Определение систематической погрешности

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1

Задание: Проведены многократные измерения (табл. 1). Опорное значение величины х_о=14.3 воспроизводятся мерой. Требуется определить характер систематической погрешности, определить значение систематической составляющей, внести поправку, выполнить статистическую обработку исправленных значений для определения границ случайной составляющей.

Решение:

1. Рассчитываем сумму значений ряда измерений. Результат записываем в таблицу 1.

2. Рассчитываем среднее арифметическое неисправленных значений:

измерение систематический погрешность

(1)

где x_i' - значение, полученное в i-ом измерении; n - количество выпол-

ненных измерений величины.

Результаты расчетов записываем в таблицу 1.

3. Рассчитываем последовательную разность для каждой пары ряда неисправленных значений:

d_i = x'_i? x'_i?1 .(2)

Результаты расчетов записываем в таблицу 1.

4. Рассчитываем сумму последовательных разностей. Результаты записываем в таблицу 1.

5. Возводим во вторую степень каждое значение последовательных разностей. Результаты записываем в таблицу 1.

6. Рассчитываем сумму квадратов отклонений. Результат записываем в таблицу 1.

7. Рассчитываем отклонения неисправленных значений ряда от среднего арифметического:

(3)

Результаты расчетов записываем в таблицу 1.

8. Рассчитываем сумму отклонений. Значение должно быть равно нулю. В противном случае имеется ошибка в расчетах среднего арифметического или отклонений. Результаты расчетов записываем в таблицу 1.

9. Возводим во вторую степень значения отклонений. Результат записываем в таблицу 1.

10. Рассчитываем сумму квадратов отклонений. Результат записываем в таблицу 1.

11. Рассчитываем дисперсию результатов измерений, как состоящую из последовательных разностей:

(4)

Результат записываем в таблицу 1.

12. Рассчитываем дисперсию результатов измерений, как состоящую из отклонений от среднего арифметического:

(5)

Результат записываем в таблицу 1.

13. Рассчитываем значение критерия Аббе:



(6)

Результат записываем в таблицу 1.

14. Выбираем табулированное значение критерия Аббе по таблице П.1 при n=22 и при двух значениях уровня значимости q=0,99 и q=0,95. Принятые значения записываем в таблицу 1.

15. Сравниваем рассчитанное значение и табулированные значения критерия Аббе.

Таблица 1. Результаты расчета критерия Аббе

i	Неисправленные результаты измерений x'i	Последовательная разность d i	Квадрат разности di2	Отклонения v i	Квадрат отклонения vi2
1	13	-	-	0,543	0,295
2	13,4	0,4	0,16	0,143	0,020
3	13,2	-0,2	0,04	0,343	0,118
4	13,4	0,2	0,04	0,143	0,020
5	13,4	0	0	0,143	0,020
6	13,2	-0,2	0,04	0,343	0,118
7	13,2	0	0	0,343	0,118
8	13,4	0,2	0,04	0,143	0,020
9	13,2	-0,2	0,04	0,343	0,118
10	13,4	0,2	0,04	0,143	0,020
11	13,6	0,2	0,04	-0,057	0,003
12	13,8	0,2	0,04	-0,257	0,066
13	13,4	-0,4	0,16	0,143	0,020
14	13,6	0,2	0,04	-0,057	0,003
15	13,8	0,2	0,04	-0,257	0,066
16	14	0,2	0,04	-0,457	0,209
17	13,8	-0,2	0,04	-0,257	0,066
18	14	0,2	0,04	-0,457	0,209
19	13,8	-0,2	0,04	-0,257	0,066
20	14,2	0,4	0,16	-0,657	0,432
21	13,6	-0,6	0,36	-0,057	0,003
Сумма	284,4	0,6	1,4	0,000	2,011
	13,543
Q2	0,035
S2	0,101
V	0,348
V(0,95;22)	0,6574
V(0,99;22)	0,5301

Выполняется условие V >V_{q n,} , с достоверностью q=0.99 принимаем гипотезу о постоянстве систематической составляющей погрешности измерений, то есть с достоверностью 0.99 можно признать, что не выявлено влияние изменяемых факторов на результаты измерений.

