Метод Монте-Карло для вычисления определенного интеграла

Размещено на http://www.allbest.ru/

3

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

(СибАДИ)»

Факультет Информационные системы в управлении

Специальность Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем

Кафедра Информационная безопасность

Курсовая работа

по дисциплине «Вычислительная математика»

Название работы Метод Монте-Карло для вычисления определенного интеграла

Выполнил: студент гр. БИ13-И1

Маныло Татьяна Евгеньевна

Проверил преподаватель:

Толкачева Елена Викторовна

Омск 2015

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия/СибАДИ/

Утверждаю:

Кафедра информационной безопасности Зав. кафедрой______________

Дата_________________________

ЗАДАНИЕ №

ПО КУРCОВОМУ ПРОЕКТИРОВАНИЮ

Студент: Маныло Татьяна Евгеньевна

1. Тема проекта:

Метод Монте-Карло для вычисления определенного интеграла.

2. Срок сдачи студентом законченного проекта:

18 июня 2015

3. Исходные данные к проекту:

Написать программу, позволяющую выполнить вычисление определенного интеграла методом Монте-Карло.

4. Содержание расчетно-пояснительной записки (перечень подлежащих разработке вопросов):

1. титульный лист

2. лист задания

3. аннотация

4. содержание

5. введение

6. обзор литературы

7. руководство пользователя программы

8. решение контрольного примера

9. список литературы

10. приложения

5. Перечень графического материала:

1. укрупненная блок-схема всей программы

6. Подготовить презентацию курсовой работы:

Руководитель ___________________________________ Толкачева Е.В.

Задание принял к исполнению _____________________________

Подпись студента________________________________________

Содержание

• Аннотация
• Введение
• 1. Обзор литературы
• 1.1 Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин
• 2. Руководство пользователя программы
• 2.1 Минимальные системные требования
• 2.2 Описание
• 2.3 Подготовка к работе
• 2.4 Описание главного окна
• 3. Решение контрольного примера
• Заключение
• Список литературы
• Приложение А
• Аннотация
• метод определённый интеграл
• В работе представлено описание метода Монте-Карло для вычисления определенного интеграла, приведена оценка погрешности метода.
• В ходе выполнения курсовой работы создано приложение МК.exe, написанное на языке С++, в среде разработки программного обеспечения Microsoft Visual Studio, и имеет консольный интерфейс.

• Введение
• Метод Монте-Карло - это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.
• Датой рождение метода считают 1949 г., когда появилась статья под названием «Метод Монте-Карло» (Н. Метрополис, С. Улам). Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. [2]
• Однако теоретическая основа метода была известна давно. До появления ЭВМ этот метод не мог найти широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную - сложный процесс. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло, как универсального численного метода, стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.
• Само название «Монте-Карло» происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом, а одним из простейших механических приборов для получения случайных величин является рулетка.
• Метод Монте-Карло оказывает существенное влияние на развитие методов вычислительной математики и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественность получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

• 1. Обзор литературы
• Рассмотрим сущность метода Монте-Карло.
• 1.1 Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин
• Предположим, что нам необходимо вычислить площадь плоской фигуры S. Это может быть произвольная фигура, заданная графически или аналитически. Пусть это будет фигура, заданная на рисунок 1.1.
• Рисунок 1.1 - Произвольная фигура
• Допустим, что эта фигура расположена внутри единичного квадрата.
• Выберем внутри квадрата n случайных точек. Обозначим через число n1 точек, попавших внутрь фигуры S. Геометрически видно, что площадь фигуры S приближенно равна отношению n1 / n. Причем, чем больше число n, тем больше точность этой оценки. [3]
• Для того чтобы выбирать точки случайно, необходимо перейти к понятию случайная величина. Случайная величина непрерывная, если она может принимать любое значение из некоторого интервала (a, b).
• Непрерывная случайная величина е определяется заданием интервала (a, b), содержащего возможные значения этой величины, и функции p(x), которая называется плотностью вероятностей случайной величины (плотностью распределения е). Физический смысл p(x): пусть (a?, b?) - произвольный интервал, такой что
• a ? a? < b ? b?,
• тогда вероятность того е, что окажется в интервале (a?, b?), равна интегралу
• P{a? < е < b?}=. [1]
• Множество значений е может быть любым интервалом. Однако плотность p(x) должна удовлетворять двум условиям:

