Комплексные числа
Системы общих комплексных чисел. Решение уравнений второй и высших степеней. Применение двойных чисел, формулы их сложения, вычитания, умножения и деления двойных чисел. Ориентированные прямые плоскости Лобачевского. Предельный случай пересекающих прямых.
Рубрика | Математика |
Вид | реферат |
Язык | русский |
Дата добавления | 30.11.2015 |
Размер файла | 296,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
уравнение двойной число умножение
В настоящее время различные виды комплексных чисел изучаются довольно интенсивно. С учением о комплексных числах связаны важные, не решённые до сегодняшнего дня задачи, над которыми работают учёные во многих странах.
Все системы самых общих комплексных чисел фактически сводятся к следующим трём различным системам: обыкновенные комплексные числа, дуальные числа, двойные числа.
Обыкновенные комплексные числа тесно связаны с вопросом о решении уравнений второй и высших степеней, они играют основную роль в алгебре и во многих разделах математического анализа. Дуальные же и двойные числа не имеют никакого отношения к теории квадратных уравнений с вещественными коэффициентами и вообще сравнительно мало связаны с алгеброй. Основные применения эти числа находят в геометрии (некоторые применения эти системы комплексных чисел находят также в теории чисел).
Основные применения двойных чисел относятся к неевклидовой геометрии Лобачевского и к некоторым другим геометриям, отличным от привычной геометрии Евклида (например, к так называемой псевдоевклидовой геометрии, играющей фундаментальную роль в физической теории относительности).
В нашей работе исследуются дуальные и двойные числа, а также применение этих чисел в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского.
1. Определение двойных чисел
Назовём двойные числа и сопряжёнными, если они имеют вид
и .
Сумма и произведение сопряжённых двойных чисел вещественны; корень квадратный из числа , знак которого совпадает со знаком большего по абсолютной величине из вещественных чисел a и b, называется модулем числа и обозначается через . Легко проверить, что для двойных чисел остаются в силе все формулы (3); кроме того, ясно, что равенство характеризует вещественные числа , а равенство - чисто мнимые числа .
Сложение, вычитание, умножение и деление двойных чисел определяются формулами
(12)
Отсюда следует, что и здесь деление на возможно лишь в тех случаях, когда . Двойные числа , модуль которых равен нулю, называются делителями нуля (заметим, что ). В некоторых случаях оказывается удобным считать частные , и числами новой природы; при этом оказывается необходимым ещё расширить понятие двойного числа, введя дополнительно произведения и новых чисел и на всевозможные вещественные числа c и частные и . Правила действия над символами , , , и определяются формулами (5) и рядом соотношений, родственных (6), например:
(13)
и т. д. Естественно также положить
, , , , (13а)
что обеспечит выполнение для расширенного указанным образом множества двойных чисел равенства и всех соотношений (3).
Двойные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, аналогичной форме (8) записи дуальных чисел. Пусть - модуль двойного числа; далее
.
Из определения модуля следует, что и что большая (по абсолютной величине) из дробей и положительна. Отсюда вытекает, что
, или , , (14)
где есть некоторое число (определённое формулами (14)), а и - гиперболический косинус и гиперболический синус аргумента .
Таким образом, имеем
или . (15)
величина называется аргументом двойного числа z и обозначается через Arg z.
Форма (15) записи двойных чисел очень удобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойных чисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что
(16)
Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения - сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторую из форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:
;
. (17)
з формул (16) получаются также правила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n:
,
при n нечётном,
при n чётном;
(18)
2. Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского
Ориентированным прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двойные числа. А именно, введём полярную систему координат для прямых и отнесём каждой пересекающей полярную ось o ориентированной прямой l, имеющей полярные координаты , s, двойное число
, (37)
а расходящейся с o прямой m, направленной в ту же сторону, что и o от их общего перпендикуляра PQ, - число
, (37а)
де d={m,o}={P,Q} - кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми m и o, т.е. ориентированное расстояние от o проекции P на прямую m общего перпендикуляра прямых m и o, s'={O,Q} - ориентированное расстояние от полюса O системы координат до проекции Q общего перпендикуляра на o (рис. 1).
