Уравнения гиперболического типа

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Лекция 4

Уравнения гиперболического типа

Вывод уравнения колебания струны

Рассмотрим натянутую струну, закрепленную на концах. Если струну вывести из положения равновесия (например, оттянуть ее или ударить по ней), то струна начнет колебаться.

Будем рассматривать только поперечные колебания, т.е. такие, когда движение всех точек струны происходит в одной плоскости и в направлении, перпендикулярном положению равновесия. Если положение равновесия принять за ось , то процесс будет характеризоваться одной скалярной величиной - отклонением от положения равновесия точки струны в момент времени . Поэтому, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени , нужно найти зависимость от и , т.е. найти функцию .

При каждом фиксированном значении график функции представляет форму струны в этот момент времени. Частная производная дает при этом угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой (рис. 1.2). При постоянном значении функция дает закон движения точки с абсциссой вдоль прямой, параллельной оси , производная - скорость этого движения, а вторая производная - ускорение. Задача состоит в том, чтобы составить уравнение, которому должна удовлетворять функция .

Для решения данной задачи сделаем несколько предположений.

А. Будем считать струну абсолютно гибкой, т.е. не сопротивляющейся изгибу; это означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону от какой-либо ее точки, то сила натяжения , заменяющая действие удаленной части, всегда будет направлена по касательной к струне (рис. 1.2).

Б. Струна упругая, вследствие чего возникают лишь силы натяжения, которые подчинены закону Гука: натяжение струны пропорционально ее удлинению.

В. Пренебрегаем толщиной струны, т.е. считаем ее нитью.

Г. На струну в плоскости колебания действуют силы, параллельные оси , которые могут меняться вдоль струны со временем. Будем считать, что эти силы непрерывно распределены вдоль струны. Величину силы, направленной вверх, условимся считать положительной, а вниз - отрицательной. Плотность распределения этих сил обозначим через . Если единственной внешней силой является вес струны, то , где - плотность струны, а - ускорение силы тяжести. Силами сопротивления среды, в которой колеблется струна, пренебрегаем.

Д. Будем рассматривать только малые колебания струны. Математически это означает, что отклонения малы и, следовательно, угловой коэффициент струны (угол ) в любой момент времени столь мал, что квадратом углового коэффициента можно пренебречь в сравнении с единицей).

Е. Величину силы натяжения можно считать постоянной, не зависящей ни от точки ее приложения, ни от времени .

Дадим обоснование этому допущению. Выделим произвольный участок струны, который при колебании струны деформируется в участок (рис. 1.3). Длина дуги в момент времени равна:

.

Следовательно, при предположении п. Д в процессе колебания удлинения участков струны не происходит. Отсюда, в силу закона Гука, следует, что величина натяжения в каждой точке остается неизменной во времени. Покажем также, что натяжение не зависит и от , т.е. . Действительно, на участок струны действуют силы натяжения и , направленные по касательным к струне в точках и , внешние силы и силы инерции. Воспользуемся принципом кинетостатики, на основании которого все силы должны уравновешиваться (принцип Даламбера). Согласно принципу Даламбера сумма проекций на ось всех сил равна нулю. Так как рассматриваются только поперечные колебания, то внешние силы и силы инерции направлены по оси и потому сумма проекций сил запишется так:

.

Но , , где - угол между касательной в точке с абсциссой к струне в момент с положительным направлением оси . Итак, имеем

.

Учитывая малость колебаний, можно заменить:

.

Тогда получим, что . Отсюда, ввиду произвольности и , следует, что величина натяжения не зависит от . Таким образом, можно считать, что при всех значениях и .

Перейдем теперь к выводу уравнения колебания струны при сделанных допущениях (см. пп. А - Е).

Составим сумму проекций всех сил на ось : сил натяжения, внешних сил и сил инерции.

Сумма проекций на ось сил натяжения, действующих в точках и , запишется в виде

.

Вследствие предположения п. Д

.

Следовательно, .

