Приближенная минимизация интегрального функционала по методу Ритца

Размещено на http://www.allbest.ru

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РФ (МИИТ)

Институт управления и информационных технологий

Кафедра «Прикладная математика»

Курсовая работа по дисциплине

«Вариационное исчисление»

на тему:

«ПРИБЛИЖЕННАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА ПО МЕТОДУ РИТЦА»

Выполнила:

студентка группы УПМ-311

Гафарова Сабина

Проверил: доц. Сафро В.М.

Москва 2015

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1. Найти точное решение задачи о минимуме заданного функционала J[y] - экстремаль у₀(х):

задача решение уравнение функция график

2.

3. Найти n приближённых решений (итераций) y_n(x) задачи о минимуме J[y] по методу Ритца при указанном в задании выборе системы координатных функций ц_k(x), k = 1, 2, …, n.

Исходная точность 0.00001; далее - по ходу задачи.

Сравнить y_n(x) и y₀(x) в 10 точках x_i = a + 0.1(b-a)i; i = 0, 1, 2, …, 10, указав (по 10 точкам) невязки

Убедиться в том, что с ростом n.

Построить графики функций y_n(x) и y₀(x).



ГЛАВА 1 ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

1.1 Уравнение Эйлера

Пусть  -- дифференцируемая функция n переменных. Говорят, что имеет в точке  экстремум, если

имеет один и тот же знак для всех точек  принадлежащих некоторой окрестности точки  именно F имеет в данной точке минимум, если  в данной окрестности, и максимум в случае  .

Аналогично мы скажем, что функционал  достигает экстремума при  если сохраняет знак в некоторой окрестности кривой 

Мы будем рассматривать функционалы, определенные на некотором множестве дифференцируемых, функций. Сами эти функции мы можем считать элементами пространства С или пространства D₁. В соответствии с этими двумя возможностями мы будем говорить, что функционал  достигает при  слабого экстремума, если существует такое что сохраняет постоянный знак для всех тех у из D₁ для которых функционал  определен и  означает норму в пространстве D₁ будем называть значение  сильным экстремумом, если оно является экстремальным по отношению ко всем тем y(x) которые принадлежат области определения функционала  и удовлетворяют условию  (т. е. близки к y₀ в смысле нормы пространства С).

Ясно, что всякий сильный экстремум будет в то же время и слабым экстремумом.

Действительно, если   то подавно  поэтому если  есть экстремум по отношению ко всем у таким, что  в, то  тем более будет экстремумом по отношению к тем у, для которых  Обратное, вообще говоря, неверно, т.е. слабый экстремум может сильным экстремумом и не быть. Нахождение слабого экстремума является, как правило, задачей более простой, чем нахождение сильного экстремума. Причина этого состоит в том, что, как было отмечено в конце предыдущего параграфа, функционалы, рассматриваемые обычно в вариационном исчислении, непрерывны в пространстве D₁. Поэтому в теории слабого экстремума можно пользоваться непрерывностью функционалов. В то же время эти функционалы, вообще говоря, не непрерывны по отношению к норме пространства С. 

Теорема. Для того чтобы функционал  при  достигал экстремума, необходимо, чтобы его дифференциал если он существует) обращался в нуль при  т. е.

Доказательство. Рассмотрим для определенности случай минимума. Если  при  достигает минимума, то это значит, что

для всех h, для которых , достаточно мала. Но, по определению вариации,



и  при . Если , то при достаточно малых h знак выражения

(1.1.1)

определяется знаком первого (главного) члена. Но  -- линейный функционал, поэтому

и, следовательно, при  выражение (1.1.1) может быть как положительным, так и отрицательным при сколь угодно малых h, т. е. экстремум в этом случае невозможен.

 Изучение конкретных задач вариационного исчисления мы начнем с так называемой простейшей задачи, которая формулируется следующим образом. Пусть F(x,y,z) -- функция, имеющая непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно. Среди всех функций y(x) имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих условиям

(1.1.2)

найти ту функцию, которая доставляет слабый экстремум функционалу

(1.1.3)

Иначе говоря, простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании слабого экстремума функционала вида (1.1.3) на множестве всех гладких кривых, соединяющих две заданные точки.

Чтобы применить к решению сформулированной простейшей задачи необходимое условие экстремума, нужно уметь вычислять вариацию для функционалов вида (1.1.3). Выведем соответствующую формулу.

