Теория вероятностей
Определение закона распределения случайной величины. Нахождение плотности распределения, математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Построение графиков дифференциальной и интегральной функций. Анализ вероятности события.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 14.12.2015 |
| Размер файла | 62,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1
Бросают две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N = 8; б) произведение числа очков не превосходит N = 8; в) произведение числа очков делится на N = 8.
Решение
При бросании двух игральных костей возможно 26 благоприятных исходов, при которых сумма числа очков не превосходит N = 8. Также возможно 16 благоприятных исходов, при которых произведение числа очков не превосходит N = 8. И возможно 5 благоприятных исходов, при которых произведение числа очков делится на N = 8. Число всех возможных исходов равно 36. Тогда вероятность наступления каждого из указанных в условия задачи событий будет:
а);
б);
в).
Задание 2
Среди 11 лотерейных билетов 8 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, что среди них 3 выигрышных.
Решение
Обозначим выигрышный лотерейный билет - событием А, невыигрышный - событием . Тогда вероятность того, что взятый наугад билет из 11 лотерейных билетов, будет выигрышный равна:
А вероятность невыигрышного билета:
Если среди четырех лотерейных билетов оказывается только один невыигрышный, то это возможно в одном из четырех случаев: невыигрышный лотерейный билет будет первым или вторым или третьим или четвертым.
Задание 3
В двух партиях k1 = 86 и k2 = 32 процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу набирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно доброкачественное и одно бракованное.
Решение
а) Вероятность обнаружить одно бракованное изделие в первой партии Р(А)=0,14, во второй Р(В)=0,68. Вероятность того что в двух партиях не будет обнаружено ни одного бракованного изделия будет равна Р(С)=0,86•0,32=0,2752. Тогда вероятность того, что из двух изделий каждой партии будет обнаружено хотя бы одно бракованное изделие равна: Р=1-0,2752=0,7248.
б) Вероятность обнаружить два бракованных изделия будет равна: Р=0,14•0,68=0,0952
в) Вероятность обнаружить одно доброкачественное изделие и одно бракованное возможно в двух случаях: доброкачественное изделие окажется из первой партии, а бракованное из второй и наоборот. Тогда, обозначив вероятность обнаружения доброкачественного изделия , а бракованного получим:
Задание 4
Из 1000 ламп n1 = 700 принадлежит i-той партии, i = 1,2,3, - 1000. В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.
6) n1 = 700; n2 = 90
Решение
n3=1000-700-90=210 шт.
Количество бракованных ламп:
в первой партии
во второй партии ,
в третьей партии
Итого из 1000 ламп 55 бракованных
Вероятность того, что выбранная лампа бракованная
Задание 5
В магазин поступают однотипные изделия с двух заводов, причем первый завод поставляет m1 = 60% изделий (i - 1,2,3). Среди изделий 1-ого завода n1 = 70% первосортных Куплено одно изделие. оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j-тым заводом.
m1 = 60; m2 = 20; m3 = 20;
n1 = 70; n2 = 80; n3 = 90;
j = 3
Решение
Пусть A -- событие, состоящее в том, что купленное изделие первосортное, а Н1, Н2, Н3- гипотезы, что оно поставлено соответственно 1-м, 2-м или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют
Из условия задачи следует, что
Найдем , т. е. вероятность того, что изделие, оказавшееся первосортным, поставлено 3-м заводом. По формуле Бейеса имеем
Задание 6
Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х1 и х2, причем х1 < х2. Известна вероятность р1 возможного значения х1 математическое ожидание М(Х) в дисперсии D(Х). Найти закон распределения этой случайной величины. 6) р1 = 0,5; М(Х) = 3,5; D(Х) = 0,25
Решение
|
X |
х1 |
х2 |
|
|
X2 |
х12 |
х22 |
|
|
p |
0,5 |
0,5 |
=0,25
Найдем общие корни уравнений решив систему , они будут равны {x1=3, x2=4}, {x1=4, x2=3}. Тогда закон распределения этой случайной величины можно записать:
|
X |
3 |
4 |
|
|
p |
0,5 |
0,5 |
или
|
X |
4 |
3 |
|
|
p |
0,5 |
0,5 |
Задание 7
квадратический вероятность случайный математический
Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределенная F(х). Требуется: а) найти плотность распределения f(х); б) математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение у(Х); в) построить графики дифференциальной f(х) и интегральной F(х) функций.
6)
Решение
Плотность распределения f(x) - первая производная от функции распределения F(x).
Задание 8
Найти вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интервал [], если она распределена: а) равномерно в интервале []; б) по нормальному закону и имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение б; в) по показательному закону и имеет математическое ожидание b.
8) б = 6; в = 10; а = 8; b = 12
а) Вероятность попадания случайной величины Х, имеющей равномерное распределение, в заданный интервал:
б) Плотность распределения имеет вид:
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (6; 10).
в) Вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал:
где - положительное число.
В случае показательного распределения математическое ожидание , Находим
Задание 9
Дано статистическое распределение. Найти: а) моду; б) медиану; в) выборочную среднюю; г) выборочную дисперсию; д) выборочное среднее квадратическое отклонение; е) коэффициент вариации. Построить многоугольник распределения и нормальную кривую.
