним розподілом,або розподілом близьким до нього. Основна особливість цього закону в тому, що він являється граничним законом до якого прямують інші закони розподілу.
Неперервна випадкова величина x, яка має математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення підпорядковується нормальному закону розподілу, якщо вона має таку функцію щільності розподілу:
(5.26)
Графік функції щільності нормального розподілу називається кривою Гауса, або нормальною кривою (рис. 5.3).
Встановимо, як впливають параметри і на форму кривої Гауса. З формули (5.26) слідує, що центром розсіювання є точка х= і, якщо змінювати центр розсіювання при , то форма кривої розподілу змінюватися не буде.
Це приведе тільки до зміщення кривої розподілу вздовж осі абсцис (рис. 5.4).
Параметр визначає форму кривої розподілу (рис.5.5 ). При зменшенні при =const графік наближається до прямої х=, але площа під ним завжди залишається рівна одиниці (умова нормування).
Ймовірність попадання випадкової величини х в інтервал значень х в інтервалі від х1 до х2, згідно формули (5.9) рівна:
(5.27)
Для знаходження інтегралу (5.27) введемо нову змінну і тоді вираз (5.27) можна переписати у вигляді:
(5.28)
де . Для цієї функції з допомогою числових методів складена таблиця значень для різних значень параметру t.
При значеннях x < ? значення t стають від'ємними, а в таблицях для функцій ?(t) значення приводиться тільки для додатніх t. В цьому випадку використовується властивість функції ?(t),що ?(-t) = - ?(t).
Користуючись формулою (5.28) можна обчислити ймовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини x від математичного сподівання по абсолютній величині менше наперед заданого додатного числа ?, тобто ймовірність нерівності /х- ? / <?, яка рівна:
P( / ? ? ? / < ? ) = P( ? ? ? < x < ? + ? ) = ?()-
() =() -(- ) = 2()(5.29)
Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини, також може бути виражена через функцію ? (t)
F(х) =0,5 + ?(t)(5.30)
Формула (5.30) дозволяє обчислити значення F(х), використовуючи таблицю значень функцій ?(t).
Нормальний закон розподілу, як і інші закони, не являється абстракцією, а описує реальні закономірності,які зустрічаються в масових випадкових явищах зокрема, багато величин в біології і медицині розподіляє по нормальному закону:
- вага і ріст новонароджених дітей
- діастолічний тиск крові при досліджуванні великої кількості пацієнтів
- абсолютні похибки показів приладів, вимірювань
- вміст ферментів у здорових людей.
6. Елементи математичної статистики
Математична статистика - це розділ прикладної математики, який безпосередньо примикає до теорії ймовірності. На відміну від теорії ймовірності математична статистика розглядає не дії над законами розподілу і числовими характеристиками випадкових величин, а наближені методи встановлення цих законів по результатах експерименту. Тому завданням математичної статистики є розробка методів реєстрації і аналізу експериментальних даних, які одержані в результаті спостереження масових випадкових явищ, тобто це наука про загальні методи обробки результатів експерименту.
Разом з тим, статистика одночасно ставить вимоги до експерименту, з тим щоб зроблені на його основі висновки були правильними. Тому вона часто дає рекомендації по проведенню експерименту, і стає наукою по його плануванню.
6.1 Генеральна та вибіркова сукупності
Нехай потрібно дослідити деяку випадкову величину, тобто знайти закон її розподілу і визначити числові характеристики. З цією метою над випадковою величиною проводиться ряд незалежних дослідів в яких вона приймає певні значення. Сукупність одержаних числових значень випадкової величини представляє собою первинний матеріал, який підлягає обробці і науковому аналізу.
Така сукупність називається простою статистичною сукупністю, або простим статистичним рядом. Так, статистичну сукупність складає число дітей, які народилися в країні за певний час. Окремі елементи, які входять в сукупність, називаються членами статистичної сукупності, а загальне число членів сукупності - її об'ємом.