Дадим функции у(х) некоторое приращение h(x) Для того чтобы функция

по-прежнему удовлетворяла граничным условиям, нужно, чтобы

Вычислим приращение функционала (1.1.3). Оно равно 

где многоточие обозначает члены порядка выше первого относительно h и h'. Выражение

представляет собой главную линейную часть приращения ?J функционала J, т. е. дифференциал.

Необходимым условием экстремума является равенство

(1.1.4)

из равенства (1.1.4) вытекает, что

(1.1.5)

Выражение (1.1.5) называется уравнением Эйлера.

Таким образом, установлена следующая Теорема 1:

Для того чтобы функционал

определенный на множестве функций y = y(x) имеющих непрерывную первую производную и удовлетворяющих условиям y(a) = A, y(b) = B, достигал на данной функции y(x) экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера

Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями.

Уравнение Эйлера представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение должно зависеть, вообще говоря, от двух произвольных постоянных, которые определяются из двух краевых условий y(a) = A, y(b) = B

При решении уравнения Эйлера ищется решение, определенное во всей фиксированной области и удовлетворяющее заданным граничным условиям. Поэтому вопрос о разрешимости той или иной вариационной задачи не сводится непосредственно к обычным теоремам существования для дифференциальных уравнений.

Приведем следующую теорему С. Н. Бернштейна о существовании и единственности решения в целом для уравнения вида

(1.1.6)

Если функции F,F_y,F_y' непрерывны в каждой конечной точке (x,y) для любого конечного у' и если существует такая постоянная k>0 и такие, ограниченные в каждой конечной части плоскости функции

что

то через любые две точки (a,a₁) (b,b₁) плоскости (x,y) абсциссы которых различны (a не равно b), проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1.1.6).

Эйлера дает исчерпывающее решение задачи. Действительно, часто само существование экстремума бывает ясно из физического или геометрического смысла задачи (например, задачи о брахистохроне, о кратчайшем расстоянии между двумя точками и т. п.). Если при этом существует лишь единственная экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям задачи, то именно она и будет непременно той кривой, которая реализует искомый экстремум.

Уравнение Эйлера для функционала  представляет собой уравнение второго порядка. Может оказаться, однако, что та кривая, на которой этот функционал достигает экстремума, является дважды дифференцируемой. Рассмотрим, например, функционал

Его минимальное значение, равное нулю, достигается на функции

не имеющей второй производной. Хотя функция g(x) и не имеет второй производной, она удовлетворяет соответствующему уравнению Эйлера. Действительно, при F(x,y,y') =y²(1-y')  и y=g имеем

и, следовательно,  и хотя уравнение Эйлера имеет порядок два, g”(x) не существует, подстановка g( x) в уравнение Эйлера обращает его в тождество.

Выясним теперь условия, при, которых можно гарантировать существование второй производной у функции y = y(x) представляющей собой решение уравнения Эйлера.

Теорема 2. Пусть y=y(x) -- решение уравнения Эйлера .  Если функция F(x,y,y') имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то во всех точках (x,y) в которых

функция у = у(х) имеет непрерывную вторую производную. Доказательство. Рассмотрим разность

где знак ~ указывает, что производные берутся в некоторой промежуточной точке.

Разделив эту разность на ?x рассмотрим предел полученного выражения  при ?x->0 (этот предел существует, так как  F_y' имеет производную по х, в силу уравнения Эйлера она равна F_y).

Так как вторые производные функции F(x,y,y') по условию непрерывны, то  при  ?x->0 стремится к  т. е. к значению производной в точке x.

Второе слагаемое, т. е. при  ?x->0 также имеет предел. Это вытекает из существования у' и непрерывности второй производной F_yy'. Но тогда существует предел и третьего слагаемого (так как предел всей суммы существует), т. е. существует

Если ?x->0   то  стремится к пределу , и значит, существует

Из уравнения

можно найти выражение для y” из которого видно, что у" непрерывна всюду, где . Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает, что экстремаль  может иметь излом только в тех точках, где

2. Уравнение Эйлера, выведенное нами в этом параграфе, играет фундаментальную роль во всем вариационном исчислении. Оно представляет собой, вообще говоря, дифференциальное уравнение второго порядка. Укажем некоторые частные случаи, в которых это уравнение может быть сведено к уравнению первого порядка или даже полностью проинтегрировано в квадратурах.

1. Подынтегральная функция не зависит от у. Предположим, что рассматриваемый функционал имеет вид

т. е. F не содержит у явно. В этом случае уравнение Эйлера принимает вид



и имеет, очевидно, первый интеграл

Это -- уравнение первого порядка, не содержащее у. Решив его относительно у, получаем соотношение вида

откуда у находится квадратурой.

