Теория вероятности
Математический поиск вероятности события. Расчет двухмерных случайных величин. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Закон распределения функции случайного аргумента. Изучение формулы полной вероятности. Математическое ожидание произведения величин.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.11.2015 |
| Размер файла | 226,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Задача 1. Случайные события. Вероятность события
В задачах 1.13-1.19 наудачу взяты два положительных числа x и y, причем x5, y 2. Найти вероятность того, что y+ax-b 0 и y-cx 0.
1.19. a=2, b=10, c=0,5.
Пример 1.2. Наудачу взяты два положительных числа x и y, причем . Найти вероятность того, что и , если .
Решение. Подставляя значения коэффициентов в неравенства, получаем:
(1)
Строим на рис. 1 оси координат и область, которая определяет пространство элементарных событий Щ. Она задается неравенствами и на рисунке 1 отображается в виде прямоугольника.
Рис. 1
Площадь прямоугольника . Область благоприятствующих исходов определяется неравенствами (1), поэтому строим на рисунке прямые, которые задаются уравнениями . Находим их точку пересечения
Заштрихованная на рисунке 1 область и описывает благоприятствующие исходы, площадь этого заштрихованного треугольника равна [у. е.]. Тогда вероятность события А равна
.
2. Задача 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5 q6=0,6 . Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Рис. 2
Решение. Рассмотрим события А1 - безотказно работает 1-й элемент, А2 - безотказно работает 2-й элемент, и т.д.. , А6 - безотказно работает 6-й элемент. Пусть событие В - сигнал пройдет со входа на выход. Это событие произойдет тогда, когда выполнится или событие А1 , или событие А2 и т.д. , или событие А6. Видим, что следует применять теорему о сумме или объединении n произвольных событий:
.
События Ai являются независимыми, поэтому правая часть запишется в виде:
.
Вероятности противоположных событий (здесь событие _ i-й элемент не работает) даны в условии, т.е. Окончательно получаем
.
3. Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Группа студентов состоит из пяти отличников, десяти хорошо успевающих и семи занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что студент получит отличную оценку.
Решение. Определим событие А - студент получит отличную оценку. Выдвигаем гипотезы: H1 - вызванный студент является отличником, H2 - вызванный студент является хорошистом; H3 - вызванный студент слабо занимающийся. Вероятности гипотез из условия:
Определим условные вероятности события А при каждой гипотезе:
, , . По формуле полной вероятности найдем вероятность события А :
4. Задача 4. Формула Бернулли
Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.
Решение. По условию, , вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна . Вероятность противоположного события : .
Наивероятнейшее число наступлений события А при n опытах определяется из неравенства:
.
Отсюда следует, что .
Задача 5. Дискретная случайная величина
В задачах 5.1-5.40 дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1). Найти p отмеченные *. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
|
Вариант |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
p1 |
p2 |
p3 |
p4 |
p5 |
|
|
5.11 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0 |
Решение.
Ряд распределения случайной величины Х имеет следующий вид
|
0 |
1 |
2 |
3 |
||
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
Математическое ожидание дискретной СВ X:
,
Дисперсия дискретной СВ X:
.
Рассчитаем значения функции распределения для фиксированных значений , взятых из ряда распределения.
1. . 2.
3. .
4.
5. При , согласно свойствам функции распределения,
Рис. 3
Опишем построение графика функции распределения F(x) (рис. 5). Рассмотрим первый промежуток по оси Х от до 0; согласно пункту 1 значение и линия идет по оси Х до нуля включительно. Второй промежуток по оси Х от 0 до 1; согласно пункту 2 значение значит проводим ступеньку высотой 0,1. Третий промежуток от 1 до 2; согласно пункту 3 значение значит проводим ступеньку высотой 0,3. Четвертый промежуток от 2 до 3; согласно пункту 4 значение значит проводим ступеньку высотой 0,6. Пятый промежуток от 3 до ; согласно пункту 5 значение значит проводим ступеньку высотой 1.
6. Задача 6. Непрерывная случайная величина
В задачах 6.1-6.40 (параметры заданий приведены в табл. 6.1) случайная величина Х задана плотностью вероятности
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.
|
Вариант |
x,c) |
a |
b |
|||
|
6.24 |
1 |
4 |
1 |
2,5 |
Решение. Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки. Условие нормировки представляет собой интегральное уравнение, из которого можно определить неизвестный параметр плотности вероятности. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки:
.
Из условия нормировки следует:
.
Плотность вероятности примет вид
Вычислим математическое ожидание СВ:
Дисперсия случайной величины СВ:
Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения - будем искать для каждого интервала в отдельности.
Для : ,
для : ,
для : .
Окончательно имеем
Вычислим вероятность :
.
7. Задача 7. Закон распределения функции случайного аргумента
В задачах 7.1-7.40 (условия приведены в табл. 7.1) случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y).
|
Вариант |
a |
b |
||
|
7.29 |
1 |
2 |
Решение.1. Построим график величины для x в интервале и определим диапазон значений Y: (рис. 7).
Рис. 4
2. В зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y:
3. На интервалах и обратные функции не существует.
В интервале одна обратная функция , следовательно,
.
4. Так как Х равномерно распределена в интервале 1, 2, то ее плотность вероятности равна
Получим плотность вероятности величины Y
Рис. 5
Проверим условие нормировки:
.