16. Выявляем закономерность изменения результатов проведенных измерений путем аппроксимации. Строим график, иллюстрирующий изменение значений ряда (рис. 1).

Рисунок 1. График изменения значений в ряду результатов измерений.

Перепишем аппроксимирующей тренда в принятых обозначениях:

x_a(i)= -0,0003i³ + 0,011i² - 0,0609i + 13,301 (7)



где x_a(i) - значение величины, определяемое аппроксимирующей функ-

цией для i-ого значения влияющей величины.

Рассчитываем значения по уравнению (7). Результаты записываем в таблицу 2.

17. Значение погрешности измерений есть разность между неисправленными результатами и опорным значением величины:

?_i =x_i? ? x_o . (8)

Погрешность ?_i содержит случайную и систематическую составляющие:

,(9)

где и_i - систематическая составляющая; о_i - случайная составляющая.

Уравнение (7) отражает изменение систематической составляющей погрешности измерений от действия влияющей величины.

18. Определяем функцию систематической составляющей погрешности измерений. Систематическую погрешность определяем, как разность между значением величины, отражающим изменение систематической составляющей, и опорным значением величины, которое имеет пренебрежимо малую погрешность. Функция систематической составляющей имеет вид:

и_i=x_a(i)-X0=-0,0003i³ + 0,011i² - 0,0609i + 13,301 (10)

Рассчитываем значения по уравнению (10). Результаты записываем в таблицу 2.

19. Определяем поправку на действие систематической погрешности:

c_i = ?и_i = -0,0003i³ + 0,011i² - 0,0609i + 13,301(11)

Рассчитываем значения по формуле (11). Результаты записываем в таблицу 2.

20. Определяем исправленные результаты измерений:

x_i = x_i? +c_i .(12)

Рассчитываем значения по формуле (12). Результаты записываем в таблицу 2.

21. Определяем случайную составляющую погрешности измерений. Из формулы (9) вытекает, что:

о_i = ?_i ?и_i .(13)

Подставляем в (13) значения, рассчитанные по формулам (8) и (10), и получаем:

о_i = x_i? ? x_o ? x _a (i )+ x_o = x_i ?? x _a (i ).(14)

Рассчитываем значения по формуле (14). Результаты записываем в таблицу 2.



Таблица 2. Результаты расчета погрешностей

i	x i	Неисправленные результаты измерений xa(i)	Значение погрешно-сти измерений ?i	Значение систематической погрешности Oi	Значение поправ-ки ci	Исправленные результаты измерений xi	Значение случайной погрешно-сти ? i
1	13	13,251	-1,3	-1,049	1,049	14,049	-0,251
2	13,4	13,221	-0,9	-1,079	1,079	14,479	0,179
3	13,2	13,209	-1,1	-1,091	1,091	14,291	-0,009
4	13,4	13,214	-0,9	-1,086	1,086	14,486	0,186
5	13,4	13,234	-0,9	-1,066	1,066	14,466	0,166
6	13,2	13,267	-1,1	-1,033	1,033	14,233	-0,067
7	13,2	13,311	-1,1	-0,989	0,989	14,189	-0,111
8	13,4	13,364	-0,9	-0,936	0,936	14,336	0,036
9	13,2	13,425	-1,1	-0,875	0,875	14,075	-0,225
10	13,4	13,492	-0,9	-0,808	0,808	14,208	-0,092
11	13,6	13,563	-0,7	-0,737	0,737	14,337	0,037
12	13,8	13,636	-0,5	-0,664	0,664	14,464	0,164
13	13,4	13,709	-0,9	-0,591	0,591	13,991	-0,309
14	13,6	13,781	-0,7	-0,519	0,519	14,119	-0,181
15	13,8	13,850	-0,5	-0,450	0,450	14,250	-0,050
16	14	13,914	-0,3	-0,386	0,386	14,386	0,086
17	13,8	13,971	-0,5	-0,329	0,329	14,129	-0,171
18	14	14,019	-0,3	-0,281	0,281	14,281	-0,019
19	13,8	14,057	-0,5	-0,243	0,243	14,043	-0,257
20	14,2	14,083	-0,1	-0,217	0,217	14,417	0,117
21	13,6	14,095	-0,7	-0,205	0,205	13,805	-0,495
X0=14.3