2. Подынтегральная функция не зависит от х, т. е.

В этом случае

Умножив это выражение на у, получим выражение, которое можно записать в виде

откуда получаем, что в рассматриваемом случае уравнение Эйлера имеет первый интеграл

3. Если F не зависит от у, то уравнение Эйлера принимает вид

т. е. представляет собой не дифференциальное, а конечное уравнение, определяющее одну или несколько кривых.

4. В различных задачах часто встречаются функционалы вида

представляющие собой интеграл от некоторой функции v(x,y), взятый по длине дуги. В этом случае уравнение Эйлера может быть преобразовано следующим образом:

т. е.

1.2 Решение уравнение Эйлера

Решение уравнения Эйлера в моей задаче необходимо для нахождения точного решения, т.е. единственной экстремали.

Общий вид уравнения Эйлера:

(1.2.1)

Тогда в моем случае уравнение Эйлера будет иметь вид:

8y - 2y” + 2 = 0

Решение однородного уравнения:

Частное решение уравнения: -0.25

Общее решение уравнения:

При подстановке краевых условий получаем

- единственная экстремаль задачи



ГЛАВА 2. МЕТОД РИТЦА МИНИМИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ФУНКЦИОНАЛА

2.1 Описание метода

Одним из наиболее распространенных методов построения минимизирующих последовательностей функций является метод Ритца, который состоит в следующем. Ищется минимум функционала

(2.1.1)

заданного на каком-то многообразии, лежащем в некотором линейном нормированном пространстве Е.

Рассмотрим некоторую последовательность функций

(2.1.2)

из Е такую, что как сами функции, так и их линейные комбинации

(2.1.3)

являются допустимыми для функционала (1). Поставим задачу: при заданном n выбрать коэффициенты c_k k = 1,2..n так, чтобы значение

(2.1.4)

было возможно меньше. Это -- задача о нахождении минимума функции от n переменных (которыми являются c_1,c₂ …c_n) т. е. несравненно более простая, чем нахождение минимума функционала (2.1.1). Таким образом, при каждом n мы получим соответствующий минимум µ_n Ясно, что при увеличении n этот минимум не может возрастать, т. е.

поскольку среди линейных комбинаций первых n+1 функций содержатся все линейные комбинации первых n функций.

Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких условиях можно утверждать, что получающаяся таким образом последовательность функций y_1,y₂,y₃…y_n -- минимизирующая, т. е. что

есть минимум функционала (2.1.1).

Теорема. Если функционал (2.1.1) непрерывен, а система функций (2.1.2) - полная (т. е. линейные комбинации (2.1.3) этих функций образуют множество, всюду плотное в пространстве, на котором задан (2.1.1)), то

где µ -- минимум функционала (2.1.1).

Доказательство. Пусть у ^*-- кривая, на которой реализуется минимум функционала (2.1.1), и пусть задано некоторое  Так как функционал (2.1.1) предполагается непрерывным, то найдется такое д>0, что

(2.1.5)

как только ||y - y*||<д Среди линейных комбинаций вида (2.1.3) найдется такая, обозначим ее y_n что

Тогда согласно (2.1.5)

Если теперь y_n -- та линейная комбинация, на которой функция (2.1.4) при данном n достигает минимума, то

откуда в силу произвольности е получаем, что

Теорема доказана.

Эта теорема применима, например, в том случае, когда функционал вида

рассматривается на некотором множестве, лежащем в D₁ поскольку в этом пространстве функционал указанного вида непрерывен.

Замечание 1. Во многих задачах математической физики приходится рассматривать такие функционалы

в которых подынтегральное выражение F(x,y,y') квадратично относительно у и у'. В этом случае уравнения, которые получаются для определения коэффициентов c_k будут линейными, и следовательно, нахождение этих коэффициентов не представляет существенных трудностей.

Замечание 2. Быстрота сходимости метода Ритца для данной вариационной задачи зависит, очевидно, как от самой рассматриваемой задачи, так и от выбора функций

Следует подчеркнуть, что во многих случаях достаточно взять линейную комбинацию совсем небольшого числа функций ц_n иногда даже меньше) для того, чтобы получить вполне удовлетворительное приближение к точному решению.

