Характеристика египетских дробей

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДОКЛАД

на тему: «Египетские дроби»

ученицы

Орловой Елены

Саратов 2015

Введение

Дроби - очень необычные числа, начиная с их непривычной записи и заканчивая сложными правилами действий с ними. Хотя с первого знакомства с ними было понятно, что без дробей не обойтись даже в обычной жизни, так как нам каждый день приходится сталкиваться с проблемой деления целого на части, и мне даже в определенный момент показалось, что нас больше окружают не целые, а дробные числа. С ними мир оказался сложней, но в тоже время интересней. У меня возникло множество вопросов. Нужны ли дроби? Важны ли они? Мне захотелось узнать, откуда пришли к нам дроби.

В ходе работы над проектом мне пришлось столкнуться с некоторыми трудностями: с новыми терминами и понятиями, пришлось поломать голову, решая задачки, и разбирая решение, предложенное древними учеными.

Цель моего проекта: проследить историю развития понятия египетской дроби дроби, показать необходимость и важность использования египетских дробей при решении практических задач. Задачи, которые я ставила перед собой: сбор материала по теме проекта и его систематизация, изучение старинных задач, обобщение обработанного материала, оформление обобщенного материала, подготовка презентации и презентация проекта.

1. Египетские дроби

Египетская дробь в математике - это сумма нескольких попарно различных дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, несколькими способами).

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби -- это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака -- единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет). Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз -- чудесное око -- и разрывает его в клочья. Тот -- бог учения, разума и правосудия -- снова сложил части глаза в одно целое, создав "здоровый глаз Гора". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1/2 до 1/64 . Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел.

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 л), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката. египетский дробь алгоритм число

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Во времена Античности и Средневековья Египетские дроби продолжали использоваться. Математики древней Греции, а впоследствии и всего мира до средних веков использовали Египетские дроби, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой.

Исследования египетских дробей.

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» -- вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь разлагается на 2 слагаемых:

Здесь -- частное от деления n на m, округлённое до целого в бомльшую сторону, а -- (положительный) остаток от деления -n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

Современная теория чисел

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

В конце прошлого века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские.

Гипотеза Эрдёша"-Грэхема (en:Erdхs-Graham conjecture) утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых такое, что

Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом (en:Ernest S. Croot, III) в 2003 году.

И по сей день Египетские дроби ставят ряд трудных нерешенных математических проблем.

Гипотеза Эрдёша--Страуса (en:Erdхs-Straus conjecture) утверждает, что для всякого целого числа n ? 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ? 1014, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N такое, что для всех n ? N существует разложение

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю (en:Andrzej Schinzel).

2. Задачи

Задача из сказки “1001ночь”

В знаменитой книге «1001 ночь» мудрец задаёт юной деве следующую задачу:

Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

Решение:

Х= Ѕ+1/4+1/8+1/16+1/16,

1/16= 10 яблокам,

тогда Х= 80+40+20+10+10= 160

Используя египетские дроби можно решить такую задачу: у четырех друзей три яблока, как можно разделить три яблока между ними, не разрезая каждое на 4 части.

Решение.

.

Значит, два яблока надо разрезать на 2 части, а одно яблоко на 3 части.

Ответ. Каждому человеку достанется по половине и трети яблока.

У четырех друзей три яблока. Как разделить их между друзьями, не разрезая каждое на 4 части

3/4=2/4+1/4=1/2+1/4,

Таким образом два яблока надо разрезать на 2 части, а одно яблоко на 3 части и каждому достанется по половине и трети яблока.

В магазин привезли 420 кг фруктов.6/35 от всего это бананы и апельсины вместе. сколько было апельсинов?

6/35=5/35+1/35=1/7+1/35

Так как бананов : 420 : 1/35 =12 кг, значит апельсинов 420:7=60 кг.

Апельсинов привезли 60 кг.

испекли пирог весом 126 гр. Съели 6/45 от всего , сколько пирога съели в первый день ?

6/45 = 1/9 + 1/45

126 :45=2.8.

В первый день съели 14.

Мы провели социологический опрос и выяснили, чем наши одноклассники больше всего любят заниматься в свободное время, оказалось:

1/8 - любят гулять на улице;

1/4 - занимаются в кружках;

3/8 - играют в компьютер;

1/8 - читают книги;

остальные ребята затруднились с ответом.

Сколько пятиклассников затруднились с ответом?

2| 15= 1|10+1\30

2\25=1\15+1\75

2\75=1\50+1\150

7\25= 1\25+2\25+ 4\25=1\25+1\15 +1\75 +2\15+ 2\75= 1\10+ 1\15+ 1\25+1\30 +1\50+1\75+1\150

Вывод

Я провела исследование решила несколько задач с участием египетских дробей. И поняла значение дробей в древнем мире . Но в нашем использование египетских дробей не очень удобно, но после изучения материалов про египетские дроби я узнала много нового и интересного про историю древнего мира

Размещено на Allbest.ru