Фазовые кривые однородной системы линейных дифференциальных уравнений

Особенности линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на плоскости. Определение точки равновесия (нулевого решения) однородной системы линейных уравнений. Расчет поведения фазовых кривых линейной автономной системы на плоскости.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 29.11.2015
Размер файла 451,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Необходимые теоретические сведения

2. Решение системы дифференциальных уравнений, исследование фазовых кривых

Список использованной литературы

Введение

Очень многие природные процессы удается научно исследовать, моделируя их с помощью дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Поэтому теория дифференциальных уравнений -- это важная прикладная математическая наука.

Среди всевозможных дифференциальных уравнений самыми простыми и доступными для изучения являются линейные уравнения, а самые простые среди линейных уравнений -- уравнения с постоянными коэффициентами. Несмотря на их простоту, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами имеют достаточно богатую теорию (особенно в случае систем) и являются важным прикладным инструментом.

Цель курсовой работы рассмотреть систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на плоскости.

Задача курсовой работы исследовать фазовые кривые одной конкретной системы. Она решается во втором разделе основной части работы, в первом разделе излагаются необходимые определения и результаты из теории.

При написании этой работы использовалась учебная литература. Список использованной литературы приведен в конце работы.

1. Необходимые теоретические сведения

Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в общем случае имеет вид

Здесь -- неизвестные функции, () -- известные коэффициенты (вещественные числа). Если обозначить вектор неизвестных функций через , а матрица коэффициентов через , то систему можно переписать в векторно-матричном виде

Если в этой записи понимать как обычную функцию, а не вектор, а -- как число, то, как известно, общее решение такого уравнения имеет вид:

где -- произвольная константа. Оказывается, что подобным образом можно записывать и общее решение системы дифференциальных уравнений, только если является матрицей, то надо определить, что такое .

Рассмотрим случай .

Тогда однородная система приобретает вид

Чтобы найти ее общее решение, надо найти собственные числа матрицы . Для этого решается характеристическое уравнение:

относительно параметра . Подробно расписывая левую часть характеристического уравнения, мы видим, что она представляет собой многочлен второй степени относительно :

В зависимости от значений коэффициентов этот многочлен может иметь два различных вещественных корня, один двукратный вещественный корень (в том случае, если выражение является полным квадратом), или же, наконец, два комплексно сопряженных корня. Поведение решений системы (каждому решению геометрически соответствует кривая на плоскости, которая называется фазовой кривой) зависит именно от корней характеристического уравнения, причем не только от того, вещественные они или комплексные, различные или совпадающие, но и от знака каждого вещественного корня, а в случае комплексных корней -- от знака вещественной и мнимой части. Здесь возможно много разных вариантов, и соответственно выделяется много типов поведения фазовых кривых.

Однородная система всегда имеет стационарное (то есть постоянное) нулевое решение: . Про него еще говорят, что оно определяет точку равновесия системы. Особое внимание уделяется тому, является ли нулевое решение устойчивым, то есть удаляются ли от него или, наоборот, стремятся к нему остальные решения системы, когда аргумент стремится к бесконечности. Ответ на этот вопрос полностью определяется знаками вещественных частей собственных чисел матрицы : если хотя бы одно из собственных чисел положительно или имеет положительную вещественную часть, то нулевое стационарное решение неустойчиво, то есть существуют решения, которые при убегают от точки равновесия в бесконечность. Если оба собственных числа имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение асимптотически устойчиво: все остальные решения стремятся к нулю при . Если же оба собственных числа имеют нулевые вещественные части, или одно равно нулю, а другое отрицательно, то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически: в этом случае никакие решения не убегают от точки равновесия в бесконечность, но и не все стремятся к нулю: есть такие решения, которые остаются от нуля на конечном расстоянии. Случай, когда одно или оба характеристических числа нулевые, интересен тем, что в этом случае, кроме нулевого положения равновесия, система имеет и другие стационарные точки. Чтобы их найти, надо найти собственный вектор нулевого собственного значения, то есть решить векторно-матричное уравнение