Замечая, что ,

окончательно получаем

.	(1.112)

Обозначим через внешнюю силу, действующую на струну параллельно оси и рассчитанную на единицу длины. Тогда проекция на ось внешней силы, действующей на участок , будет равна

.	(1.113)

Обозначим через линейную плотность струны; тогда на участок будет действовать сила инерции, равная

.	(1.114)

Приравнивая к нулю сумму проекций всех сил (1.112), (1.113), (.114), получим

.	(1.115)

Если подынтегральная функция непрерывна, то из равенства нулю интеграла следует, что функция тождественно равна нулю в этой области. Предполагая существование и непрерывность вторых производных функции , а также непрерывность функций и , заключаем, что в силу произвольности и , подынтегральная функция должна равняться нулю для всех и :

или

.	(1.116)

Это и есть искомое уравнение колебаний струны.

Если струна однородная, т.е. , то уравнение (1.116) обычно записывается в виде

,	(1.117)

где , .

Неоднородное уравнение (1.117) называется уравнением вынужденных колебаний струны; если , т.е. внешняя сила отсутствует, то уравнение (1.117) становится однородным:

.	(1.118)

Уравнение (1.118) описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (1.117) - одно из простейших уравнений гиперболического типа и в то же время одно из важнейших дифференциальных уравнений математической физики. К нему сводится не только рассмотренная задача, но и многие другие.

Формулировка краевых задач. Граничные и начальные условия

Одного уравнения движения (1.116) при математическом описании физического процесса недостаточно. Надо сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Сформулируем дополнительные условия для струны с закрепленными концами. Так как концы струны длины закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равны нулю при любых :

,

или

, .	(1.119)

Условия (1.119) называются граничными условиями; они показывают, что происходит на концах струны на протяжении процесса колебания.

Очевидно, процесс колебаний будет зависеть от того, каким способом струна выводится из состояния равновесия. Удобнее считать, что струна начала колебаться в момент времени . В начальный момент времени всем точкам струны сообщаются некоторые смещения и скорости:

,

или

, ,	(1.120)

где и - заданные функции.

Условия (1.120) называются начальными условиями.

Итак, физическая задача о колебаниях струны свелась к следующей математической задаче: найти такое решение уравнения (1.116) (или (1.117) или (1.118)), которое удовлетворяло бы граничным условиям (1.119) и начальным условиям (1.120). Эта задача называется смешанной краевой задачей, так как включает в себя и граничные и начальные условия. Доказано, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции и , смешанная задача имеет единственное решение.

Оказывается, что к задаче (1.116), (1.119), (1.120), помимо задачи о колебаниях струны, сводятся многие другие физические задачи: продольные колебания упругого стержня, крутильные колебания вала, колебания жидкостей и газа в трубе и др.

Помимо граничных условий (1.119) возможны граничные условия других типов. Наиболее распространенными являются следующие:

I. , ;

II. , ;

III. , ,

где , - известные функции, а , - известные постоянные.

Приведенные граничные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, если концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II - в случае, если к концам приложены заданные силы; условия III - в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенств, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (1.119) - однородные.

Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

Для уравнения (1.116) может быть поставлена и другая задача. Пусть струна достаточно длинная и нас интересует колебание ее точек, достаточно удаленных от концов, причем в течение малого промежутка времени. В этом случае режим на концах не будет оказывать существенного влияния и поэтому его не учитывают; струну же при этом считают бесконечной. Вместо полной задачи ставят предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области: найти решение уравнения (1.116) для при , удовлетворяющее начальным условиям:

, .

Эту задачу называют задачей Коши.

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то мы приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой . В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I-III при .

К основным уравнениям математической физики относятся следующие уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое и телеграфное уравнения

Уравнение



	(2.59)

где скорость распространения волны в данной среде, называется волновым уравнением. В приведенном уравнении обозначают декартовы координаты точки, время.

Для двумерного пространства (плоский случай) волновое уравнение имеет вид

.	(2.60)

В одномерной области уравнение (2.60) принимает вид

.	(2.61)

Волновое уравнение описывает процессы распространения упругих, звуковых, световых, электромагнитных волн, а также другие колебательные явления. Например, волновое уравнение может описать:

а) малые поперечные колебания струны (при этом под понимают поперечное отклонение точки струны от положения равновесия в момент времени ); уравнение колебание струна волновой

б) продольные колебания упругого стержня ( продольное отклонение частицы от ее положения при отсутствии деформации);

в) малые упругие колебания плоской пластины, мембраны;

г) течение жидкости или газа в коротких трубах, когда трением о стенки трубы можно пренебречь ( давление или расход).

