Побудова графіків тригонометричних функцій
Визначення періодичності тригонометричних функцій. Характеристика застосування формул пониження степеню. Особливість знаходження періодів доданків. Побудова графіків синусоїди, косинусоїди, тангенсоїди та котангенсоїди шляхом елементарних перетворень.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 14.12.2015 |
| Размер файла | 650,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Коледж інформаційних технологій та землеустрою
РЕФЕРАТ Тема: "Побудова графіків тригеометричних функцій
Виконав: студент І-го курсу,
група К-15
Рябченко Валерий Янович
Київ 2015
Якщо при повороті навколо точки О на кут початковий радіус ОА переходить у радіус ОВ, то при повороті на кут початковий радіус ОА перейде у радіус , симетричний ОВ відносно осі абсцис (рис. 16).
Абсциси точок В і рівні, а ординати рівні за модулем, але протилежні за знаком. Це означає, що
, ,
, .
Таким чином, функції , , непарні, а функція парна.
Приклад 20. Дослідити на парність функції:
а) ;
б) ; в) .
Розв'язання
а)
функція є непарною.
б) функція є парною.
При дослідженні функції на парність можна скористатися системою Maple, замінивши незалежну змінну хна -х у прикладі в):
> f:=x->sin(2*x)*cos(5*x);
> f(-x);
Очевидно, що функція є непарною.
Періодичність тригонометричних функцій
Для періодичної функції виконується рівність , де Т - відмінне від нуля число, назване періодом функції. Кожна періодична функція має велику кількість періодів, тобто якщо Т - період, топТ - період, де , . Звичайно, говорячи про період, мають на увазі найменший додатний період, який називається основним. Основними періодами для тригонометричних функцій є: для функцій , ; для функцій , . У більш загальному вигляді можемо записати:
, , , , .
Якщо кути виражаються в радіанах, то - основний період функцій , ; - основний період функцій , .
Відомо, що періоди функцій і обчислюються за формулою , а періоди функцій і - за формулою .
Якщо період функції дорівнює , а період функції дорівнює , то період функції і дорівнює найменшому числу, при діленні якого на і дістаємо цілі числа.
Приклад 21. Знайти період функції: а) ; б) ;
в) .
Розв'язання
а) Період функції дорівнює .
б) Для того, щоб знайти період функції , потрібно застосувати формули пониження степеня:
,
тобто .
Період функції , а отже і даної функції є число .
в) Знаходимо періоди доданків. Період функції дорівнює , а період функції дорівнює . Очевидно, що період заданої функції дорівнює .
Властивості функцій і та їх графіки
Таблиця 5 - Властивості функцій і
Графік функції називається синусоїдою (рис. 17), а графік функції - косинусоїдою (рис. 18).
Властивості функцій і та їх графіки
Таблиця 6 - Властивості функцій і
Графік функції називається тангенсоїдою (рис. 19), а графік функції - котангенсоїдою (рис. 20).
Побудова графіків тригонометричних функцій
Приклад 27. Побудувати графік функції .
Розв'язання: тригонометричний функція степінь синусоїд
Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:
1) ;
2) (стиснути графік вздовж осі до осі у 2 рази);
3) (зсунути графік вздовж осі на 1 одиницю вгору).
> plot([cos(x),cos(2*x),cos(2*x)+1],x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=[red,blue,black]);
Приклад 28. Побудувати графік функції .
Розв'язання
І спосіб: Перетворим
о .
Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:
1) ;
2) (зсуваємо графік на вправо вздовж осі );
3) (стискаємо графік до осі у 3 рази);
4) (перевертаємо графік відносно осі ).
> plot([sin(x),sin(x-Pi/2),(1/3)*sin(x-Pi/2),-(1/3)*sin(x-Pi/2)],x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=[blue, brown,black,red],linestyle=[3,2,0,1],thickness=3);
ІІ спосіб: Перетворимо функцію за допомогою фор-
мул зведення:
.
Переконаємось в Maple, що графіки початкової функції і функції, отриманої за допомогою формул зведення, - ідентичні:
> plot(-(1/3)*sin(x-Pi/2),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2);
> plot((1/3)*cos(x),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2);
Приклад 29. Побудувати графік функції .
Розв'язання
Спочатку будуємо графік функції . Для того, щоб утворився графік функції , потрібно ту частину графіка , яка вище осі , залишити без змін, а ту, що нижче осі , симетрично відобразити на верхню півплощину.
> plot(abs(cos(x)),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=black,thickness=2);
Приклад 30. Побудувати графік функції .
Розв'язання
Будуємо графік функції . Ту частину побудованого графіка, яка в лівій півплощині відносно осі OY, відкидаємо, а ту, що в правій, - залишаємо і симетрично відображаємо на ліву півплощину.
> plot(sin(abs(x)),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=black);
Приклад 31. Побудувати графік функції .
Розв'язання
.
Оскільки підмодулевий вираз це х, то розглянемо два випадки:
Якщо : .
Якщо : .
Шляхом елементарних перетворень будуємо відповідні графіки функцій.
> plot(abs(x)/x-2*sin(abs(x))*sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=black,discont=true);
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Функціональні методи рішення тригонометричних і комбінованих рівнянь. Рішення тригонометричних нерівностей графічним методом. Відомість тригонометричних рівнянь до алгебраїчних. Перетворення й об'єднання груп загальних рішень тригонометричних рівнянь.
