Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Департамент освіти і науки Дніпропетровської облдержадміністрації

Дніпропетровське територіальне відділення МАН України

Відділення: математика

Секція: математика

дослідження асимптот та побудова графіків дробно-раціональних функцій

Роботу виконала: Сукачук Олена Валеріївна,

учениця 11 класу

Криворізького Жовтневого ліцею,

вихованка гуртка «Юний науковець»

«МАНУМ» ДОР» (математика)

Науковий керівник: Дорогіна Наталія Володимирівна,

вчитель математики

Криворізького Жовтневого ліцею,

спеціаліст ІІ кваліфікаційної категорії

Керівник гуртка: Желтуха Тетяна Валентинівна

Дніпропетровськ - 2015

Зміст

ВСТУП

1. асимптотичне дослідження раціональних функцій і побудова їх графіків за допомогою прямолінійних асимптот

2. асимптотичне дослідження раціональних функцій та побудова їх графіків за допомогою асимптотичних кривих

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Сейсмолог, аналізуючи сейсмограму, дізнається, коли був землетрус, де він відбувся, визначає силу і характер поштовхів. Лікар, який досліджує хворого, може по кардіограмі судити про порушення серцевої діяльності; вивчення кардіограми допомагає правильно поставити діагноз захворювання. Інженер-радіоелектронік за характеристиками напівпровідникового елемента обирає найбільш раціональний режим його роботи. Всі ці люди вивчають деякі функції за їх графіками. І мене зацікавили функції та характер залежності і ступінь визначеності зв'язку між величинами, що розглядаються. Розкриття зв'язків і встановлення залежності між величинами, які беруть участь у тому чи іншому процесі веде до відкриття певних законів і є головним завданням природничих і технічних наук. Тому, об'єктом мого дослідження стали раціональні функції. Раціональні функції - це функції, які можна представити у вигляді частки двох многочленів.

Вивчення поведінки функцій і побудова їх графіків є важливим розділом математики. Вільне володіння технікою побудови графіків часто допомагає розв'язувати багато задач і часом є єдиним засобом їх розв'язання. Крім того, вміння будувати графіки функцій представляє великий самостійний інтерес.

В цілому побудова графіків ґрунтується на знанні графіків основних елементарних функцій і застосуванні таких понять, як межа функцій і похідна. Однак, будуючи графіки функцій (особливо раціональних) я зіткнулася з тим, що важко побудувати графік функції за загальною схемою.

Виходячи з цього, предметом дослідження стало дослідження властивостей асимптот раціональних функцій та побудови їх графіків, засновані на аналізі поведінки функції щодо асимптот, в ролі яких виступають не тільки вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти, а також парабола, кубічна парабола і гіпербола. Щоб побачити асимптоти функції і отримати повне уявлення про графік (до монотонності включно), достатньо чисельник дробового виразу, яким представлена функція розділити на її знаменник.

Мета роботи: дослідити раціональні функції, з'ясувати чи можна будувати їх графіки елементарними способами і викласти даний метод побудови графіків раціональних функцій без загальної схеми дослідження, за допомогою асимптотного дослідження.

Щоб повністю розкрити спосіб побудови графіків раціональних функцій, заснований на аналізі поведінки функції щодо асимптот, в роботі я розглянула достатню кількість прикладів. Приклади наочно ілюструють ідею побудови графіків раціональних функцій і підтверджують, що будувати їх графіки можна без використання загальної схеми дослідження.

1. Асимптотичне дослідження раціональних функцій і побудова їх графіків за допомогою прямолінійних асимптот

Побудову графіка зазвичай починають з асимптотного дослідження функції, тобто пошуку асимптот. При дослідженні поведінки функції на нескінченних гілках (тобто при і) і поблизу точок розриву часто виявляється, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Такі прямі називають асимптотами. Нагадаємо означення асимптоти. «Асимптотою графіка функції називають пряму, що володіє наступною властивістю: відстань від точки до цієї прямої прямує до нуля при русі цієї точки до нескінченності уздовж гілки графіка».

Мене зацікавило питання: «Чи не можна з першого погляду визначити, які асимптоти має графік і скільки їх?»

Приклад №1

Досліджуємо функцію (рис. 1).

1. :;

2. - функція загального виду, неперіодична;

3. Функція невизначена в точці (саме ця точка визначає вертикальні асимптоти);

4. Дріб не може бути рівний нулю, так як чисельник дорівнює 2 , тобто (отже горизонтальна асимптота ).

Асимптотичне дослідження функції показує: що графік має вертикальну

асимптоту х = 3, так як при і ; горизонтальну асимптоту , причому ця пряма є асимптотою для обох віток графіка, так як як при , так і при .