22. Для выборки случайных погрешностей рассчитываем среднее арифметическое значение:

(15)

Результаты записываем в таблицу 3.

23. Рассчитываем среднеквадратическое отклонение:

Рассчитываем значения по формуле (16). Результаты записываем в таблицу 3.

24. Проверяем наличие ошибок среди значений случайной погрешности. Проверку проводим согласно требованиям стандарта [1] по двум критериям Граббса:

; (17)

В таблице 3 отыскиваем минимальное и максимальное значения е_i. Находим третий i=12 член е_max=0,221 и девятый член i=21 ряда е_min=-0,516. Для этих членов в соседнем столбце записаны абсолютные значения разностей 0,244 и 0,493 соответственно. Рассчитываем значения критерия Граббса:

Определяем табличные значения критерия Граббса G_0,99=3.060; G_0,95=2.758 из таблицы А.1 стандарта [1], записываем в таблицу 3.

Проверяем выполнение неравенств:

G₁ > G G_T ;₂ > G_T(18)

G₁ ? G G_T ;₂ ? G_T(19)



При выполнении неравенств (18) значения е_max и е_min должны быть приняты в качестве промахов с достоверностью 1-q. При выполнении неравенств (19) значения е_max и е_min признаются, принадлежащими рассматриваемому ряду с достоверностью 1-q. Величина q является уровнем значимости, принимаются два значения 1% и 5%.

Подстановка значений в неравенства (18) и (19) показала:

2,533< 3,030; 4,472>3,030 (18)

2,533 < 2,773; 4,472> 2,773 (19)

Проверка неравенств (18) и (19) показала, что с достоверность 0,99 среди ряда значений присутствует промах, i=21, xi=13,6. Исключаем его как маловероятное значение. Вновь проводим расчёт таблиц 1, 2 и 3, повторно проводим процедуру проверки на наличие грубых погрешностей.

Результаты записываем в таблицы 4, 5 и 6

Таблица 3. Результаты расчета показателей случайной погрешности

i	Значения случайной погрешности ? i	Значение отклонения от среднего	Значения квадрата отклонения (? i-?(средн))2
		? i-?(средн)	¦? i-?(средн)¦
1	-0,251	-0,191	0,191	0,036
2	0,179	0,239	0,239	0,057
3	-0,009	0,051	0,051	0,003
4	0,186	0,246	0,246	0,061
5	0,166	0,226	0,226	0,051
6	-0,067	-0,007	0,007	0,000
7	-0,111	-0,051	0,051	0,003
8	0,036	0,096	0,096	0,009
9	-0,225	-0,165	0,165	0,027
10	-0,092	-0,032	0,032	0,001
11	0,037	0,097	0,097	0,010
12	0,164	0,224	0,224	0,050
13	-0,309	-0,249	0,249	0,062
14	-0,181	-0,121	0,121	0,015
15	-0,050	0,010	0,010	0,000
16	0,086	0,146	0,146	0,021
17	-0,171	-0,111	0,111	0,012
18	-0,019	0,041	0,041	0,002
19	-0,257	-0,197	0,197	0,039
20	0,117	0,177	0,177	0,031
21	-0,495	-0,435	0,435	0,189

