Основные элементарные функции, их свойства и графики

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ



Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойств основных элементарных функций по схеме:

· область определения функции;

· поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);

· четность и нечетность;

· область значений функции;

· промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

· промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);

· наклонные и горизонтальные асимптоты;

· особые точки функций;

· особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Если Вас интересует дифференцирование элементарных функций или интегрирование элементарных функций, то можете перейти к этим разделам теории.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

· Постоянная функция (константа), ее график и свойства.

· Корень n-ой степени, свойства и график.

· Степенная функция, ее график и свойства.

· Показательная функция, свойства, график.

· Логарифмическая функция, ее свойства, графическая иллюстрация.

· Свойства и графики тригонометрических функций.

· Обратные тригонометрические функции (аркфункции), их свойства и графики.

ПОСТОЯННАЯ ФУНКЦИЯ

элементарный функция степенной четный

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C - некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y - значение С. Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5, y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.



Свойства постоянной функции.

· Область определения: все множество действительных чисел.

· Постоянная функция является четной.

· Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.

· Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).

· Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n-ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n - натуральное число, большее единицы.

Корень n-ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.



Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени при четных n.

· Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел .

· При x=0 функция принимает значение, равное нулю.

· Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).

· Область значений функции: .

· Функция при четных показателях корня возрастает на всей области определения.

· Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.

· Асимптот нет.

· График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и(1,1).

Корень n-ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.



При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n.

· Область определения: множество всех действительных чисел.

· Эта функция нечетная.

· Область значений функции: множество всех действительных чисел.

· Функция при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.

· Эта функция вогнутая на промежутке и выпуклая на промежутке , точка с координатами (0,0) - точка перегиба.

· Асимптот нет.

· График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки(-1,-1), (0,0) и (1,1).

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключение этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных функций - черная линия, - синяя линия, - красная линия, - зеленая линия. При а=1имеем линейную функцию y=x.



Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция нечетная, так как .

· Функция возрастает при .

· Функция выпуклая при и вогнутая при (кроме линейной функции).

· Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций - черная линия, - синяя линия, - красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.



Свойства степенной функции с четным положительным показателем

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция четная, так как .

· Функция возрастает при , убывает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций - черная линия, - синяя линия, - красная линия, - зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

· Область определения: .

При x=0 имеем разрыв второго рода, так как при а=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

· Область значений: .

· Функция нечетная, так как .

· Функция убывает при .

· Функция выпуклая при и вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как при а=-1,-3,-5,….

· Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,….



На рисунке изображены графики степенных функций - черная линия, - синяя линия, - красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

· Область определения: . При x=0 имеем разрыв второго рода, так как при а=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

· Область значений: .

· Функция четная, так как .

· Функция возрастает при , убывает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как при а=-2,-4,-6,….

· Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a - несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7(красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция возрастает при .

· Функция выпуклая при .

· Точек перегиба нет.

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a, графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция возрастает при .

· Функция вогнутая при , если ; при , если .

· Точек перегиба нет.

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a - несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции , когда .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a, .

· Область определения: . при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция убывает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

· Функция проходит через точку (1;1).

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

· Область определения: . при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция убывает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

· Функция проходит через точку (1;1).

При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка(0;1) (выражению 0⁰ условились не придавать никакого значения).

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 - синяя линия, a = 5/6 - красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

· Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел: .

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.

· Функция проходит через точку (0;1).

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций - синяя линия и - красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

· Область определения показательной функции: .

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.

· Функция проходит через точку (0;1).

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда .

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 - синяя линия, a = 5/6 - красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.



Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

· Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.

· Область значений: .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Логарифмическая функция убывает на всей области определения.

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальных асимптот нет.

· Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().

Покажем графики логарифмических функций - синяя линия, - красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.



Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

· Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.

· Областью значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .

· Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

· Функция возрастает при .

· Функция выпуклая при .

· Точек перегиба нет.

· Горизонтальных асимптот нет.

· Функция проходит через точку (1;0).

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода



,

где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по порядку.

ФУНКЦИЯ СИНУС y = sin (x)

Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".

Свойства функции синус y = sinx

· Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .

· Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .

· Функция обращается в ноль при , где , Z - множество целых чисел.

· Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .

· Функция синус - нечетная, так как .

· Функция убывает при , возрастает при .

· Функция синус имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках .

· Функция y = sinx вогнутая при , выпуклая при .

· Координаты точек перегиба .

· Асимптот нет.

График функции косинус (его называют "косинусоида") имеет вид:

Свойства функции косинус y = cos x

· Область определения функции косинус: .

· Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .

· Функция обращается в ноль при , где , Z - множество целых чисел.

· Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .

· Функция косинус - четная, так как .

· Функция убывает при , возрастает при .

· Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках , локальные минимумы в точках .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Координаты точек перегиба .

· Асимптот нет.

ФУНКЦИЯ ТАНГЕНС

График функции тангенс (его называют "тангенсоида") имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tg x

· Область определения функции тангенс: , где , Z - множество целых чисел. Поведение функции y = tgx на границе области определения Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами.

· Наименьший положительный период функции тангенс .

· Функция обращается в ноль при , где , Z - множество целых чисел.

· Область значений функции y = tgx: .

· Функция тангенс - нечетная, так как .

· Функция возрастает при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Координаты точек перегиба .

· Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

ФУНКЦИЯ КОТАНГЕНС

Изобразим график функции котангенс (его называют "котангенсоида"):



Свойства функции котангенс y = ctg x

· Область определения функции котангенс: , где , Z - множество целых чисел. Поведение на границе области определения Следовательно, прямые , где являются вертикальными асимптотами.

· Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .

· Функция обращается в ноль при , где , Z - множество целых чисел.

· Область значений функции котангенс: .

· Функция нечетная, так как .

· Функция y = ctgx убывает при .

· Функция котангенс вогнутая при , выпуклая при .

· Координаты точек перегиба .

· Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

ФУНКЦИЯ АРКСИНУС y = arcsin(x)

Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x)

· Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .

· Область значений функции y = arcsin(x): .

· Функция арксинус - нечетная, так как .

· Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

· Асимптот нет.

ФУНКЦИЯ АРККОСИНУС y = arccos(x)

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x)

· Область определения функции арккосинус: .

· Область значений функции y = arccos(x): .

· Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба .

· Асимптот нет.

ФУНКЦИЯ АРКТАНГЕНС y = arctg(x)

График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x)

· Область определения функции y = arctg(x): .

· Область значений функции арктангенс: .

· Функция арктангенс - нечетная, так как .

· Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .

· Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.

· Горизонтальными асимптотами являются прямые при и при . На чертеже они показаны зеленым цветом.

ФУНКЦИЯ АРККОТАНГЕНС y = arcctg(x)

Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x)

· Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: .

· Область значений функции y = arcctg(x): .

· Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.

· Функция убывает на всей области определения, то есть, при .

· Функция вогнутая при , выпуклая при .

· Точка перегиба .

· Горизонтальными асимптотами являются прямые при (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при .

Размещено на Allbest.ru

...