8. Задача 8. Двухмерные случайные величины
В задачах 8.1-8.40 (конкретные параметры приведены в табл. 8.1) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Рис. 5
|
Вариант |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
y1 |
y2 |
|
|
8.6 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
1 |
2 |
Решение. Построим область B. Соединим последовательно точки с координатами из таб. 8.2 согласно рис. 8.1:
- точку (x1;0) = (0;0) c точкой (x2; y2) = (0; 2),
- точку (x2; y2) = (0; 2) c точкой (x3; y2) = (6; 2) ,
- точку (x3; y2) = (6; 2) c точкой (x4; y1) = (6; 1),
- точку (x4; y1) = (6; 1) c точкой (x5; y1) = (6; 1) (т.е. остаемся на месте),
- точку (x5; y1) = (6; 1) c точкой (x6; 0) = (6; 0) .
В результате получим следующую фигуру
Рис. 6
Совместная плотность вероятности примет вид
Неизвестную константу c определим, используя условие нормировки плотности вероятности:
Таким образом
Проверим геометрически полученный результат. Объем тела, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью xOy должен быть равен единице, т.е. объем прямоугольного параллелепипеда равен
.
Вычислим математические ожидания:
Вычислим дисперсии:
Корреляционный момент:
Тогда коэффициент корреляции
9. Задача 9. Числовые характеристики суммы и произведения случайных величин
Условия вариантов задачи
В задачах 9.1-9.40 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции :
.
Конкретные значения коэффициентов и числовые характеристики случайных величин приведены в табл. 9.1.
|
Вариант |
a0 |
a1 |
a2 |
b0 |
b1 |
b2 |
m1 |
m2 |
m3 |
D1 |
D2 |
D3 |
K12 |
K23 |
K13 |
|
|
9.4 |
-6 |
2 |
6 |
5 |
-6 |
2 |
1 |
4 |
2 |
1 |
9 |
4 |
0 |
3 |
-1 |
Решение.
.
Вычислим математические ожидания U и V:
Вычислим дисперсии DU и DV:
Рассчитаем корреляционный момент :
.
вероятность случайный аргумент умножение
Для этого определим математическое ожидание произведения величин U и V:
Таким образом
Определим коэффициент корреляции :
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Возможные варианты расчета вероятности событий. Выборочное пространство и события, их взаимосвязь. Общее правило сложения вероятностей. Законы распределения дискретных случайных величин, их математическое ожидание. Свойства биномиального распределения.
презентация [1,4 M], добавлен 19.07.2015Теория вероятности, понятие вероятности события и её классификация. Понятие комбинаторики и её основные правила. Теоремы умножения вероятностей. Понятие и виды случайных величин. Задачи математической статистики. Расчёт коэффициента корреляции.
шпаргалка [945,2 K], добавлен 18.06.2012Показатели безотказности как показатели надежности невосстанавливаемых объектов. Классическое и геометрическое определение вероятности. Частота случайного события и "статистическое определение" вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
курсовая работа [328,1 K], добавлен 18.11.2011Классическое определение вероятности события. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Построение многоугольника распределения. Поиск случайных величин с заданной плотностью распределения. Решение задач, связанных с темой вероятности.
задача [104,1 K], добавлен 14.01.2011Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.
контрольная работа [106,1 K], добавлен 23.06.2009Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.
практическая работа [55,0 K], добавлен 23.08.2015Пространство элементарных событий, математическое ожидание. Функции распределения и плотности распределения составляющих системы случайных величин. Числовые характеристики системы. Условия нормировки плотности системы случайных непрерывных величин.
практическая работа [103,1 K], добавлен 15.06.2012Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Пространство элементарных событий, совместные и несовместные события, поиск их вероятности. Функция распределения системы случайных величин. Числовые характеристики системы: математическое ожидание и дисперсия. Оценка закона генеральной совокупности.
задача [73,6 K], добавлен 15.06.2012Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.
контрольная работа [87,2 K], добавлен 29.01.2014Дискретные системы двух случайных величин. Композиция законов распределения, входящих в систему. Определение вероятности попадания случайной величины в интервал; числовые характеристики функции; математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
контрольная работа [705,1 K], добавлен 22.11.2013Вероятность совместного выполнения двух неравенств в системе двух случайных величин. Свойства функции распределения. Определение плотности вероятности системы через производную от соответствующей функции распределения. Условия закона распределения.
презентация [57,9 K], добавлен 01.11.2013Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.
шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Дискретные случайные величины и законы их распределения. Числовые характеристики системы случайных величин. Законы равномерного и нормального распределения систем случайных величин.
дипломная работа [797,0 K], добавлен 25.02.2011Определение вероятности брака проверяемых конструкций. Расчет вероятности того, что из ста новорожденных города N доживет до 50 лет. Расчет математического ожидания и дисперсии. Определение неизвестной постоянной С и построение графика функции р(х).
курсовая работа [290,7 K], добавлен 27.10.2011Классическое определение вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Дисперсия случайной величины. Число равновозможных событий . Матрица распределения вероятностей системы. Среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал.
контрольная работа [89,7 K], добавлен 07.09.2010Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость. Понятие вероятности. Алгебра событий. Принцип двойственности для событий. Условные вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула Байеса. Пространство элементарных событий.
реферат [402,7 K], добавлен 03.12.2007
