Использование матриц
Матрица и её основные свойства, ранг, определитель и способы его поиска, обратная матрица. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера. Использование матрицы в решении системы уравнений и определении длины вектора, поиск базисных решений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.11.2015 |
| Размер файла | 343,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача 1. Даны матрицы:
Определить, имеет ли матрица обратную.
Решение:
Найдем матрицу:
матрица ранг уравнение вектор
Вычислим определитель матрицы :
Приведем определитель к треугольному виду.
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Т.к. то матрица не имеет обратную.
Ответ: матрица не имеет обратную.
Задача 2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
Решение:
Найдем определитель матрицы коэффициентов системы уравнений:
Д = =,
Найдем первый определитель матрицы коэффициентов. Для этого вместо 1-го столбца подставим столбец свободных членов:
Д1 = =
Найдем второй определитель матрицы коэффициентов. Для этого вместо 2-го столбца подставим столбец свободных членов:
Д2 = =
Найдем третий определитель матрицы коэффициентов. Для этого вместо 3-го столбца подставим столбец свободных членов:
Д3 = = =
Найдем решение системы уравнений:
x1 =
x2 =
x3 =
Проверка:
, верно.
Ответ:
Задача 3. Решить систему линейных уравнений:
Найти какое-нибудь базисное решение.
Решение:
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк преобразуем ее к редуцированному виду:
Так как количество линейно независимых строк матрицы равно 2, то ранг матрицы равен 2, следовательно, размерность пространства решений равна:
И фундаментальная система решений состоит из двух линейно независимых решений.
Неизвестные , соответствующие базисным столбцам, являются базисными, неизвестные - свободными.
Используя метод Гаусса, получим:
Следовательно, общее решение:
Найдем какое-нибудь базисное решение, полагая
Ответ: общее решение:
базисное решение:
Задача 4. Найти длину вектора , если
Решение:
Таким образом, длина вектора:
Ответ:.
Задача 5. Даны четыре вектора
в некотором базисе. Показать, что векторы , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение:
Составим матрицу, столбцами которой являются векторы , и приведем ее к ступенчатому виду:
Следовательно, ранг матрицы, составленной из векторов , равен трём (количество ненулевых строк); векторы , - линейно независимы и образуют базис в пространстве .
Тогда вектор должен разлагаться по этому базису:
Значит, координаты полученного разложения удовлетворяют линейной неоднородной системе алгебраических уравнений:
Решим систему методом Гаусса:
Обратный ход:
Следовательно,
Итак, вектор в базисе имеет координаты: ;;).
Откуда заключаем: .
Ответ: координаты вектора в базисе векторов :
;;).
Задача 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей
Решение:
Найдем собственные значения матрицы
Значит, - характеристическое уравнение и - его корни.
Найдем линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному числу :
Отсюда следует, что координаты искомых собственных векторов связаны равенством:
Значит,
Откуда:
Найдем линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному числу :
Отсюда следует, что координаты искомых собственных векторов связаны равенством:
Значит,
Откуда:
Ответ: собственные числа:
собственные вектора:
Задача 7. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).
б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму
Решение:
а) Методом Лагранжа приведем квадратичную форму
к каноническому виду.
Переход к базису, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, осуществляется преобразованием:
Получим:
Ответ: квадратичная форма имеет следующий канонический вид:
б) По критерию Сильвестра исследуем на знакоопределенность квадратичную форму
Запишем матрицу квадратичной формы
Вычислим ее главные диагональные миноры:
Следовательно, по критерию Сильвестра заключаем: квадратичная форма является знакопеременной.
Ответ: квадратичная форма является знакопеременной.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Примеры операций над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений, две его составляющие: прямой и обратный ходы. Решение системы по формулам Крамера. Построение параболы.
контрольная работа [33,2 K], добавлен 05.02.2009Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
задача [93,5 K], добавлен 08.11.2010Назначение и определение алгебраического дополнения элемента определителя. Особенности неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Определение размера матрицы. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины.
контрольная работа [320,1 K], добавлен 13.07.2009Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гауса. Граф состояний марковской системы. Составление уравнений Колмогорова. Предельные вероятности состояний системы. Матричный метод, матрица треугольная, матрица квадратная и решение системы.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 20.07.2010Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Понятие матрицы, ее ранга, минора, использование при действиях с векторами и изучении систем линейных уравнений. Квадратная и прямоугольная матрица. Элементарные преобразования матрицы. Умножение матрицы на число. Класс диагональных матриц, определители.
реферат [102,8 K], добавлен 05.08.2009Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.
реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Метод Гаусса–Жордана: определение типа системы, запись общего решения и базиса. Выражение свободных переменных с использованием матричного исчисления. Нахождение координат вектора в базисе. Решение системы уравнений по правилу Крамера и обратной матрицей.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 17.12.2010Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.
реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009Алгоритм решения задач по теме "Матрицы". Исследование на совместность системы линейных алгебраических уравнений, пример их решения по правилу Крамера. Определение величины угла при вершине в треугольнике, длины вектора. Исследование сходимости рядов.
контрольная работа [241,6 K], добавлен 19.03.2011Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009