?(средн)	-0,0603
S?	0,0972
G 1	2,533
G 2	4,472
G0,99	3,03
G0,95	2,733

Таблица 4. Результаты расчета критерия Аббе

i	Неисправлен-ные результаты измерений x'i	Последова-тельная разность d i	Квадрат разности di2	Отклонения v i	Квадрат отклонения vi2
1	13	-		0,540	0,292
2	13,4	0,4	0,16	0,140	0,020
3	13,2	-0,2	0,04	0,340	0,116
4	13,4	0,2	0,04	0,140	0,020
5	13,4	0	0	0,140	0,020
6	13,2	-0,2	0,04	0,340	0,116
7	13,2	0	0	0,340	0,116
8	13,4	0,2	0,04	0,140	0,020
9	13,2	-0,2	0,04	0,340	0,116
10	13,4	0,2	0,04	0,140	0,020
11	13,6	0,2	0,04	-0,060	0,004
12	13,8	0,2	0,04	-0,260	0,068
13	13,4	-0,4	0,16	0,140	0,020
14	13,6	0,2	0,04	-0,060	0,004
15	13,8	0,2	0,04	-0,260	0,068
16	14	0,2	0,04	-0,460	0,212
17	13,8	-0,2	0,04	-0,260	0,068
18	14	0,2	0,04	-0,460	0,212
19	13,8	-0,2	0,04	-0,260	0,068
20	14,2	0,4	0,16	-0,660	0,436
Сумма	270,8	1,2	1,04	0,000	2,008

Рисунок 2. График изменения значений в ряду результатов измерений.

Таблица 5. Результаты расчета погрешностей

i	xi	Неисправленные результаты измерений xa(i)	Значение погрешности измерений ?i	Значение систематической погрешности Oi	Значение поправки ci	Исправлен-ные результаты измерений xi	Значение случайной погрешности ? i
1	13	13,185	-1,3	-1,115	1,115	14,115	-0,185
2	13,4	13,184	-0,9	-1,116	1,116	14,516	0,216
3	13,2	13,188	-1,1	-1,112	1,112	14,312	0,012
4	13,4	13,196	-0,9	-1,104	1,104	14,504	0,204
5	13,4	13,207	-0,9	-1,093	1,093	14,493	0,193
6	13,2	13,223	-1,1	-1,077	1,077	14,277	-0,023
7	13,2	13,242	-1,1	-1,058	1,058	14,258	-0,042
8	13,4	13,265	-0,9	-1,035	1,035	14,435	0,135
9	13,2	13,292	-1,1	-1,008	1,008	14,208	-0,092
10	13,4	13,323	-0,9	-0,977	0,977	14,377	0,077
11	13,6	13,358	-0,7	-0,942	0,942	14,542	0,242
12	13,8	13,396	-0,5	-0,904	0,904	14,704	0,404
13	13,4	13,439	-0,9	-0,861	0,861	14,261	-0,039
14	13,6	13,485	-0,7	-0,815	0,815	14,415	0,115
15	13,8	13,534	-0,5	-0,766	0,766	14,566	0,266
16	14	13,588	-0,3	-0,712	0,712	14,712	0,412
17	13,8	13,645	-0,5	-0,655	0,655	14,455	0,155
18	14	13,706	-0,3	-0,594	0,594	14,594	0,294
19	13,8	13,771	-0,5	-0,529	0,529	14,329	0,029
20	14,2	13,839	-0,1	-0,461	0,461	14,661	0,361
x 0	14,3