2. Решение системы дифференциальных уравнений, исследование фазовых кривых

В этом разделе работы мы исследуем фазовые кривые системы уравнений:

Эта система является линейной, автономной и однородной системой уравнений первого порядка. Поскольку система однородна, у нее есть нулевое решение: , . Перепишем систему в виде:

Выпишем матрицу коэффициентов системы, обозначим ее :

Составим характеристическое уравнение и решим его:

Корнями этого уравнения являются числа и . Это собственные числа матрицы . Необходимо найти соответствующие этим числам собственные векторы. Заметим, что, поскольку имеется нулевое собственное значение, система является сложной: у нее есть положения равновесия, отличные от точки .

Рассмотрим матрично-векторное уравнение (то есть ), где -- это вектор с координатами и . Перепишем это уравнение в координатах, то есть запишем его как систему уравнений относительно и :

Второе уравнение можно поделить на (эта операция не меняет множества решений), и тогда мы получим систему, в которой два одинаковых уравнения:

Понятно, что общее решение этой системы определяется равенством , так что в качестве собственного вектора годится любой ненулевой вектор, у которого первая координата совпадает со второй. Например, можно взять вектор .

Теперь рассмотрим уравнение , то есть . Как и раньше, . В координатах это уравнение будет выглядеть так:

Перенесем в левые части уравнений слагаемые, стоящие в правых частях: линейный уравнение плоскость кривая

Эта система содержит два одинаковых уравнения, и одно из них можно отбросить. В данном случае в качестве собственного вектора можно взять .

Общее решение системы уравнений имеет вид:

где -- произвольные вещественные константы.

В координатах решение запишется так:

Поскольку один из корней характеристического уравнения положителен, стационарное решение неустойчиво: если, например, положить , , то мы получим решение , которое с ростом будет удаляться от положения равновесия (то есть от начала координат) в бесконечность.

Фазовые кривые схематично показаны на рисунке:

Каждая точка прямой является стационарной фазовой кривой, то есть положением равновесия системы. Остальные фазовые кривые представляют собой лучи, уходящие от прямой в бесконечность. Все эти лучи параллельны вектору .

Рассмотрев и изложив необходимый теоретический материал, мы решили задачу о поведении фазовых кривых линейной автономной системы на плоскости.

Список использованной литературы

1. Пушкарь Е. А. Дифференциальные уравнения. -- М.: МГИУ, 2007.

2. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. -- 2 изд. -- М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. -- 344 с.

3. Эльсгольц В. К. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -- М.: Наука, 1969. -- 424 с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.Полный курс.-2-е изд. Айрис-пресс, 2004.-608с.

5. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М., 1980.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.

    дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010

  • Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Основные примеры построения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, метод преобразования Фурье. Преимущества использования методов спуска.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 10.04.2014

  • Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.

    контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009

  • Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений однородной и неоднородной систем. Матричный метод решения и обобщение. Методы Крамера и Гаусса.

    курсовая работа [154,5 K], добавлен 13.11.2012

  • Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

    контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011

  • Основные виды линейных интегральных уравнений. Метод последовательных приближений, моментов, наименьших квадратов и коллокации. Решение интегральное уравнение методом конечных сумм и методом моментов. Ненулевые решения однородной линейной системы.

    контрольная работа [288,4 K], добавлен 23.10.2013

  • Ознакомление с основными свойствами линейных дифференциальных уравнений первого, второго и n-го порядков с постоянными коэффициентами. Рассмотрение методов решения однородных и неоднородных уравнений и применения их при решении физических задач.

    дипломная работа [181,3 K], добавлен 18.09.2011

  • Дифференциальные уравнения как модели эволюционных процессов. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Асимптотическая устойчивость линейных однородных автономных систем. Изображения фазовых кривых при помощи ПО Maple.

    дипломная работа [477,4 K], добавлен 17.06.2015

  • Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

    контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010

  • Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.

    контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.