Рис. 1
Далее, так как из формулы (37) вытекает, что двум пересекающим o прямым l и l, отличающимся только направлением, соответствуют двойные числа
и
,
то прямой m, отличающейся только направлением от отвечающей числу (37а) расходящейся с o прямой m, сопоставим число
. (37б)
Прямые, параллельные оси o, можно рассматривать как предельный случай пересекающих прямых, отвечающий равенству нулю угла , или как предельный случай расходящихся с o прямых, отвечающий равенству нулю расстояний d. Так как из формул (37) и (37а) следует, что , соответственно , то естественно отнести параллельным o прямым, направленным в ту же сторону, что и o, делители нуля, т.е. числа вида . При этом прямым, параллельным o в положительном или отрицательном направлении, отвечают числа , для которых или , т.к. из (37) и (37а) вытекает, что соотношение равносильно равенству или , а соотношение - равенству или . Из формул неевклидовой тригонометрии следует, что ориентированное расстояние p={O,l} от полюса O до пересекающей o прямой l (рис. 6), отвечающей двойному числу , находится из соотношения
. (38)
Поэтому двум параллельным o прямым n и n', удалённым от O на расстояние {O, n}={O, n'}=p, надо отнести числа (где ), для которых , т.е. числа
и .
Наконец, исходя из соотношения , связывающего двойные числа z и z, отвечающие пересекающим ось o или расходящимся с o прямым, отличающимся одна от другой лишь направлением, сопоставим противопараллельным o прямым n и n (т.е. прямым, параллельным o и противоположно направленным), удалённым от O на расстояние {O, n}={O, n}=p, числа
и ,
где и - числа, обратные делителям нуля: , (если n и n - две прямые, отличающиеся только направлением, то p={O, n}=-{O, n}=-p). Полярной оси o и противооси o (т.е. прямой, отличающейся от o только направлением) сопоставим числа 0 и ?.
Пока у нас не отвечают никаким прямым такие двойные числа z, что (т.к. и ни при каком d).
Чтобы распространить соответствие между прямыми плоскости Лобачевского и двойными числами на все числа, введём в рассмотрение бесконечно удалённые прямые плоскости Лобачевского, которые можно представить, как касательные к абсолюту модели Клейна (рис. 7). Эти прямые не имеют ориентации.
Рис. 2
Рис. 3
Такая прямая k, не параллельная o (т.е. отличная от касательных к в точках пересечения с o), характеризуется тем, что d={k,o}=; при этом следует считать, что d=, если отвечающая k бесконечно удалённая точка S плоскости Лобачевского расположена справа от o, и d=- в противном случае. Общим перпендикуляром k и o естественно считать прямую SQ, перпендикулярную o; при этом величина s'={O,Q} может принимать любое значение и соответственно этому каждому двойному числу , такому, что , можно сопоставить определённую бесконечно удалённую прямую k. Бесконечно удалённым прямым i и i, параллельным o (рис. 7), сопоставим числа и .
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел (дополненным числами , , , и ). При этом прямые l, пересекающие полярную ось o, отвечают двойным числам , для которых , т.е. числам, изображаемым на (u,v)_плоскости точками области, помеченной на рис. 8 цифрой I. Прямые m, расходящиеся с o и направленные в ту же сторону, что и o, от общего перпендикуляра o и m, отвечают числам z, для которых , т.е. числам, изображаемым на рис. 8 точками области II. Расходящиеся с o прямые m, направленные в противоположную по сравнению с o сторону от общего перпендикуляра m и o, отвечают числам z, для которых , т.е. числам, изображаемым точками области III. Наконец, параллельные o прямые n отвечают числам нулевого модуля, изображаемым двумя прямыми , а противопараллельные o прямые n отвечают числам , (эти числа не имеют изображений на (u,v)_плоскости); бесконечно удалённые прямые k отвечают таким числам z, что , т.е. числам, изображаемым точками гиперболы , и ещё двум числам , .
