Занимательные упражнения по теории вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

Вероятности здесь и далее приведены для шестригранной кости (d6). При этом пространство возможных исходов ? = {1; 2; 3; 4; 5; 6} и вероятность каждого отдельно взятого исхода равна 1/6.

Событие - выпадение нечетного числа (1, 3, 5 для шестригранной кости), вероятность Ѕ.

Событие - выпадение числа не больше 4 (1, 2, 3, 4), вероятность 4/6.

Событие - выпадение четного числа или числа больше 4 (2, 4, 5, 6) - вероятность 4/6.

Событие - выпадение четного числа больше 4 (только 6) - вероятность 1/6.

Событие - выпадение четного числа кроме чисел больше 4 (2, 4) - вероятность 1/3.

Событие - выпадение числа больше 4 кроме четных (только 5) - вероятность 1/6.

Задание 2

Полагаем, что используются "правильные" шестигранные кости, и мы можем воспользоваться классическим методом.

Событие A: Из всех возможных исходов для получения в сумме 7 подходят: [1; 6], [2; 5], [3; 4], [4; 3], [5; 2], [6; 1] - то есть всего шесть исходов (учитывая симметричные).

Всего возможных исходов |?| = 6² = 36, таким образом вероятность выпадения 7 в сумме (в случае, если кости изначально дают равноверятные элементарные исходы) равна:

P(A) = 6 / 36 = 1/6.

Отметим, что распределение вероятностей суммы имеет пик как раз для исхода 7 (самая вероятная сумма), остальные суммы (от 2 до 12) имеют меньшую вероятность, минимальную для крайних исходов (2 и 12).

Событие B: Произведение выпавших чисел (для полного набора исходов): [1; 4], [2; 2], [4; 1]- всего три исхода.

P(B) = 3/36 = 1/12.

Задание 3

Для начала найдем количество возможных исходов (сочетания: выбор трех шаров из десяти):

.

По условию положительные исходы - это те выборы (сочетания 3 из 10), в которых ровно два шара белых (или, что то же самое, ровно один шар черный).

Количество положительных исходов проще всего вычислить как 7 * 3 = 21, где 7 - количество возможных выборов 1 черного шара (всего черных шаров 10-3 = 7), а 3 - количество перестановок двух белых из трех.

Таким образом, конечная вероятность события "два белых и один черный" равна:

P(A) = 21/120 = 7/40 = 0,175.

Также отметим, что если условие следует понимать как "минимум два белых шара в выборке", то к посчитанной выше вероятности выбрать ровно два белых шара следует добавить вероятность выбрать сразу 3 белых (1/120), в этом случае P(A) = 22/120 = 11/60.

Другой способ решения задачи состоит в том, чтобы вычислить вероятности всех последовательностей элементарных событий, приводящих к требуемому результату. Здесь будем полагать, что шары выбираются не одновременно, а по очереди. Вероятность выбрать первым белый шар = 3/10, черный = 7/10. После чередного выбора шара общее количество шаров в урне уменьшается (то есть вероятность выбрать вторым белый шар будет 2/9 или 3/9). Таким образом:

Р(Б + Б + Ч) = 3/10 * 2/9 * 7/8 = 42 / 720 = 7/120.

Р(Б + Ч + Б) = 3/10 * 7/9 * 2/8 = 7 / 120.

Р(Ч + Б + Б) = 7/10 * 3/9 * 2/8 = 7 / 120.

Указанные три элементарных исхода являются попарно несовместимым, таким образом:

Р(А) = 7/120 + 7/120 + 7/120 = 7/40 = 0,175.

Как видим, ответ такой же как и в первом способе.

Задание 4

А) Хотя бы одно событие: событие А наступает с вероятностью 0,6 (в случае его наступления условие выполнено и рассматривать вероятность В не требуется). Дополнительно, в случае если событие А не наступило (), нас все ещё могут устроить исходы, когда наступит B. Таким образом, конченая вероятность будет равна:

.

Аналогично, можно рассматривать сначала В:

.

Б) Ровно одно событие: Найдем отдельно вероятности исходов "произошло только А, но не В" и "произошло только В, но не А". Нас интересует сумма этих несовместимых событий.

Вероятность события A: P(A) = 0,6. Из этих 60 % случаев нас не устраивают исходы, когда выполняется также и В, вероятность чего равна P(A) * P(B):

.

Аналогично, для случая "только В, но не А":

.

Конечная вероятность наступления только одного события:

.

Задание 5

Очевидно, для успешной сдачи экзамена нужно выучить билет. Таким образом, вероятность сдать экзамен: для отличнников 1, для хорошистов 0,8, для троечников 0,6 и для двоечников 0,4.

Выбирается один студент из 20, вероятность выбора любого из них 1/20 = 0,05.