|
х1 |
260 |
280 |
300 |
320 |
340 |
360 |
380 |
|
|
n1 |
1 |
9 |
38 |
36 |
33 |
8 |
5 |
|
xi |
ni |
ui |
niui |
niui2 |
ni(ui+1)2 |
ц(ui) |
Yi |
|
|
260 |
1 |
-3 |
-3 |
9 |
4 |
0,49865 |
0,38878 |
|
|
280 |
9 |
-2 |
-18 |
36 |
9 |
0,47725 |
3,34882 |
|
|
300 |
30 |
-1 |
-30 |
30 |
0 |
0,34134 |
7,98385 |
|
|
320 |
34 |
0 |
0 |
0 |
34 |
0 |
0 |
|
|
340 |
13 |
1 |
13 |
13 |
52 |
0,34134 |
3,45967 |
|
|
360 |
8 |
2 |
16 |
32 |
72 |
0,47725 |
2,97673 |
|
|
380 |
5 |
3 |
15 |
45 |
80 |
0,49865 |
1,94388 |
|
|
? |
100 |
-7 |
165 |
251 |
Мода Мо=320
Медиана Ме=320
Эмпирические моменты:
Выборочная средняя
Выборочная дисперсия
Выборочное среднее квадратичное отклонение
Коэффициент вариации
Для построения многоугольника распределения строим точки с координатами (xi, ni) и соединяем их отрезками прямых. Для построения нормальной кривой строим точки с координатами (xi, yi) и соединяем их плавной кривой, где yi - теоретические частоты.
где (ui)-табличное значение.
Задание 10
Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х по данной корреляционной таблице.
|
Х Y |
12 |
17 |
22 |
27 |
32 |
37 |
ny |
|
|
25 |
2 |
4 |
- |
- |
- |
- |
6 |
|
|
35 |
- |
6 |
3 |
- |
- |
- |
9 |
|
|
45 |
- |
- |
6 |
35 |
4 |
- |
45 |
|
|
55 |
- |
- |
2 |
8 |
6 |
- |
16 |
|
|
65 |
- |
- |
- |
14 |
7 |
3 |
24 |
|
|
nх |
2 |
10 |
11 |
57 |
17 |
3 |
n = 100 |
|
X |
12 |
17 |
22 |
27 |
32 |
37 |
ny |
ui |
nyui |
nyui2 |
nxyuivi |
ny(ui+1)2 |
|
|
Y |
|||||||||||||
|
25 |
6 |
4 |
6 |
-2 |
-12 |
24 |
28 |
6 |
|||||
|
2 |
4 |
||||||||||||
|
35 |
2 |
1 |
9 |
-1 |
-9 |
9 |
15 |
0 |
|||||
|
6 |
3 |
||||||||||||
|
45 |
0 |
0 |
0 |
45 |
0 |
0 |
0 |
0 |
45 |
||||
|
6 |
35 |
4 |
|||||||||||
|
55 |
-1 |
0 |
1 |
16 |
1 |
16 |
16 |
4 |
64 |
||||
|
2 |
8 |
6 |
|||||||||||
|
65 |
0 |
2 |
4 |
24 |
2 |
48 |
96 |
26 |
216 |
||||
|
14 |
7 |
3 |
|||||||||||
|
nх |
2 |
10 |
11 |
57 |
17 |
3 |
100 |
0 |
43 |
145 |
73 |
331 |
|
|
vi |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
-3 |
331 |
|||||
|
nxvi |
-6 |
-20 |
-11 |
0 |
17 |
6 |
-14 |
||||||
|
nxvi2 |
18 |
40 |
11 |
0 |
17 |
12 |
98 |
||||||
|
nxyuivi |
12 |
28 |
1 |
0 |
20 |
12 |
73 |
||||||
|
nx(vi+1)2 |
8 |
10 |
0 |
57 |
68 |
27 |
170 |
170 |
Cx=27
Cy=45
hx=10
hy=5
Список использованной литературы
1. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Математико-статические методы экспертных оценок. - М.: Статистика, 1980.-263с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Физматгиз, 1963.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1999.
4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Физматгиз, 1961.
5. Практикум по теории вероятностей и математической статистики: Учебн. пособ. для студ. высш. учебн. завед. / Под ред. Р.К.Чорнея. - К.: МАУП, 2003. - 328 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение вероятности того, что из урны взят белый шар. Нахождение математического ожидания, среднего квадратического отклонения и дисперсии случайной величины Х, построение гистограммы распределения. Определение параметров распределения Релея.
контрольная работа [91,7 K], добавлен 15.11.2011Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Вычисление вероятностей возможных значений случайной величины по формуле Бернулли. Расчет математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения, медианы и моды. Нахождение интегральной функции, построение многоугольника распределения.
контрольная работа [162,6 K], добавлен 28.05.2012Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [59,7 K], добавлен 26.07.2010Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Дискретные случайные величины и их распределения. Формула полной вероятности и формула Байеса. Общие свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины. Функция распределения случайной величины. Классическое определение вероятностей.
контрольная работа [33,8 K], добавлен 13.12.2010Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Рассмотрение способов нахождения вероятностей происхождения событий при заданных условиях, плотности распределения, математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и построение доверительного интервала для истинной вероятности.
контрольная работа [227,6 K], добавлен 28.04.2010Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [328,2 K], добавлен 07.12.2013Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Определение дифференциальной функции распределения f(x)=F'(x) и математического ожидания случайной величины Х. Применение локальной и интегральной теоремы Лапласа. Составление уравнения прямой линии регрессии. Определение оптимального плана перевозок.
контрольная работа [149,6 K], добавлен 12.11.2012Использование формулы Бернулли для нахождения вероятности происхождения события. Построение графика дискретной случайной величины. Математическое ожидание и свойства интегральной функции распределения. Функция распределения непрерывной случайной величины.
контрольная работа [87,2 K], добавлен 29.01.2014Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Нахождение плотности, среднеквадратического отклонения, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции системы случайных величин. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью.
контрольная работа [200,3 K], добавлен 16.08.2010Расчет параметров экспериментального распределения. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения. Определение вида закона распределения случайной величины. Оценка различий эмпирического и теоретического распределений.
курсовая работа [147,0 K], добавлен 10.04.2011Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
курсовая работа [29,7 K], добавлен 31.05.2010