1) плотность p(x) положительна:

p(x)>0

2) интеграл от плотности p(x) по всему интервалу (a, b) равен 1:

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число

M е=

1.2 Оценка погрешности метода Монте-Карло

Для получения оценки математического ожидания случайной величины x необходимо произвести n независимых испытаний и по ним найти выборочную среднюю, которая принимается в качестве искомой оценки. При каждой конечной серии испытаний будут получаться различные значения случайной величины и, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка математического ожидания. Очевидно, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Поэтому возникает вопрос о допускаемой ошибке. Обычно ограничиваются отысканием лишь верхней границы д допускаемой ошибки с заданной вероятностью г, т. е.

P ( | x - a | ? д )

При этом возможны следующие случаи оценки числа испытаний:

1. Случайная величина x распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) д известно. В этом случае с заданной вероятностью г верхняя граница ошибки определяется по формуле у,

д = (1.1)

где:

n -- число испытаний (разыгранных значений случайной величины x);

у -- известное среднее квадратическое отклонение.

2. Случайная величина x распределена нормально, причем ее среднее квадратическое отклонение неизвестно. В этом случае с заданной вероятностью г верхняя граница ошибки вычисляется по формуле

д =(1.2)

где:

n -- число испытаний;

s -- "исправленное" среднее квадратическое отклонение;

t_г -- находят по специальным таблицам.

3. Случайная величина x распределена по закону, отличному от нормального. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n > 30), с вероятностью, приближенно равной г (заданной вероятностью), верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (1.1), если среднее квадратическое отклонение случайной величины известно; если же оно неизвестно, то можно подставить в формулу (1.1) его оценку -- "исправленное" среднее квадратическое отклонение -- либо воспользоваться формулой (1.2). При этом, чем больше число испытаний, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. [4]

2. Руководство пользователя программы

Приложение MK.exe позволяет вычислить определенный интеграл методом Монте-Карло.

2.1 Минимальные системные требования

Операционная система: Windows XP или выше. Необходимое место на жестком диске 200 КБ.

2.2 Описание

Приложение MK.exe позволяет вычислить определенный интеграл методом Монте-Карло.

Пользователю, которому требуется посчитать определенный интеграл, необходимо ввести верхний и нижний пределы интегрирования, а также количество испытаний.

2.3 Подготовка к работе

Чтобы начать использовать программу скопируйте файл MK.exe в любое удобное для вас место.

2.4 Описание главного окна

Программа MK.exe имеет консольный интерфейс. Изменение размеров окна разрешено (Рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 - Главное окно приложения

Для того чтобы вычислить интеграл пользователю необходимо ввести запрашиваемые данные и нажать клавишу Enter.

3. Решение контрольного примера

Для демонстрации работы приложения решим контрольный пример.

Для решения контрольного вычислим определенный интеграл

I ==-= 4.670774270

Расчеты программы указаны в таблице 1.

Таблица 1 - Результаты вычисления

Заключение

В ходе курсовой работы были изучен метод Монте-Карло, позволяющий вычислить определенный интеграл. Написана реализация на языке C++, составлена общая блок-схема программы. Приложение имеет консольный интерфейс.

Список литературы

1. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики. / Марон И.А. - М.: Наука, 2011 - 664 c.

2. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы - М.: Наука, 1975-472 с.

3. Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. / Марон И.А. - М.: Наука, 1972. - 367 с.

4. Соболь И.М. Метод Монте-Карло - М.: Наука, 1985. - 80 c.

Приложение А

Укрупненная блок-схема всего приложения

Monte-Carlo

Integral

Random

Размещено на Allbest.ru