Спостереження над біологічними об'єктами ведеться за певною ознакою, яка змінюється при переході від одного члена сукупності до іншого. Зміну цієї ознаки називають варіацією, а значення ознаки у даного члена статистичної сукупності - його варіантою X. Так у новонароджених дітей вага являється варіантою, яка варіює від дитини до дитини.
Статистична сукупність, яка включає в себе всі можливі члени, які в принципі можуть бути віднесені до даної сукупності, називається генеральною. Генеральну сукупність складають всі жителі міста, хворі з даним діагнозом. Внаслідок її багаточисленості генеральна сукупність для дослідження важкодоступна. Тому досліджують частину об'єктів із генеральної сукупності, яку називають вибірковою сукупністю, або вибіркою. Число членів N генеральної сукупності велике, а число членів вибірки n обмежене. Для того щоб вибірка достатньо точно характеризувала властивості генеральної сукупності, вибірка повинна бути репрезентативною. Вибірка буде репрезентативною, якщо всі об'єкти генеральної сукупності будуть мати однакову ймовірність потрапити у вибірку.
6.2 Дискретні та інтервальні ряди розподілу
Результати одержані в результаті випробувань записують в тій послідовності, в якій ці значення були одержані. При подальшій статистичній обробці, варіанти розташовують в порядку зростання або зменшення числових значень. Такий метод застосовується при невеликому об'ємі вибірки.
Нехай значення дискретної ознаки (наприклад, число хворих може бути лише цілочисельним) X1 спостерігається m1 разів, X2-m2, ….,Xi-mi. Одержані значення записують у виді таблиці 6.1.
Таблиця 6.1
|
X |
x1 |
x2 |
x3 |
…… |
xi |
|
|
n |
m1 |
m2 |
m3 |
…… |
mi |
Перший рядок таблиці містить всі можливі числові значення варіанти X, які не співпадають між собою, в порядку зростання (зменшення),а другий рядок - числа m, які рівні числу варіант, які набувають відповідне значення X.
Величина n=m1+m2+m3+…..+mi називається об'ємом вибірки, число спостережень m1, m2, m3……mi - частотами, а величини рівні
P1=, P2=,……, Pі =
- відносними частотами. Очевидно, що P1+P2+P3+……+Pi=1.
Таблиця 6.1, в якій вказані всі значення варіант ознаки і їх частоту появи (відносну частоту) називається дискретним варіаційним рядом розподілу.
Дискретний ряд розподілу можна представити графічно полігоном частот.
На осі абсцис відкладають значення ознаки х, а на осі ординат - відповідну частоту mi, або відносну частоту. Лінію, яка з'єднує точки (X1, m1),(X2,m2),……,(Xi,mi) називають полігоном частот.
Приклад 1. Інститут гереонтології дослідив частоту дихання у осіб 60-65 річного віку в місцевості де проживає 100 перестарілих. В результаті спостереження за 100 особами одержано такі результати:
14, 18, 16, 10, 8, 16, 16, 18, 22, 12, 14, 18, 16, 20, 24, 20,
10, 20, 16, 22, 25, 12, 18, 18, 16, 18, 16, 15, 16, 16, 14, 20,
16, 18, 20, 8, 24, 12, 12, 16, 12, 16, 14, 10, 18, 10, 20, 22, 20, 14,
8, 16, 10, 8, 14, 18, 18, 14, 14, 10, 16, 14, 20, 10, 14, 25, 14, 16, 20,
20, 22, 15, 14, 12, 18, 18, 12, 16, 18, 16, 14, 20, 20, 12, 16, 8,
18, 18, 24, 18, 12, 10, 22, 12, 10, 10, 18, 20, 20, 22.
На основі цих даних потрібно:
1) скласти варіаційний ряд;
2) побудувати полігон частот.
Складемо варіаційний ряд розподілу у виді таблиці:
Таблиця 6.2.
|
X |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
24 |
25 |
||
|
M |
5 |
9 |
10 |
11 |
17 |
23 |
14 |
5 |
4 |
2 |
На основі даних приведених в таблиці 6.2 будуємо полігон частот, який зображено на рис. 6.1.