Таблица 6. Результаты расчета показателей случайной погрешности

i	Значения случайной погрешности ? i	Значение отклонения от среднего	Значения квадрата отклонения (? i-?(средн))2
		? i-?(средн)	¦? i-?(средн)¦
1	-0,185	-0,321	0,321	0,103
2	0,216	0,079	0,079	0,006
3	0,012	-0,125	0,125	0,016
4	0,204	0,068	0,068	0,005
5	0,193	0,056	0,056	0,003
6	-0,023	-0,159	0,159	0,025
7	-0,042	-0,179	0,179	0,032
8	0,135	-0,002	0,002	0,000
9	-0,092	-0,229	0,229	0,052
10	0,077	-0,060	0,060	0,004
11	0,242	0,106	0,106	0,011
12	0,404	0,267	0,267	0,071
13	-0,039	-0,175	0,175	0,031
14	0,115	-0,021	0,021	0,000
15	0,266	0,129	0,129	0,017
16	0,412	0,275	0,275	0,076
17	0,155	0,018	0,018	0,000
18	0,294	0,157	0,157	0,025
19	0,029	-0,107	0,107	0,012
20	0,361	0,224	0,224	0,050
Cумма	2,735		2,758	0,539

?(средн)	0,1368
S(?)	0,1642
G 1	1,677
G 2	1,958
G0,99	3,031
G0,95	2,733

В таблице 6 отыскиваем минимальное и максимальное значения е_i. Находим третий i=16 член е_max=0,412 и девятый член i=1 ряда е_min=-0,185. Для этих членов в соседнем столбце записаны абсолютные значения разностей 0,275 и 0,321 соответственно. Рассчитываем значения критерия Граббса:

Определяем табличные значения критерия Граббса G_0,99=3.031; G_0,95=2.733 из таблицы А.1 стандарта [1], записываем в таблицу 3.

Подстановка значений в неравенства (18) и (19) показала:

1,677< 3,031 ; 1,958>3,031 (18)

1,677 < 2,773; 1,958> 2,773 (19)

Проверка неравенств (18) и (19) показала, что с достоверностью 0,99 можно заявить об отсутствии промахов среди значений ряда. Результаты записываем в таблицу 6.

25. Проверяем соответствие распределения нормальному согласно рекомендациям стандарта [1]. В рассматриваемом примере имеем шестнадцать измерений. Для этого случая могут быть применены два критерия.

25.1. Проверка по первому критерию:

, (20)

где S_о^* - смещенное среднее квадратическое отклонение.

Рассчитываем смещенное среднее квадратическое отклонение:

Результат записываем в таблицу 6.

Рассчитываем значение критерия 0,8400. Результат записываем в таблицу 6. Определяем табличные значения критерия [табл. Б.1, 1], записываем в таблицу 3: d_0,01 = 0,9001; d_0,99 = 0,696;d_0,05 = 0,8768;d_0,95 = 0,7304.

Проверяем выполнение неравенства:

(22)

Из сравнения рассчитанного и табличных значений делаем вывод, что с вероятностью 0,01 распределение значений случайной погрешности не подчиняется нормальному закону.

25.2. Проверка по второму критерию заключается в проверке неравенства:

; (23)

где z_Р/2 - верхний квантиль функции Лапласа, соответствующий вероятности Р/2; m - количество раз невыполнения неравенства.

Количество m разностей, не удовлетворяющих неравенству (23), определяем по таблице Б.2 стандарта [1] в зависимости от числа измерений n. В этой же таблице Б.2 приведены значения вероятности P для уровней значимости q₂=1% и q₂=5%. Принимаем: m=1; Р=0,99 и Р=0,98.

По таблице Б.3 принимаем значение квантиля z_0,99/2=2,58 и z_0,98/2=2,33 при Р=0,99 и Р=0,98, соответственно.

Рассчитываем значения для правой части неравенства (23):

z_0,99/2 *S_о = 2,58 *0,1642= 0,4235

z_0,98/2*S_о=2,33*0,1642=0,3225

Результаты записываем в таблицу 6.

Из таблицы 3 выбираем наибольшее значение разности при i=16. Сравниваем с рассчитанными значениями правой части неравенства (23). Получаем:

0,275?0,3225

Делаем вывод, что неравенство (23) выполняется менее m=1 раз, что позволяет дать заключение о распределении значений случайной погрешности измерений в соответствии с нормальным законом.

