Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Стерлитамакский филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Башкирский государственный университе

Контрольная работа

на тему: Исследование фазовых кривых системы уравнений

Выполнила:

Короткова Ксения Владиславна

Стерлитамак 2014

Содержание

• Введение
• 1. Положение равновесия
• 2. Пример
• Заключение
• Список литературы
• 

Введение

Автономной системой для функций , называется система дифференциальных уравнений

, , (1)

где правые части не зависят от переменной .

Пусть , - решение (1).

Фазовой траекторией системы (1) называется параметрически заданная кривая , на плоскости . Принято отмечать стрелкой на траектории направление движения точки с ростом времени.

Фазовым портретом системы называется картина, которую образуют фазовые кривые.

Положением равновесия, или точкой покоя, автономной системы дифференциальных уравнений (1) называется её решение вида , .

Отметим, что траектория положения равновесия - точка, и .

В простейшем случае, когда , линейны, т.е. , , где - постоянные, система принимает вид

, . (2)

Введем матрицу , составленную из коэффициентов системы (2).

Положение равновесия

Пусть . Система (2) имеет единственную точку покоя . В случае неоднородной системы (1) точка покоя отлична от начала координат.

Характер расположения траекторий определяется корнями характеристического уравнения (собственными корнями . матрицы ).

Решение системы (2) имеет вид

,

где и - собственные вектора.

1. и действительны, различны и одного знака. Точка покоя называется узлом (рис. 1а).

Узел характеризуется тем, что все траектории, кроме одной II имеют в точке (0;0) общую касательную I, которая сама является траекторией. Прямые I и II направлены вдоль собственных векторов матрицы , соответствующих и , причем прямая I отвечает меньшему по модулю и .

При и узел является устойчивой точкой покоя. На рис. 1а стрелками показано направление движения вдоль траектории при возрастании в случае устойчивого узла. Если и , то узел неустойчив и стрелки заменяются на противоположные.

2. и действительны и имеют разные знаки. Точка покоя называется седлом (рис. 1б).

Седло характеризуется наличием двух траекторий I и II, проходящих через также в направлении собственных векторов. Прямая I является асимптотой для остальных траекторий при , а II является асимптотой при . Прямолинейная траектория I расположена по направлению собственного вектора, отвечающего положительному , а прямолинейная траектория II по направлению собственного вектора, отвечающего отрицательному . Прямые I и II называются сепаратрисами седла. Седло является неустойчивой точкой покоя. На рис. 1б стрелками показано направление движения вдоль траектории при возрастании . Сепаратриса II является единственной траекторией, которой отвечает решение, стремящееся к 0 при . Только две траектории I и II являются прямолинейными. Остальные траектории криволинейны и с возрастанием идут из в . Сепаратрисы I и II разделяют фазовую плоскость на 4 области, в которых лежат криволинейные траектории.

3. и комплексны с отличной от нуля вещественной частью . Точка покоя называется фокусом (рис. 1в).

Фокус в зависимости от знака является устойчивой или неустойчивой. На рис. 1в стрелками показано направление движения при возрастании в случае устойчивого фокуса ().

Траектории могут быть закручены вокруг (0;0) в разных направлениях (рис. 2). Для определения направления закручивания достаточно вычислить вектор в какой-либо точке, например, в (0;1).

4. и чисто мнимые (). Точка покоя называется центром (рис. 1г).

Центр является устойчивой, но не асимптотически устойчивой точкой покоя. фазовая кривая уравнение траектория

Для определения направления закручивания достаточно вычислить вектор в какой-либо точке, например, в (0;1).

5. и матрица не диагональная. Точка покоя называется вырожденным узлом (рис. 1д).

Все траектории касаются одной прямой, направленной вдоль единственного собственного вектора, отвечающего .

При и узел является устойчивой точкой покоя. На рис. 1д стрелками показано направление движения вдоль траектории при возрастании в случае устойчивого узла. Если и , то узел неустойчив и стрелки заменяются на противоположные.

6. и матрица диагональная. Точка покоя называется дикритическим узлом (рис. 1е).

При дикритический узел является устойчивым, при - неустойчивым.

Если (или ) или , то , и точка покоя не является единственной и точки покоя не изолированы.

2. Пример

В этом разделе построим фазовый портрет системы

, . (3)

Точка покоя матрица .

Найдем собственные значения матрицы :

. (4)

Корни уравнения (4) чисто мнимые . Значит - центр.

Фазовые траектории - окружности с центром в начале координат. Определим направление движения. Найдем для точки вектор скорости . Из исходной системы

, ,

то есть в точке вектор скорости равен . Следовательно, возрастанию соответствует движение по траекториям против часовой стрелки (рис. 3).

Теперь выпишем уравнения фазовых траекторий. Продиффиренцируем первое уравнение системы (3) и выразим . Также выразим и подставим во второе уравнение системы (3), тогда получим

или . (5)

Уравнение (5) перепишем в виде системы , . Поделим уравнения этой системы (второе на первое)

, (6)

Полученное уравнение - это линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим это уравнение

, (7)

,

, (8)

где - произвольная постоянная интегрирования. Постоянная в (8) выбирается из заданных начальных условий , согласно равенству

.

Уравнение (8) запишем так:

- уравнение эллипса с полуосями и .

Заключение

Корни характеристического уравнения системы дифференциальных уравнений

,

являются чисто мнимыми числами , поэтому фазовые траектории представляют собой концентрические эллипсы с центром в начале координат, а особая точка называется центром.

Список литературы

1. Васильева А.В., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 432 с.

2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики: Учеб. для студентов физ-техн. спец. вузов. - 5-е изд., доп. - М.: Наука, 1988.

3. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: Примеры и задачи. - 2-е изд. - М.:Высшая школа, 1989.

4. Сборник задач по дфференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В.К. Романко, Н.Х. Агаханов, В.В. Власов, Л.И. Коваленко. -М.:ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. - 256 с.

5. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.; Л.:Гостехиздат, 1949.

6. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс экстремальных задач. - М.:МГУ, 1989.

7. Поляков К. Ю. Теория автоматического управления для «чайников»: Методич. пособие. - СПб, 2008. - 80 с.

8. Пушкарь Е. А. Дифференциальные уравнения. Учеб. пособ. - М.: МГИУ, 2007. - 254 с.

9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969.

Размещено на Allbest.ru