Очевидно, что как и в случае евклидовой плоскости, соотношения
(а), (б), (в) (21)
выражают симметрию относительно точки O, симметрию относительно прямой o и переориентацию (изменение направлений всех прямых на обратное). Произвольные движения, как можно показать, выражаются здесь теми же формулами, что и в евклидовом случае:
, или , или , или ;
только в качестве переменных z', z и коэффициентов P, Q здесь фигурируют не дуальные, а двойные числа, в связи с чем следует дополнительно потребовать, чтобы выражение было положительно (если P и Q - дуальные числа, то последнее условие выполняется автоматически, т.к. произведения и не могут быть отрицательны). Также и ориентированный угол {z, z} между прямыми z и z и ориентированное расстояние d={[ z z],[ z z]} между точками пересечения прямых z и z с прямой z определяются формулами (27) и (28):
, (27)
. (28)
Из (28) следует, что условием того, что три прямые z, z и z пересекаются в одной точке, является вещественность отношения . Отсюда вытекает, что уравнение точки неевклидовой геометрии Лобачевского имеет вид
, A - чисто мнимое. (30)
Циклом множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского следует называть:
а)-в) совокупность прямых, касающихся ориентированного цикла, т.е. окружности, предельной линии или эквидистанты;
г) пучок равного наклона, т.е. пучок всех ориентированных прямых, образующих постоянный ориентированный угол с фиксированной осью пучка;
д) параллельный пучок, т.е. пучок всех прямых, параллельных в обоих направлениях фиксированной оси пучка;
е) неориентированную бесконечно удалённую окружность .
При таком понимании термина цикл мы получаем, что необходимым и достаточным условием того, что четыре ориентированные прямые z, z, z и z плоскости Лобачевского принадлежат одному циклу, является вещественность двойного отношения этих четырёх прямых. Отсюда снова вытекает, что уравнение каждого цикла можно записать в форме:
, A и C - чисто мнимые. (35)
Чтобы решить, является ли цикл (35) окружностью, предельной линией, эквидистантой, параллельным пучком или пучком постоянного наклона, надо выяснить, сколько общих прямых имеет этот цикл с бесконечно удалённой окружностью (абсолютом) (т.е. сколько решений имеет система , ) и будет ли вещественным или мнимым угол (27) между двумя соседними прямыми цикла. Воспользовавшись этим, получаем:
цикл (35) является окружностью, если
, (39а)
цикл (35) является предельной линией, если
, , (39б)
является эквидистантой, если
, (39в)
параллельным пучком, если
(39г)
пучком равного наклона, если
(39д)
цикл (35) представляет собой абсолют , если
, (39е)
Точку (обыкновенную, бесконечно удалённую или идеальную) уравнение (35) выражает в том случае, если имеет место соотношение:
. (36)
Заключение
В нашей работе мы определили операции сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел, дали определение модуля и сопряжённого числа, вывели правило деления на дуальное число, расширив множество дуальных чисел, ввели определение делителя нуля, представили запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа, и вывели законы, позволяющие возводить дуальное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n. Аналогичным образом определили двойные числа и действия над ними. Введя на плоскости полярную систему координат, установили полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, с помощью дуальных чисел записали все виды движений, нашли условие того, что четыре ориентированные точки принадлежат одной ориентированной окружности, и, пользуясь этим условием, вывели уравнение ориентированной окружности. В полной аналогии с изложенным выше установили взаимно однозначное соответствие между множеством ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и множеством двойных чисел и вывели формулы для записи движений. Также мы дали определение цикла множества ориентированных и бесконечно удалённых прямых плоскости Лобачевского и получили необходимое и достаточное условие принадлежности одному циклу четырёх прямых плоскости Лобачевского.
Эти результаты могут быть приложены к доказательству многих теорем евклидовой геометрии и неевклидовой геометрии Лобачевского. При этом использование дуальных и двойных чисел во многом упрощает доказательство различных теорем.
Литература
1. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. - М.: Физматгиз, 1963.
2. Маркушевич А.И. Комплексные числа и конформные отображения. - М.: Наука, 1979.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
История комплексных чисел. Соглашение о комплексных числах. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка. Уравнение высших степеней, уравнение деления круга на пять частей.
реферат [325,7 K], добавлен 25.10.2012Определение операций сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел. Определение модуля и сопряжённого числа. Деление на дуальное число. Определение делителя нуля. Запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа.