26. Оцениваем не исключённую систематическую погрешность (НСП). Необходимость оценки НСП связана с тем, что центр группирования случайной составляющей смещен относительно нуля на значение 0,137. Другими словами, если результаты измерений являются исправленными, значить, они содержат только случайную составляющую, но среднее арифметическое случайной составляющей отлично от нуля . На основании этого предполагаем.

Во-первых, наличие НСП связано с несовершенством способа устранения систематической погрешности и/или связано с факторами, действием которых пренебрегли в ходе измерений:

Во-вторых, результаты измерений являются случайной выборкой, а смещение ее среднего арифметического от центра группирования генеральной совокупности является величиной, имеющей распределение Стьюдента.

Оценка НСП или проверка перечисленных предположений заключается в проверке следующих неравенств:

(24)

(25)

(26)

- среднее квадратическое отклонение среднего арифметического.

Если выполняется неравенство (24), значит, величиной, которую предположительно приняли в качестве НСП, можно пренебречь и рассматривать совместно со случайной составляющей.

Если выполняется неравенство (25), значит, случайная составляющая значительно меньше систематической, а результаты измерений подлежат исправлению.

Если выполняется неравенство (26), значит, для определения результата измерений необходимо определить границы случайной и систематической.

Рассчитываем значение среднего квадратического отклонения среднего арифметического по формуле:



(27)

Получаем:

Значение записываем в таблицу 6.

Рассчитываем отношение, входящее в неравенства (24-26). Получаем:

Принимаем решение, что для определения результатов измерений необходимо определить границы случайной и систематической погрешностей.

27. Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности. Проверка в п. 25 показала, что распределение вероятностей случайной составляющей погрешности выполненных измерений подчиняется нормальному закону, поэтому для расчета доверительных границ используем уравнение:

(28)

где t_p,n-1 - коэффициент Стьюдента, определяемый по таблице Д.1 стандарта [2].

Принимаем значения коэффициента Стьюдента t_0,99;19=2,962 и t_0,95;19=2,093 получаем:

?= 0,1368± 2,962* 0,0367= 0.1368±0,1087 ;p=0,99

?= 0.1368± 2,093*0,0367=0,1368±0,0768 ;p=0,95

28. Строим гистограмму, иллюстрирующую распределение плотности случайной составляющей погрешности измерений величины. Для этого группируем значения по интервалам. Границы интервалов отсчитываем от нуля. Ширину интервала принимаем равной несмещенной оценке стандартного отклонения (п. 23), которую рассчитали по формуле (16). Имеем восемь интервалов:

e_i ? ? ?3 S n_e; ₁

?3?S_e <e_i ? ? ?2 S n_e; ₂

?2?S_e <e_i ? ? ?1 S n_e; ₃

0?1<?eS_ie <^eei ? 0;n4,(30)

_{? S n;} 5

S_e <e_i ? 2?S n_e; ₆

2?S_e <e_i ? 3?S n_e; ₇ e_i > 3?S n_e; ₈

где n_k - количество значений, отнесенных с k-ому интервалу; k=1,…,8.

Границы интервалов группировки значений приводим в таблице 3.

Группируем только исправленные значения, не учитываем выпавшие в п. 24 по причине их ошибочности. Для каждого интервала подсчитываем количество n_k отнесенных к нему значений величины. Отношение этого количества к общему количеству n значений является эмпирической частотой:

pk = nnk .(31)

Для рассчитанных частот необходимо провести проверку на выполнение равенства:

=

? ?k⁸=1 pkk⁸=1 ⁿn^k =1.(32)

Имеем общее количество значений n=16, для каждого интервала получаем:

p 0; p 0; p 0,19; p 0,31;

p 0,31; p 0,19; p 0; p 0;

0,19+0,31+0,19+0,31=1,00

Рассчитанные значения эмпирических частот заносим в таблицу 3.