Уравнение вида

	(2.62)

называется телеграфным уравнением. Оно описывает электрические колебания в проводах ( сила тока или напряжение), неустановившееся течение жидкости или газа в трубах ( давление или скорость).

Волновое и телеграфное уравнения входят в группу уравнений гиперболического типа.

2. Уравнение теплопроводности

Уравнение

	(2.63)

где параметр, учитывающий физические свойства изучаемой среды, называется уравнением теплопроводности.

Оно имеет вид для плоского случая

	(2.64)

для одномерного



.	(2.65)

Уравнением теплопроводности описываются процессы нестационарного массо- и теплообмена. В частности, к этим уравнениям приводят задачи о неустановившемся режиме распределения тепла (при этом означает коэффициент температуропроводности, а температуру в любой точек исследуемой области в любой момент времени ), о фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде, например, нефти и газа в подземных песчаниках ( коэффициент пьезопроводности, давление в любой точке среды), о неустановившейся диффузии ( коэффициент диффузии, концентрация), о течении жидкости в магистральных трубопроводах ( давление или скорость жидкости).

Если при рассмотрении этих задач окажется, что в исследуемой области функционируют внутренние источники и стоки массы или тепла, то процесс описывается неоднородным уравнением

,	(2.66)

где функция характеризует интенсивность функционирующих источников.

Уравнения (2.63) - (2.66) являются простейшими уравнениями параболического типа.

Уравнения Лапласа и Пуассона

	(2.67)

называется уравнением Пуассона в трехмерном пространстве. Если в этом уравнении , то оно называется уравнением Лапласа:

.	(2.68)

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются нестационарными или динамическими задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия - это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия - это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид - заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий - порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и называется задачей математической физики.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво.

Колебания струны. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач

Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения . Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться. Процесс колебания можно описать одной функцией , характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия (рис. 2.2)). При каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени .

Функция удовлетворяет уравнению

,	(2.69)

где масса единицы длины (линейная плотность струны), сила, действующая на струну перпендикулярно оси и рассчитанная на единицу длины.

Если внешняя сила отсутствует, т.е. , то уравнение

	(2.70)

описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.

Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описании физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

.	(2.71)

Граничные условия определяются поддерживаемым на концах струны режимом на протяжении процесса колебания. Так, если концы струны длины

закреплены, то отклонения в точках и равны нулю:

.	(2.72)

Будем говорить о трех типах граничных условий:

I

II

III,

где известные функции,

и известные постоянные.

Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II - в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III - в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) - однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу - з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для при , удовлетворяющее начальным условиям

.

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой . В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I - III при .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент струна имела форму () и скорость каждой ее точки задается функцией . Рассмотреть случаи:

а) концы струны закреплены;

б) концы струны свободны;

в) к концам струны и , начиная с момента , приложены поперечные силы и соответственно;

г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.

Решение. Как известно, отклонения точек струны от положения равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)

.

Здесь , натяжение, линейная плотность , т.к. струна однородная.

Начальные условия имеют вид:

, , .

Займемся выводом граничных условий.

Случай а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равными нулю при любом , т.е.

, , .

Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию , определенную при и , являющуюся решением уравнения

и удовлетворяющую граничным условиям

,

и начальным условиям

, .

Случай б). Если концы струны свободны, то внешние силы, приложенные к ним, равны нулю. И, следовательно, равна нулю сила натяжения , которая согласно закону Гука, пропорциональна удлинению: , где коэффициент включает модуль упругости материала. Поэтому

, , ,

Задача формулируется следующим образом: найти решение уравнения

, , ,

удовлетворяющее граничным условиям

,

и начальным условиям

, .

Случай в). Рассмотрим граничные элементы и . Запишем второй закон Ньютона для правого элемента , на который действует сила и сила натяжения :

Переходя к пределу при , получим

, откуда .

Аналогично получим условия для левого конца:

.

Таким образом, задача ставится так: найти в области , , решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям рода

,

и начальным условиям

, .

Случай г). При упругом закреплении концов каждый конец испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца, т.е.

, ,

где - коэффициент жесткости упругого крепления концов струны. Тогда из граничных условий в случае в) получим

, ,

иначе , .

Математическая формулировка задачи: найти решение уравнения

,

удовлетворяющее граничным условиям III рода

, ,

и начальным условиям

, , .

Размещено на Allbest.ru

...