Рис.1

Висновок: вертикальні асимптоти проходять через точки розриву досліджуваної функції, якщо функція задана раціональним виразом, то найчастіше одразу видно, є вона неперервною чи ні, оскільки зазвичай буває неважко визначити, при яких значеннях аргументу дріб дорівнює

Приклад №2



Рис.2

Досліджуємо функцію (рис. 2). Для того, щоб провести асимптотичне дослідження функції, треба виділити «цілу частину» дробу, поділивши чисельник на знаменник. Ми одержимо .

Тепер досліджуємо:

1. :;

2. - функція загального виду, неперіодична;

3. Функція невизначена в точці ;

Зараз видно, що графік цієї функції виходить з графіка наступними перетвореннями: зміщенням на 3 одиниці вправо, розтягуванням в 7 разів уздовж осі Оу і зміщенням на 2 одиниці вгору.

Асимптотичне дослідження функції показує: що графік має вертикальну асимптоту х = 3, так як при і ; горизонтальну асимптоту , причому ця пряма є асимптотою для обох віток графіку, так як як при , так і при .

Висновок: якщо при діленні чисельника на знаменник виходить остача а, , то графік цієї функції має дві асимптоти: вертикальну x = в та горизонтальну y = .

Приклад № 3

Досліджуємо функцію . Перетворимо функцію до виду . Другий вираз зручніше з точки зору асимптотичного дослідження.

1. :;

2. - функція загального виду, непарна;

3. Функція невизначена в точці (саме вона визначає вертикальні асимптоти);

4. Дріб не може бути рівний нулю.

Далі при дослідженні я звернула увагу, що, вирази і задають одну й ту ж функцію, другий вираз - результат ділення чисельника на знаменник . Але другий вираз зручніше з точки зору асимптотичного дослідження. Замислилась. Виділена ціла частина являє собою пряму, отже, отриманий вираз підказує нам, що при значення нашої функції прямують до значень прямої . Значить є похилою асимптотою.

Мої дослідження привели мене до наступного припущення: похилу асимптоту можна легко знайти, розділивши чисельник раціонального виразу, яким задана функція, на його знаменник. Дослідивши графіки раціональних функцій, я прийшла до наступного висновку:

1. Якщо при діленні чисельника на знаменник виходить остача, то графік має горизонтальну асимптоту, рівну .

2. Якщо показник степеня чисельника (позначим його через ) меньше показника степеня знаменника (позначим його через ), то графік має горизонтальну асимптоту .

3. Якщо показник степеня чисельника дорівнює показнику степеня знаменника, то графік має горизонтальну асимптоту .

Потім я почала досліджувати раціональні функції з більш складними виразами, такими, у яких показник степеня чисельника на одиницю більше від показника степеня знаменника, тобто .

Досліджуємо функцію показник степеня чисельника більше показника степеня знаменника на 1, тобто..

Приклад № 4

Рис.4

Досліджуємо функцію (рис. 4), та, уявімо її у вигляді.

1. :;

2. - функція загального виду, неперіодична;

3. Функція невизначена в точці ;

За асимптотичним дослідом ми бачимо, що вона має вертикальну асимптоту не має горизонтальних асимптот, в ролі асимптоти виступає пряма , яка є похилою асимптотою.

Приклад № 5

Рис. 5

Досліджуємо функцію (рис. 5), яку можно представити у вигляді

1. :;

2. - функція непарна, неперіодична;

3. Функція невизначена в точках , ;

Асимптотичне дослідження функції показує, що графік не має горизонтальних асимптот, має дві вертикальні асимптоти і , й одну похилу .

Зі своїх досліджень я зробила наступний висновок: якщо , то графік функції має похилу асимптоту, тобто таку пряму, котора задаеться рівнянням де й

2. Асимптотичне дослідження раціональних функцій та побудова їх графіків за допомогою асимптотичних кривих

Тепер переді мною постало питання: «А що буде, якщо тобто показник степеня чисельника превищить показник степеня знаменника бішьш ніж на одиницю?»

Приклад № 6

Я виконала дослідження функціїю розглянула і дослідила. Виконаймо перетворення:

1. :;

2. - функція парна, неперіодична;

Рис. 6

Асимптотичне дослідження функції показує, що графік не має горизонтальних і вертикальних асимптот. Задумалася. Виділена ціла частина являє собою параболу, отже, отриманий вираз підказує нам, що при значения нашої функції прямують до значень функциії , тобто графік функції повинен підходити до параболи як завгодно близько, ніколи її не перетинаючи. Фактично ми тут зіткнулися з такою ж ситуацією, яку спостерігали раніше з прямими асимптотами. При накладанні графіків ми побачили, що графік функції вписався в параболу (рис. 6). Так чим же ж вона не асимптота?