Вероятность выбрать отличника: 0,05 * 2 = 0,1, выбрать хорошиста 0,05 * 4 = 0,2, троечника 0,05 * 10 = 0,5 и двоечника 0,05 * 4 = 0,2.

Последние вероятности дают нам набор непересекающихся исходов, в сумме 1 (то есть все исходы учтены). Для каждого исхода есть своя вероятность сдачи экзамена, которая зависит от количество выученных билетов. Таким образом, конечная вероятность интересующего нас события равна:

. (Это ответ на первый вопрос задания).

Из всех 64 % успешно сдающих студентов доля отдельно троечников составляет 0,5*0,6 = 0,3. (Ответ на второй вопрос)

Задание 6

Для серии последовательных испытаний с известными вероятностями лучше всего подходит схема Бернулли. Вероятность P(А) = 0,7 следовательно - вероятность не появления А в ходе очередного опыта (вместе они задают пространство для каждого опыта ).

о - количество появлений А после трех опытов. Составим ряд возможных значений о и вычислим вероятность каждого из них:

Значение о	Описание исхода	Вероятность
0	Событие А ни разу не появилось	P(о=0) = 0,3 * 0,3 * 0,3 = 0,027
1	Событие А появилось ровно один раз (только в первом, либо втором, либо третьем опыте)	P(о=1) = 0,7 * 0,3 * 0,3 * 3 = 0.189
2	Событие А появилось ровно два раза (опыты 1 и 2, либо 1 и 3, либо 2 и 3)	P(о=2) = 0,7 * 0,7 * 0,3 * 3 = 0,441
3	Событие А появилось во всех трех опытах	P(о=3) = 0,7 * 0,7 * 0,7 = 0,343

Видим, что P(о=0) + P(о=1) + P(о=2) + P(о=3) = 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1 (условие нормировки).

Таким образом пространство элементарных исходов: .

Математическое ожидание получим суммой по перемножениям значений случайной величины о на вероятность соответствующего исхода:

.

Квадрат математического ожидания:

.

Математическое ожидание квадрата:

.

Теперь можем вычислить дисперсию:

.

Среднее квадратическое отклонение:

,

.

Наконец, вероятность попадания в:

.

Для о = 0: - не выполняется.

Для о = 1: - не выполняется.

Для о = 2: - выполняется.

Для о = 3: - не выполняется.

.



Задание 7

Для начала найдем С. Сумма всех вероятностей каждого исхода случайной величины P(?)=1, для случая с непрерывной величиной этому значению соответствует интеграл. За пределами отрезка [0;2] вероятность по условию равна 0, таким образом достаточно взять следующий интеграл:

.

Выносим константу С за знак интеграла, таким образом:

.

.

Таким образом, плотность распределения для о описывается следующим образом: вероятность математическое ожидание дисперсия

.



Следующим шагом найдем функцию распределения - найдя первообразную f(x) и учитывая разрывы в точках x=0 и x=2:

.

График функции распределения (часть параболы для x от 0 до 2) представлен ниже:

Математическое ожидание:

.

.

Квадрат математического ожидания:

.

Математическое ожидание квадрата:

.

Дисперсия:

.

Задание 8

По условию: математическое ожидание , дисперсия следовательно среднеквадратичное отклонение .

Вероятность попадания в отрезок , а поскольку искомый отрезок по условию симметричен относительно математического ожидания, то формула принимает вид:

,

где c - искомая константа.

Плотность распределения вероятности для нормального закона (Гаусса) по определению:

.

Подставляя известные по условию a = 15 и получаем окончательное значение:

.

При взятии интеграла получаем:

,

где erf - функция Лапласа или функция ошибок:

.

Возвращаясь к условию:

.

(воспользовавшись табличными значениями для Ф = erf(x))

.

.

Искомый интервал: [-26,1997; 56,1997).



Задание 9

Значение p₃₁ найдем исходя из условия нормировки вероятности:

.

.

Расчеты для о.

Частное распределение:

P(о=0) = 5/8 = 0,625.

P(о=1) = 2/8 = 0,25.

P(о=3) = 1/8 = 0,125.

Математическое ожидание M [о]:

.

Квадрат математического ожидания (M [о])²:

.

Математическое ожидание квадрата M [о²]:

.

Дисперсия D [о]:

.

Расчеты для з:

Частное распределение для з:

P(з=-1) = 2/8 = 0,25, P(з=0) = 2/8 = 0,25, P(з=1) = 4/8 = 0,5.

Математическое ожидание M [з]:

.

Квадрат математического ожидания (M [з])²:

.

Математическое ожидание квадрата M [з²]:

.

Дисперсия D [з]:

.

Корреляционный момент K_оз:

.

. (Остальные члены суммы равны нулю, т.к. p=0, либо , либо ).

.

Коэффициент корреляции r_оз:

.

.

.

.

Размещено на Allbest.ru

...