У випадку, коли кількісна ознака неперервна (може приймати будь-які числові значення в деякому інтервалі)дискретний ряд розподілу перестає бути зручним для запису статистичного матеріалу. В цьому випадку діапазон варіацій ознаки X ділять на інтервали, які називають класами. Ширина кожного інтервалу однакова і визначається таким чином:
?x=(6.1)
де - Xmax, Xmin- найбільше та найменше значення ознаки у вибірці; k - кількість інтервалів. Кількість інтервалів визначають залежно від об'єму вибірки. Оптимальна кількість класів в залежності від об'єму вибірки приведена в таблиці 6.3.
Таблиця 6.3.
|
Об'єм вибірки |
N |
25-40 |
40-60 |
60-100 |
100-200 |
200-1000 |
|
|
Оптимальна кількість інтервалів |
K |
5,6 |
6-8 |
7-10 |
8-12 |
10-15 |
Кількість числових значень вибірки в інтервалі є частота попадання у даний інтервал. Значення, які попадають на кінець інтервалу, відносять або до лівого, або до правого інтервалу. Результати записують в таблицю.
Таблиця 6. 4.
|
Інтервал X |
…… |
||||
|
M |
m1 |
m2 |
…… |
mi |
Таблицю 6.4, яка містить значення інтервалів і частоту попадання в даний інтервал називають інтервальним варіаційним рядом розподілу.
Поряд з частотами інтервалів користуються відносними частотами інтервалів, яка рівна відношенню m-частоти інтервалу до n- об'єму вибірки .При цьому виконується рівність :
(6.2)
Для наглядності інтервальний ряд розподілу зображують у виді гістограми. Гістограмою частот називають ступінчату фігурку, яка складається із прямокутників, основами яких служить інтервали шириною ?X, а висота рівна (густина частоти). Гістограмою відносних частот називають ступінчасту фігуру, яка складається із прямокутників, основами яких служать інтервали довжиною , а висоти рівні відношенню (густина відносної частоти, де ).
Приклад 2.
В таблиці 6.5 приведений інтервальний ряд розподілу росту Х мужчин.
Таблиця 6.5
|
Інтервал X |
150-154 |
154-158 |
158-162 |
162-166 |
166-170 |
170-174 |
174-178 |
178-182 |
182-186 |
|
|
m |
1 |
3 |
11 |
23 |
25 |
22 |
11 |
3 |
1 |
|
|
0.01 |
0.03 |
0.11 |
0.23 |
0.25 |
0.22 |
0.11 |
0.03 |
0.01 |
По даним таблиці 6.5 побудувати гістограму частот. Гістограми частот і відносних частот приведені на рис. 6.2.
Побудова варіаційного ряду лише перший крок до усвідомлення результатів спостережень за досліджуваним об'єктом. Для прийняття практичних рекомендацій цієї інформації недостатньо.
Для характеристики варіаційних рядів необхідно знати:
1. Значення варіанти, навколо якого групуються всі інші числові значення (математичне сподівання).
2. Міру розсіювання числових значень варіанти навколо цього середнього значення (дисперсія D та середньоквадратичне відхилення ).
6.3 Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу
В розпорядженні дослідника є результати,які характеризують вибірку. Разом з тим одним з основних завдань математичної статистики є визначення характеристик генеральної сукупності по дослідженням вибіркової сукупності і встановлення того, наскільки параметри вибірки відображають основні характеристики генеральної сукупності.
Наприклад, для.нормально розподіленої величини необхідно наближено оцінити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення. При цьому розглядають точкові і інтервальні статистичні оцінки параметрів розподілу.
6.3.1 Точкове оцінювання
Точковою оцінкою називають таку оцінку, яка визначається одним числом. Точкові оцінки повинні мати властивості, які задовольняють певні вимоги:
1. Незміщеність - математичне сподівання оцінки дорівнює оцінюваному параметру генеральної сукупності при будь - якому об'ємі вибірки.
2. Ефективність - серед можливих незміщених оцінок вибирають ту, яка має найменшу дисперсію.
3. Обґрунтованість - з ймовірністю,близькою до одиниці, різниця між істинною величиною параметра та значенням його оцінки є як завгодно малою при достатньо великому об'ємі вибірки.