дипломная работа [773,7 K], добавлен 25.02.2011Побудова графіків реалізацій вхідного та вихідного процесів, розрахунок функцій розподілу, математичного сподівання, кореляційної функції. Поняття та принципи вивчення одномірної функції розподілу відгуку, порядок конструювання математичної моделі.
контрольная работа [316,2 K], добавлен 08.11.2014Розв'язання задач з теорії множин та математичної логіки. Визначення основних характеристик графа г (Х,W). Розклад функцій дискретного аргументу в ряди по базисним функціям. Побудова та доведення діаграми Ейлера-Вена. Побудова матриці інцидентності графа.
курсовая работа [988,5 K], добавлен 20.04.2012Таблиця основних інтегралів та знаходження невизначених інтегралів від елементарних функцій. Розкладання підінтегральної функції в лінійну комбінацію більш простих функцій. Метод підстановки або заміни змінної інтегрування. Метод інтегрування частинами.
реферат [150,2 K], добавлен 29.06.2011Побудова сіткової функції при чисельному інтегруванні по заданій підінтегральній функції. Визначення формул прямокутників та трапецій; оцінка їх похибок. Використання методики інтегрування за методом трапецій для обчислення визначеного інтеграла.
презентация [617,4 K], добавлен 06.02.2014Виявлення можливості практичного застосування програмних засобів і комп’ютерних презентацій на уроках математики в ході побудови графіків функцій, що містять змінну під знаком модуля. Особливості застосування програм GRAN1 і GRAN-2D, розроблених Жалдаком.
статья [1,0 M], добавлен 11.05.2010Методи зведення до канонічної форми задач лінійного програмування. Визначення шляхів знаходження екстремумів функцій графічним способом. Побудова початкового опорного плану методом "північно-західного" напрямку. Складання двоїстої системи матриць.
контрольная работа [262,0 K], добавлен 08.02.2010Ряди Фур'є за ортогональними системами тригонометричних функцій, ознаки їх збіжності. Постановка крайових задач, вивід рівняння теплопровідності. Принцип максимуму і теорема єдиності. Розв'язування неоднорідних задач параболічного типу для прямокутника.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 24.01.2012Обчислення меж гіперболічних функцій та замінна змінного. Порівняння гіперболічних і зворотних до них функцій. Диференціювання зворотних гіперболічних функцій, невизначений інтеграл. Розкладання гіперболічних функцій по формулах Тейлора та Маклорена.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 11.02.2011Розгляд методів твірних функцій. Біном Ньютона як найбільш відомий приклад твірної функції. Розгляд задачі про щасливі білети. Аналіз властивостей твірних функцій. Характеристика найважливіших властивостей твірних функцій, особливості застосування.
курсовая работа [428,9 K], добавлен 12.09.2012Етапи побудови емпіричних формул: встановлення загального виду формули; визначення найкращих її параметрів. Суть методу найменших квадратів К. Гауса і А. Лежандра. Побудова лінійної емпіричної формули. Побудова квадратичної емпіричної залежності.
контрольная работа [128,1 K], добавлен 22.01.2011Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції. Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є. Визначення методів Бернштейна–Рогозинського. Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського. Сума, добуток і частка періодичних функцій.
курсовая работа [765,6 K], добавлен 07.07.2011Активізація учбово-пізнавальної діяльності учнів. Психолого-педагогична характеристика творчого мислення. Поняття інноваційної технології навчання. Використання персонального комп'ютера при побудові графіків функцій в 8 класах, результати експерименту.
дипломная работа [944,4 K], добавлен 24.04.2009Точне знаходження первісної й інтеграла для довільних функцій. Чисельне визначення однократного інтеграла. Покрокові пояснення алгоритму методу Чебишева, реалізованого засобами програмування СКМ Mathcad. Знаходження інтегралу за допомогою панелі Calculus.
курсовая работа [390,8 K], добавлен 19.05.2016Використання наближення функцій для практичних розрахунків, методи інтерполювання многочленом Лагранжа та Ньютона. Означення ермітових сплайнів з експоненціальними ланками та знаходження аналітичних виразів їх параметрів. Обчислення похибки наближення.
курсовая работа [687,3 K], добавлен 28.01.2011Теоретичні матеріали щодо визначення методів дослідження лінійної залежності та незалежності функцій, проведення дослідження лінійної залежності систем функцій однієї змінної за визначенням і з використанням визначників матриць Вронського та Грама.
курсовая работа [235,2 K], добавлен 15.06.2013Лінійні, квадратичні та кубічні В-сплайни. Отримання форми запису сплайнів, виведення формул для розрахунків інтерполяційних задач. Застосування кубічних В-сплайнів в математичній теорії і обчислювальних задачах. Практичність вивчення кубічних В-сплайнів.
контрольная работа [678,5 K], добавлен 20.11.2010Власні числа і побудова фундаментальної системи рішень. Однорідна лінійна система диференціальних рівнянь. Побудова фундаментальної матриці рішень методом Ейлера. Знаходження наближеного рішення у вигляді матричного ряду. Рішення неоднорідної системи.
курсовая работа [378,9 K], добавлен 26.12.2010Коротка біографія видатного математика Б. Тейлора. Тейлорова формула із залишковим членом у формі Пеано та у Лагранжовій формі. Розвинення деяких елементарних функцій за формулою Тейлора. Формула Тейлора для многочлена та для функції однієї змінної.
курсовая работа [547,0 K], добавлен 20.05.2015Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014