курсовая работа [507,8 K], добавлен 10.04.2011Об истории возникновения комплексных чисел и их роли в процессе развития математики. Алгебраические действия над комплексными числами и их геометрический смысл. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
курсовая работа [104,1 K], добавлен 03.01.2008Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 10.12.2008Сумма n первых чисел натурального ряда. Вычисление площади параболического сегмента. Доказательство формулы Штерна. Выражение суммы k-х степеней натуральных чисел через детерминант и с помощью бернуллиевых чисел. Сумма степеней и нечетных чисел.
курсовая работа [8,2 M], добавлен 14.09.2015Мнимые и действительные, равные и сопряжённые комплексные числа; модуль и аргумент. Арифметические действия над множеством комплексных чисел: сумма, разность, произведение, деление. Представление комплексных чисел на координатной комплексной плоскости.
презентация [60,3 K], добавлен 17.09.2013Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011Появление отрицательных чисел. Понятие мнимых и комплексных чисел. Формула Эйлера, связывающая показательную функцию с тригонометрической. Изображение комплексного числа на координатной плоскости. "Гиперкомплексные" числа Гамильтона ("кватернионы").
презентация [435,9 K], добавлен 16.12.2011Комплексные числа и комплексные равенства, их алгебраическая и тригонометрическая формы. Арифметические действия над комплексными числами. Целые функции (многочлены) и их свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.
лекция [464,6 K], добавлен 12.06.2011Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Понятие комплексных чисел, стандартная, матричная и геометрическая модели; действия над комплексными числами; модуль и аргумент. Алгебраическое, тригонометрическое и показательное представление комплексных чисел. Формула Муавра и извлечение корней.
контрольная работа [25,7 K], добавлен 29.05.2012Вычисление комплексных чисел, модуля и аргумента, извлечение кубических корней. Нахождение синусов и косинусов в алгебраическом виде. Решение системы уравнений с помощью формул Крамера, вспомогательных определителей и средствами матричного исчисления.
контрольная работа [444,2 K], добавлен 11.05.2013Закон сохранения количества чисел Джойнт ряда в натуральном ряду чисел как принцип обратной связи чисел в математике. Структура натурального ряда чисел. Изоморфные свойства рядов четных и нечетных чисел. Фрактальная природа распределения простых чисел.
монография [575,3 K], добавлен 28.03.2012Расчет значений комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Определение расстояния между точками на комплексной плоскости. Решение уравнения на множестве комплексных чисел. Методы Крамера, обратной матрицы и Гаусса.
контрольная работа [152,7 K], добавлен 12.11.2012Как люди научились считать, возникновение цифр, чисел и систем счисления. Таблица умножения на "пальцах": методика умножения для чисел 9 и 8. Примеры быстрого счета. Способы умножения двузначного числа на 11, 111, 1111 и т.д. и трехзначного числа на 999.
курсовая работа [66,8 K], добавлен 22.10.2011Геометрическое представление комплексных чисел, алгебраическая и тригонометрическая формы. Свойства арифметических операций над комплексными числами: правила сложения (вычитания) их радиус-векторов, произведение (частное) модуля числа; формула Муавра.
презентация [147,4 K], добавлен 17.09.2013Сведения о семье Якоба Бернулли, его тайное увлечение математикой в юности и последующий вклад в развитие теории вероятности. Составление ученым таблицы фигурных чисел и выведение формул для сумм степеней натуральных чисел. Расчет значений чисел Бернулли.
презентация [422,7 K], добавлен 02.06.2013Збагачення запасу чисел, введення ірраціональних чисел. Зведення комплексних чисел у ступінь і знаходження кореня. Окремий випадок формули Муавра. Труднощі при витягу кореня з комплексних чисел. Витяг квадратного кореня із негативного дійсного числа.
курсовая работа [130,8 K], добавлен 26.03.2009Делимость в кольце чисел гаусса. Обратимые и союзные элементы. Деление с остатком. Алгоритм евклида. Основная теорема арифметики. Простые числа гаусса. Применение чисел гаусса.
дипломная работа [209,2 K], добавлен 08.08.2007Сложение и умножение целых p-адических чисел, определяемое как почленное сложение и умножение последовательностей. Кольцо целых p-адических чисел, исследование свойств их деления. Объяснение данных чисел с помощью ввода новых математических объектов.
курсовая работа [345,5 K], добавлен 22.06.2015