Генеральна сукупність характеризується генеральною середньою сукупністю, яка рівна:
(6.3)
Тобто генеральна середня рівна математичному сподіванню випадкової величини.
Якщо значення ознаки X1,X2,X3,……Xk - мають відповідно частоти m1,m2,m3,……,mk і, то m1+m2+m3+……+ mk = N, тоді
.
Вибірковою середньою називають середнє арифметичне значення ознаки вибіркової сукупності. Вибіркова середня змінюється від вибірки до вибірки, тобто являється випадковою величиною. Показано, що при достатньо великому об'ємі вибірки n справедливо:
(6.4)
тобто при збільшенні об'єму вибірки n вибіркова середня прямує до генеральної середньої. Це означає, що незміщеною оцінкою генеральної середньої служить вибіркова середня, іншими словами математичне сподівання від вибіркової середньої рівне генеральній середній:
Середня вибіркова являється також ефективною оцінкою, так як містить в собі більше інформації відносно ?, чим будь-яка інша оцінка цього параметру. являється також достатньою оцінкою, тобто в ній міститься вся інформація вибірки відносно ? і ніякі інші показники, обчислені по вибіркових даних не можуть збільшити цю інформацію.
Для статистичного ряду розподілу вибіркова середня обчислюється по формулі:
(6.5)
де n - об'єм вибірки, x1, x2, x3 - значення ознаки, m1, m2, m3,... mk - число варіант, які приймають відповідне значення.
Для інтервального ряду розподілу вибіркова середня обчислюється по формулі:
(6.6)
де - середня значення і -го інтервалу, mі - число варіант, які попадають в і-вий інтервал.
Генеральною дисперсією називають середнє арифметичне квадратів відхилення значень ознаки, яка вивчається генеральною сукупністю, від їх генеральної середньої
Дисперсія генеральної сукупності характеризує розсіювання значень ознаки навколо свого середнього значення. Якщо значення ознаки Х1, Х2,.....ХК спостерігаються з частотами m1, m2,.....mК i то генеральна дисперсія рівна:
(6.7)
Вибірковою дисперсією називають середнє арифметичне квадратів відхилення одержаних значень ознаки від їх середнього значення.
(6.8)
Відповідно, генеральним середнім квадратичним відхиленням (стандартом) називають корінь квадратний із генеральної дисперсії: .
Для вибірки середнє квадратичне відхилення рівне:
Доведено, що вибіркова дисперсія являється зміщеною оцінкою генеральної дисперсії, тобто математичне сподівання вибіркової дисперсії не рівне генеральній дисперсії, а визначається рівністю:
(6.9)
Найкращою точковою оцінкою генеральної дисперсії ознаки при невідомій величині математичного сподівання є величина:
(6.10)
яка називається виправленою вибірковою дисперсією. Ця оцінка являється незміщеною і ефективною. Виправленою вибірковою дисперсією користуються при малих об'ємах вибірки (n<30). При збільшенні об'єму вибірки значення оцінки прямує до значення параметру генеральної сукупності.
Доведено, що якщо із нормальної генеральної сукупності взяти необмежену серію вибірок об'ємом n, то сукупність середніх , які обчислені по окремим вибіркам, утворюють нормальну сукупність з тією ж генеральною середньою ? і з дисперсією вибіркової середньої, в n раз меншою дисперсії генеральної сукупності, тобто:
(6.11)
Оскільки, найкращою оцінкою являється виправлена вибіркова дисперсія, то виправлена дисперсія вибіркової середньої рівна:
(6.12)
Виправлене середнє квадратичне відхилення рівне:
(6.13)
6.3.2 Інтервальні оцінки
При вибірці малого об'єму точкова оцінка може сильно відрізнятись від параметру, який оцінюється, що приведе до грубих помилок. Тому при невеликому об'ємі вибірки користуються інтервальними оцінками.
Інтервальною називають таку оцінку яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, який покриває оцінюваний параметр. Крім того інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.