Висновок: дослідження показують, що графік функції має асимптотичну криву, яка задаеться рівнянням . Я продовжила дослідження.

Приклад № 7

Досліджуємо функцію . Виконаймо перетворення: , які показали, що шуканий графік повинен як завгодно близько наближатися до параболи (рис. 7).

Рис. 7

1. :;

2. - функція парна, неперіодична;

3. Функція невизначена в точках , ;

За асимптотним дослідженням ми бачимо, що графік не має горизонтальних асимптот, має две вертикальні Прямі , ; але має й асимптотичну криву, тобто параболу, яка задаеться рівнянням та виконує роль асимптоти. Дослідження показали: парабола може грати роль асимптотичної кривої по відношенню до графіків.

Висновок: якщо раціональна функція, представлена дробом і дорівнює парному числу, то асимптотична крива представляє собою графік функції , нагадуючи параболу, тобто графік функції .

Я продовжила дослідження. І задала собі питання: «А що буде, якщо різниця стане непарним числом?» Можна було припустити, що в такому випадку асимптотами будуть служити також функціі виду , графіки яких схожі з графіком функції , тобто з кубічною параболою. В пошуках підтверждення свого припущення я продовжила дослідження.

Приклад № 8

Дослідила функцію . Розділимо чисельник дроба на знаменник, приведемо функцію до виду:

1. :;

2. - функція непарна, неперіодична;

3. Функція невизначена в точках , ;

За асимптотичним дослідженням ми бачимо, що функція не має горизонтальних асимптот, але має дві вертикальні асимптоти і ще одну - асимптоту , графік який повністю відповідає моїм припущенням (рис. 8)



Рис. 8

Мої припущення були вірні. Ми переконалися, що якщо раціональна функція, представлена дробом і різниця дорівнює непарному числу, то асимптота являє собою графік функції, нагадує кубічну параболу, тобто графік функції . Але розглянувши різницю вона може виявитися і від'ємною. Я припустила, що в цьому випадку графіками асимптот можуть виявитися вже не параболи.

Продовжуючи дослідження в тій же ж послідовності, тобто спочатку такі функції, які дають від'ємні непарні значення різниці , тобто коли , а потім функції, які дають від'ємні парні значения ріниці.

Приклад № 9



Рис. 9

Функція, яку я розглянула для перевірки своїх припущень, мене не дуже здивувала, але втішила. Справді, дріб заданий функцією можно представити у вигляді

1. :;

2. - функція непарна, неперіодична;

3. Функція невизначена в точці ;

Якби ви будували графік звичайним способом, то чи не задумалися б над тим, наскільки швидко він наближається до осей? Але по асимптотичному дослідженню ми бачимо, що графік функції, має три асимптоти. Одна - вісь , друга - вісь , а третя - гіпербола (рис. 9). Саме гіпербола керує графіком швидкістю наближення до нуля, вона притискає графік функції до осі .

Дослідження показали: що і гіпербола може мати роль асимптотичної кривої по відношенню до графіків.

Мої дослідження привели мене до наступного висновку:1. Якщо то графік функції має асимптоту, схожу на гиперболу оскільки вона задаеться формулою де

2. Якщо то графік функції має асимптоту, задану формулою де , тобто схожу на графік функції .

Продовжила свої дослідження з раціональними функціями. Але подальші дослідження мало не зруйнували мої припущення.

Приклад № 10

Досліджуємо функцію . До графіка функції гіпербола підходить як завгодно близько тільки при і . На проміжку панують вертикальні асимптоти й . Саме вони віддалили графік функції від його асимптот, у ролі яких виступає гіпербола (рис. 10).



Рис. 10

Висновок: внесла поправку в мої припущення, зауваживши, що у побудову втручаються вертикальні асимптоти. Це закликає до обережності, але не руйнує мої припущення: якщо дві асимптоти перетинаються, то одній з них доводиться поступитися своїм правом керувати поведінкою функції. У чому я і переконаляся при побудові графіка.

Приклад № 11

При побудові графіка функції при перевірці по точках я виявила перетин асимптоти з графіком у точці Я зрозуміла, що не можна довіряти тільки графічнії наочності. А раптом пересічне виявилося б у точці або ? Тоді я змогла б його виявити тільки алгебраїчним методом.