Гистограмма показана на рисунке 2.

29. Строим теоретическую кривую распределения. Эмпирическая частота характеризует однократную реализацию закона распределений плотности вероятностей случайной составляющей. В п. 25 доказана гипотеза о соответствии нормальному распределению, поэтому для построения теоретической кривой используем функцию:

где e_k - граница k-ого интервала группирования значений.

Результаты расчета сводим в таблицу 3.

Результаты расчета, а значит, и корректность построения кривой проверяем по условию:

?p(e_k ) ?1.(30)

k=1

Для построения кривой могут быть использованы значения интегральной функции, но при этом следует учесть ее особенность. Интегральная функция распределения случайной погрешности F(?) покажет зависимость вероятности того, что некоторое значение величины ?не превысит значение e_k границы k-ого интервала:

p(?? <e--e--e? _k ) = F(--).(31)

Вероятность того, что величина ?примет значение из некоторого интервала, равна разности значений интегральных функций распределения на границах интервала:

p(e--e--e_k1 <? _k ) = p(?? <e--e? _k )? p(?? <e--e? _k?1) = F(e--e_k )? F( _k?1) .(32)

Дифференциальная функция распределения f(e) величины e является производной от интегральной функции F(e), приближённо равна отношению вероятности того, что некоторое значение величины eпринадлежит назначенному интервалу e--e--e_k?1 < ? _k к длине этого интервала. Вероятность попадания значения величины eв некоторый интервал равна площади под кривой дифференциальной функции распределения в этом интервале. Площадь под всей кривой дифференциальной функции равна единице и это является условием для проверки (30).

Рисунок 2. Гистограмма и кривые нормального распределения значений случайной погрешности.

30. Составляем модель проведенных измерений. В задании сказано, что измерение проведено путем сравнения с размером меры. По сути, значение измеряемой величины является суммой трех величин: показание СИ, значение меры, значение поправки. Поэтому модель измерений имеет вид:

x_i = r_i + x_o +c_i ,(33)

где r_i - разность размеров измеряемой величины и меры, отсчитывае-

мая по шкале СИ.

Из суммы (33) видно, что неопределенность результата измерений определяется оценками неопределенностей показаний СИ, значения меры и внесенной поправки.

31. Рассчитываем неопределенность для показаний СИ. Неопределенность показаний СИ оцениваем по типу А [4], потому что располагаем наиболее надежной выборочной оценкой среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения. Расчет выполняем по формуле:

u_A(--)r = S( )e .(34)

Границы неопределенности типа А наносим на графике кривой нормального распределения (рис. 2). Результат записываем в таблицу 4.

32. Рассчитываем неопределенность значения меры. Значение размерамеры задано симметричным интервалом без пояснения закона распределения между его границ. Предполагаем, что возможные значения размера меры между границ интервала распределены равновероятно. Применяем оценку стандартной неопределенности типа В [4], которая будет равна выборочному стандартному отклонению:



u_B (x_o ) = ^a3 ,(35)

где a=0,008- граница доверительного интервала для значения размера

меры х_о.

u_B (x_o ) = Размещено на http://www.allbest.ru/

1

1

= 0,0046.

Результат записываем в таблицу 4.

33. Рассчитываем расширенную неопределенность [4]. Расчет проводим по формуле:

U = k u x? _c ( ),(37)

где k=2 - коэффициент охвата при уровне доверия 95%. Получаем:

U = 2 0,0303?= 0,0606.

Доверительный интервал ±0,0606 без неопределенности поправки. Результат записываем в таблицу 4.