Відомо, що найкращою оцінкою генеральної середньої (математичного сподівання ? ) являється вибіркова середня .Зрозуміло, що чим точніше визначає параметр ?, тим менша абсолютна величина різниці .Якщо, i , то число характеризує точність оцінки.
Статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що оцінка задовольняє нерівність .Можна говорити, що ця нерівність виконується з ймовірністю ?. Ймовірність ? з якою виконується нерівність називають надійністю (довірча ймовірність) оцінки параметра ? по .
Цю нерівність можемо переписати у виді:
Звідки
(6.14)
Інтервал називають довірчим інтервалом.
Величина ? повинна бути достатньо близькою до 1. В біологічних дослідженнях довірча ймовірність повинна бути рівною 0,95(95%).При розробці біологічних стандартів потрібно користуватись 99%-ю довірчою ймовірністю.
Довірча ймовірність (надійність) з точністю зв'язана рівністю:
Або
(6.15)
яка означає, що з ймовірністю ? параметр ?,який визначається, знаходиться в інтервалі .Цей інтервал називається довірчим інтервалом.
Для нормально розподіленої випадкової величини при знаходженні довірчого інтервалу для оцінки математичного сподівання ? : згідно формули(6.15) маємо:
(6.16)
Величина таке значення аргументу функції Лапласа при якому . Наприклад, якщо ,то і ,а значить величина точності оцінки рівна:
(6.17)
і довірчий інтервал оцінки математичного сподівання по середній вибірковій рівний:
(6.18)
Точність оцінки (6.17) дає можливість визначити мінімальний об'єм вибірки n для даного і :
(6.19)
Приклад 3. Вимірювання об'єму ампул 1% розчину аскорбінової кислоти в розчині глюкози дало вибіркове середнє значення =10мл.Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання,якщо об'єм вибірки n=50, дисперсія 2= 0,09 мл2 і дана довірча ймовірність вибірки =0,95.
Розв'язок.
Так як , то з таблиці значення функції Лапласа =1.96. Тому . Довірчий інтервал для буде [9,92; 10,8], або .
Довірчу ймовірність (надійність) =0,95 треба розуміти так. Якщо здійснено достатньо велике число вибірок, то в 95% з них довірчий інтервал для буде лежати у визначених межах і лише в 5% випадків може вийти за межі вказаного інтервалу.
6.4 Розподіл Стьюдента
З допомогою критерію, який розглядався в попередньому параграфі, розраховується інтервальна оцінка параметру при допомозі вибіркової середньої, якщо відомо середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності при великому об`ємі вибірки п. Проте в більшості випадків об`єм вибірки невеликий менше 20-30 членів і тому критерій не можна застосовувати для знаходження інтервальної оцінки.
При таких умовах для оцінки істинного значення вимірюваної величинигенеральної сукупності, яка розподілена по нормальному закону, або близькому до нього використовується розподіл Стьюдента. Англійський математик У.Госсет псевдонім "Стьюдент "встановив закон розподілу випадкової величини tc
(6.20)
де- вибіркова середня,- генеральна середня, s- виправлене середнє квадратичне відхилення.
Цей закон справедливий для будь - яких n, якщо досліджувана випадкова величина Х розподілена за нормальним законом. При цьому величина c не являється нормально розподіленою. Її розподіл називається розподілом з n-1 степенем вільності.
Густина ймовірності випадкової величини розподіленої за законом Стьюдента задається формулою
stc, n=Bn1+(6.21)
де величина Вn залежить від об'єму вибірки.
На рис. 6.3 приведено графік густини ймовірності stc, n випадкової величини tc для n=4. Пунктирною лінією зображена стандартизована нормальна крива ft.
При малих n крива stc, n значно відрізняється від нормальної кривої. Із збільшенням n розподіл Стюдента наближається до нормального і при практично не відрізняється від нього. Таким чином, розподіл Стьюдента є частковим випадком нормального розподілу; він відображає специфіку зміни вибірки малого об'єму n<30, яка розподілена по нормальному закону в залежності від n.
...Подобные документы
Визначення основних понять і вивчення методів аналізу безкінечно малих величин. Техніка диференціального і інтегрального числення і вирішення прикладних завдань. Визначення меж числової послідовності і функції аргументу. Обчислення інтегралів.
