Анализ геометрических вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самостоятельная работа

Геометрические вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. В этом случае применяется геометрическое определение вероятности, которое используется, когда вероятность попадания в любую часть области пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы.

Если геометрическая мера всей области равна , а мера части этой области А, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть , то вероятность события А определяется по формуле:

Области А и могут иметь любое число измерений.

Теорема 1. (Сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий А и В () равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Теорема 2. (Сложения вероятностей совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Теорема 3. (Умножения вероятностей). Вероятность совместного наступления двух событий А и В равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло

Для случая событий формула (2.5) принимает вид:

Пример 2.1. На отрезке длины 20 см помещён меньший отрезок длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.

Пример 2.2. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

Решение: Обозначим через расстояние от центра монеты до ближайшей прямой. Тогда пространство элементарных исходов , а множество благоприятствующих исходов . Поэтому

Пример 2.3. Вероятности появления каждого из двух независимых событий и соответственно равны и . Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Решение: Вероятность появление только одного из событий и вычисляется по формуле:

Пример 2.4. В ящике 7 деталей, из которых 4 стандартных. Наудачу взяты 3 детали. Найти вероятность того, что все взятые детали являются стандартными. геометрический вероятность теорема умножение

Решение: Обозначим через А событие, что первая из взятых деталей является стандартной, через В - вторая выбранная деталь - стандартная, С - третья деталь - стандартная. Тогда

.

Задания:

2.1 В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньше L.

2.2 На отрезке ОА длиной L числовой оси Ох наудачу поставлена точка . Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, меньшую, чем L/3.

2.3 В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность того, что наудачу выбранный шар не белого цвета.

2.4 Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

2.5 В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

2.6 Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.

2.7 На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки и , причем . Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L/2.

2.8 Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт.

2.9 Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.

2.10 В ящике имеются 10 монет по 20 коп., 5 монет по 15 коп. и 2 монеты по 10 коп. Наугад берутся шесть монет. Какова вероятность того, что в сумме они составят не более одного рубля?

2.11 С помощью шести карточек, на которых написано по одной букве, составлено слово «карета». Карточки перемешиваются, а затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность того, что в порядке поступления букв образуется слово «ракета»?

2.12 На отрезке АВ длины наудачу поставлены две точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке М, чем к точке А.

2.13 В первой урне находятся 5 белых, 11 черных и 8 красных шаров, во второй - 10 белых, 8 черных и 6 красных. Из обеих урн наудачу извлекаются по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

2.14 Вероятность того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

2.15 Среднее число пасмурных дней в июле равно шести. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

2.16 Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода - один час, а второго - два часа.

2.17 Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,9. Найти вероятность поражения цели (хотя бы одного попадания).

2.18 В урне 5 красных, 10 синих, 14 зеленых и 1 белый шар. Какова вероятность того, что в первый раз будет вынут красный шар, во второй раз - синий и в третий - зеленый, если шары обратно не возвращаются.

2.19 Трое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

2.20 Вероятность того, что при одном измерении допущена ошибка, равна 0,4. Производят 3 независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущена ошибка.

2.21 На плоскости проведены параллельные линии, расстояние между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.

2.22 На отрезке длиной наудачу выбраны две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше , где ?

2.23 В урне имеются n шаров с номерами от 1 до n. Шары извлекаются наудачу по одному без возвращения. Какова вероятность, что при k первых извлечениях номера шаров совпадут с номерами извлечений?

2.24 Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него бросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,5; 0,8?

2.25 В урне имеется 5 шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятность того, что извлеченные шары будут иметь номера 1,4,5 независимо от того, в какой последовательности они появились.

2.26 На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 9 см, наудачу брошен круг радиуса 3 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых.

2.27 Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрельба происходит по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.

2.28 Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

2.29 Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты карту пиковой масти, либо вальта, даму или короля одной масти?

2.30 Студент знает 10 из 15 вопросов. Найти вероятность, что он ответит на все 3 заданных ему вопроса.

Размещено на Allbest.ru