Я замислилась, чим же ж функція відрізняється від попередніх, й склала різницю між функцією й асимптотою. В попередніх прикладах у чисельнику цієї різниці була константа, і перетин графіка з його асимптотою не було. В цьому ж прикладі вийшло наступне:

У чисельнику дроба присутня змінна, а це додає ще одну точку і відповідно інтервал до тих проміжків, які відкладаються на координатнії прямій при визначенні знака різниці методом інтервалів. Якби точки не було, то зміни знака не відбулося б, тобто асимптота лежала б вище графіка. Але точка зявилась, і, значить, перетин графіків й має місце. Я вирішила розлянути таку асимптоту з решти, і вона привела мене до ще більш цікавих можливостей побудови графіків функцій.

Приклад № 12

Свій метод я застосувала до побудови графіка функції перетворивши яку, отримала: . Легко бачити, що функція має дві вертикальні асимптоти й парабола , яка виступає в ролі асимптоти, котра перетинається з графіком функції в точці . Асимптоти функції перетинаються, й парабола поступається правом керувати поведінкою функції асимптоти на проміжку . Отримати графік, зображений на рис. 11.

Рис. 11

ВИСНОВКИ

функція графік асимптота дослідження

У роботі представлена достатня кількість прикладів, що розкривають спосіб побудови графіків раціональних функцій. Проробивши ряд досліджень з графіками функцій, представлених дробовими раціональними виразами, ми помітили наступне:

1. при діленні чисельника на знаменник виходить остача,то графік має горизонтальну асимптоту, рівну , якщо показник степеня чисельника менше показника степеня знаменника, то графік має горизонтальну асимптоту; якщо показник степеня чисельника дорівнює показнику степеня знаменника, то графік має горизонтальну асимптоту.

2. Конічні перетину: парабола, кубічна парабола, гіпербола поводяться як асимптоти по відношенню до графіків.

3. У раціональній функції:

- якщо різниця дорівнює парному числу, то асимптота являє собою графік функції , який нагадує параболу, тобто графік функції ;

- якщо різниця дорівнює непарному числу, то асимптота являє собою функції виду , графіки котрих схожі з графіком функції , тобто з кубічною параболою;

- якщо то графік функції має асимптоту, схожу на гіперболу оскільки вона задається формулою де

- якщо то графік функції має асимптоту, задану формулою де , тобто схожу на графік функції.

Отже, чисто індуктивним шляхом, тобто методом проб і помилок, я підтвердила свої припущення, що можна з першого погляду визначити, які асимптоти має графік і скільки їх. Прийшла до висновку, що графік раціональної функції можна побудувати методами елементарної математики за допомогою асимптотичного дослідження функції: знайти і визначити: парність (симетричність) функції; точки в яких функція невизначена; значення аргументу, при яких дріб дорівнює нулю; точки в яких вона добре рахується. Аналіз поведінки не тільки вертикальних, горизонтальних, похилих асимптот, а також і асимптот, в ролі яких виступають конічні перетину: парабола, кубічна парабола і гіпербола допомагають будувати графіки раціональних функцій.

Я відкрила для себе нові точки для побудови графіків - точки вигину графіка щодо його асимптот. Звичайно, мої висновки потребують дедуктивного обґрунтування, яке мені недоступно. Але я побачила силу експериментального методу в математичних дослідженнях, зуміла на своєму рівні дійсно зробити для себе відкриття, перевірила всі свої дослідження на комп'ютері і переконалася у правильності своїх висновків.

Я вважаю, що тема моєї роботи досить актуальна, тому що по-перше: дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти (прямий) або асимптотичної кривої (параболи, кубічної параболи або гіперболи ), властивості яких добре вивчені. По друге: спектр застосування методів, за допомогою яких будуються графіки функцій дуже широкий, але даний метод, який спирається на аналіз поведінки функції щодо асимптот, доступний для розуміння школярів. Така побудова графіків функцій представляється доцільним для надання допомоги випускникам середніх шкіл, студентам вузів і педагогічних інститутів при підготовці їх до педагогічної практики, а також для викладачів математики середніх шкіл.

Список використаних джерел

1. Ольхова А.Ф., Функции, их свойства и графики, методическое пособие для учащихся подготовительных курсов ТРТУ, Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003.

2. Егерев В.К. Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций. Высшая школа. М., 1970.

3. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Школ Э.Э. Функции и графики. Наука,1973.

4. Костюкова Н.К. Построение графиков рациональных функций. Москва,1998.

5. Гурский И.П. Функции и построение графиков. Учпедгиз, 1961.

6. А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Підручник з алгебри для 11 класу академічного і профільного рівня.

7. http://uk.wikipedia.org/wiki/

8. Дашкевич М. Я. Застосовування графіків функції при розв'язуванні рівнянь і нерівностей. Посібник для підготовки учнів до математичних олімпіад . Миклаші 2011

Размещено на Allbest.ru

...