курс лекций [570,1 K], добавлен 14.03.2011Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Основні поняття теорії диференціальних рівнянь. Лінійні диференціальні рівняння I порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язування задачі Коші. Зведення до рівняння з відокремлюваними змінними шляхом введення нової залежної змінної.
лекция [126,9 K], добавлен 30.04.2014Застосування методів математичного аналізу для знаходження центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь з використанням інтегральних числень функцій однієї та кількох змінних. Поняття визначеного, подвійного, криволінійного та поверхневого інтегралів.
курсовая работа [515,3 K], добавлен 29.06.2011Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011Деякі відомості математичного аналізу. Виховне значення самостійної навчальної роботи. Короткий огляд та аналіз сучасних систем комп'ютерної математики. Відомості про систему Wolfram Mathematica. Обчислення границь функції, похідних та інтегралів.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 10.05.2011Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку. Лінійні диференціальні рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих як загальний метод розв’язування та й приклад розв’язання задачі Коші.
лекция [202,1 K], добавлен 30.04.2014Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Комічні вибірки з конспектів студентів механічно-математичного факультету. Особливості доведення теорем Зільберта-Штольца та Штрассермана. Принцип локалізації в’язів до (n-8) порядку включно. Аналіз та характеристика N-кутників у просторі Зільберта.
учебное пособие [315,9 K], добавлен 28.03.2010Варіаційне числення. Обчислення варіації інтегрального функціонала. Варіаційна задача з рухливими границями. Розв’язання диференційних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу. Варіації розв’язків диференціального рівняння із розривною початковою умовою.
курсовая работа [7,8 M], добавлен 21.11.2011Діяльнісний підхід до організації навчального процесу в педагогічному університеті. Змістове наповнення та методика використання історичного матеріалу на лекціях з математичного аналізу. Історичні задачі як засіб створення проблемних ситуацій на лекціях.
курсовая работа [195,5 K], добавлен 21.04.2015Стандартні ірраціональні рівняння й методи їхнього рішення. Застосування основних властивостей функції: області визначення рівняння, значень, монотонності та обмеженості функції. Застосування похідної. Методи рішення змішаних ірраціональних рівнянь.
курсовая работа [406,7 K], добавлен 14.01.2011Розгляд методів твірних функцій. Біном Ньютона як найбільш відомий приклад твірної функції. Розгляд задачі про щасливі білети. Аналіз властивостей твірних функцій. Характеристика найважливіших властивостей твірних функцій, особливості застосування.
курсовая работа [428,9 K], добавлен 12.09.2012Модель Еванса встановлення рівноважної ціни. Побудова моделі зростання для постійного темпу приросту. Аналіз моделі росту в умовах конкуренції. Використання математичного апарату для побудови динамічної моделі Кейнса і неокласичної моделі росту.
реферат [81,8 K], добавлен 25.05.2023Визначення поняття "рівняння з параметрами", розгляд принципів рішення даних рівнянь на загальних випадках. Особливості методів розв'язання рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
реферат [68,3 K], добавлен 15.02.2011Характеристика алгебри логіки. Система числення як спосіб подання довільного числа за допомогою алфавіту символів, які називають цифрами. Представлення чисел зі знаком: прямий, обернений і доповняльний код. Аналіз булевої функції та методів Квайна, Вейча.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 05.09.2011Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
реферат [713,9 K], добавлен 14.05.2011Теорія межі послідовності й межі функції як один з розділів математичного аналізу. Поняття межі послідовності, огляд характерних прикладів обчислення меж послідовності з докладним розбором рішення, специфіка теореми Штольца й приклади її застосування.
курсовая работа [118,6 K], добавлен 17.01.2011Застосування російськомовного програмно-графічного калькулятора Microsoft Mathemаtics 4. Система задач із параметрами, що містять знак модуля, як засіб розвитку дослідницьких умінь учнів. Застосування графічних методів повороту та паралельного переносу.
контрольная работа [2,5 M], добавлен 03.07.2015