34. Рассчитываем оценку неопределенности поправки, рассчитанной врезультате аппроксимации. Для определения неопределенности значения поправки необходимо рассмотреть критерий оценки точности аппроксимации, который применяли в п.16 для выбора линии тренда. Показатель достоверности аппроксимации (коэффициент детерминации) показывает долю дисперсии неучтенных факторов при аппроксимации. Рассчитывается по формуле:

R2 = ?1 ss2²(( )x^x?) ? ?1s^s2²(( )x^x)? ,(38)

где s² ( )x - квадрат СКО результатов измерений, исправленных поправкой, которая выявлена при аппроксимации; s² (x?) - квадрат СКО неисправленных результатов измерений, имевшихся перед аппроксимацией; s² (--)x - квадрат выборочного стандартного отклонения исправленных результатов; s² (x?) - квадрат выборочного стандартного отклонения неисправленных результатов.

По своей сути отношения, входящие в формулу (38), являются относительными оценками дисперсии поправки, поэтому стандартную относительную неопределенность поправки, оцениваем по типу А и рассчитываем по формуле:

Результат расчета сводим в таблицу 4.

Таблица 4. Показатели качества измерений

№ п/п	Наименование и обозначение	Значение
	Поправка с	см. табл. 2
	Границы случайной погрешности ?=?±tp n, ?1 ?S?; p = 0,95	?0,0095±0,066066
	Стандартная неопределенность показаний СИ uA(r)	0,0308
	Стандартная неопределенность значения меры uB(xo)	0,0046
	Стандартная суммарная неопределенность uc(x)	0,0303
	Расширенная неопределенность U	0,0606
	Доверительный интервал при уровне доверия 95%	±0,0606
	Стандартная относительная неопределенность поправки wA(с)	0,4266

Таблица П.1. Значения критерия Аббе

n	Значения vq,n	n	Значения vq,n	n	Значения vq,n
	q=0.95	q=0.99		q=0.95	q=0.99		q=0.95	q=0.99
4	0.3902	0.3128	23	0.6713	0.5479	42	0.7521	0.6655
5	0.4102	0.2690	24	0.6776	0.5562	43	0.7550	0.6659
6	0.4451	0.2808	25	0.6839	0.5639	44	0.7576	0.6622
7	0.4680	0.3070	26	0.6893	0.5713	45	0.7603	0.6659
8	0.4912	0.3314	27	0.6946	0.5784	46	0.7628	0.6693
9	0.5121	0.3544	28	0.6996	0.5850	47	0.7653	0.6727
10	0.5311	0.3759	29	0.7047	0.5915	48	0.7767	0.6757
11	0.5482	0.3957	30	0.7091	0.5975	49	0.7698	0.6787
12	0.5636	0.4140	31	0.7136	0.6034	50	0.7718	0.6814
13	0.5778	0.4309	32	0.7177	0.6089	51	0.7739	0.6842
14	0.5908	0.4466	33	0.7216	0.6141	52	0.7759	0.6869
15	0.6027	0.4611	34	0.7256	0.6193	53	0.7779	0.6896
16	0.6137	0.4746	35	0.7292	0.6242	54	0.7799	0.6924
17	0.6237	0.4872	36	0.7328	0.6290	55	0.7817	0.6949
18	0.6330	0.4989	37	0.7363	0.6337	56	0.7836	0.6974
19	0.5417	0.5100	38	0.7396	0.6381	57	0.7853	0.6999
20	0.6498	0.5203	39	0.7429	0.6425	58	0.7872	0.7024
21	0.6574	0.5301	40	0.7461	0.6467	59	0.7891	0.7049
22	0.6645	0.5393	41	0.7491	0.6508	60	0.7906	0.7071



Используемые источники

1. ПМГ 96-2009 Государственная система обеспечения единства измерений. Результаты и характеристики качества измерений. Формы представления.

2. ГОСТ Р 8.736-2011 Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения.

3. ГОСТ Р 54500.1 - 2011 Неопределенность измерения. Часть 1. Введение в руководство по неопределенности измерения.

4. ГОСТ Р 54500.3 - 2011 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения.

МИ 2091-90 ГСИ. Измерения физических величин. Общие требования

Исп...