Пользуясь геометрическим языком, основную идею метода Ритца можно пояснить следующим образом. Нам нужно найти минимум функционала  ,рассматриваемого на некотором многообразии Ф, имеющем бесконечное число измерений. Мы заменяем это многообразие совокупностью линейных комбинаций n первых функций из некоторой фиксированной последовательности { ц_n } т. е. многообразием не более чем n измерений (полагая n = 1,2 ..), и ищем минимум нашего функционала на этом конечномерном многообразии, т. е., иначе говоря, ищем в этом конечномерном многообразии тот вектор, который является возможно лучшим приближением решения исходной вариационной задачи. Беря последовательно линейные комбинации одной, двух и т. д. функций, мы получаем последовательность вложенных друг в друга многообразий Ф_n возрастающей размерности. Если линейные комбинации функций { ц_n } всюду плотны в многообразии Ф, то это означает, что векторами из Ф_n (при различных n) можно сколь угодно точно аппроксимировать любой элемент из Ф, в частности тот, который дает решение рассматриваемой вариационной задачи (если такой существует).

Аппроксимация бесконечномерного многообразия конечномерными лежит в основе многих прямых методов вариационного исчисления. Укажем из них еще один, встречающийся, по существу, уже у Эйлера.

Каждую задачу о нахождении экстремума функционала

(2.1.6)

можно (приближенно) заменить задачей о нахождении экстремума для функции конечного числа переменных, если искомую функцию заменить ломаной, вершины которой имеют фиксированные абсциссы

а ее производную y'(x) -- разностным отношением

При этом функционал (2.1.6) заменяется функцией конечного числа переменных

Найдя при каждом n ту ломаную, которая дает минимум соответствующей функции n переменных, мы построим последовательность ломаных, которые можно рассматривать как приближенные решения исходной вариационной задачи.

Говоря о методе Ритца и о методе ломаных, мы ограничились здесь указанием способов фактического построения приближенных решений, оставив в стороне вопросы сходимости и вопросы существования точного решения.

2.2 Применение метода Ритца для 1 итерации просчитанной в ручную.

Следовательно,

.



Рассмотрим точное решение. Уравнение Эйлера для данного функционала:

8y - 2y” + 2 = 0.

Решая это неоднородное линейное уравнение, находим

.

Используя граничные условия y(0) = 0, y(1) = 1+sin1, получим окончательно:

.

X			|
0	0	0	0
0,2	0,1998334166	0,203080196	0,0032467794
0,4	0,3986693308	0,398213165	0,0004561658
0,6	0,5955202067	0,586801361	0,0087188457
0,8	0,7894183423	0,770247233	0,0191711093
1	0,9794255386	0,949953235	0,0294723036
1,2	1,1646424737	1,127321817	0,0373206567
1,4	1,3442176872	1,3755432	0,0313255128
1,6	1,5173560909	1,4865653	0,0307907909
1,8	1,6833269096	1,659427564	0,0238993456
2	1,841470985	1,841470985	0

ГЛАВА 3 ОТЫСКАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ЗАДАННОГО ФУНКЦИОНАЛА ПО МЕТОДУ РИТЦА

3.1 Непосредственное отыскание 1 итерации

При k = 1 получаем Подставляя это выражение для y₁(x) в функционал (1), получим

Коэффициент б₁ находим из уравнения

,



откуда.

Первая итерация:

.

3.2 Графики последовательных приближений

3.2.1 Точный чертеж

Графики приближений слились, поэтому изобразим их в искажённом масштабе.



3.2.2 Графики последовательных приближений с искаженным масштабом



ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Точное решение:

.

Последовательность итераций:

Первое приближение:

n
1	6,021152233•10-3	5,994532892•10-3
2	4,233191355•10-5	5,024100000•10-5
3	4,434059325•10-6	4,418842890•10-6
4	2,483915362•10-8	2,490624995•10-8
5	1,692320062•10-9

Таблица свидетельствует о том, что с ростом n невязки уменьшаются, т.е. приближения стремятся к точному решению задачи.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблицы численных значений приближений и точного решения

Невязки

Для оценки приближений укажем невязки двух видов. Они выражаются следующим образом:





Как показывают расчёты, с ростом n невязки стремятся к нулю.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Вариационное исчисление. Задачи и упражнения - Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. - Москва «Наука», 1973.

2. Вариационное исчисление А.М. Будылин - СПб. : С - Петерб. Гос университет, 2001.

3. «Вариационное исчисление, вариационные методы и вариационные принципы в задачах строительного профиля» Б.Г. Вагер, В.В. Карпов, О.В. Игнатьев, А.Ю. Сальников. - АВС, 2003.

4. «Приближенные методы высшего анализа» Л. В. Канторович и В. И. Крылов - государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.

5. «Методы вычислений» Березин И.С., Жидков Н.П. - государственное издательство физико-технической литературы, 1962.

6. «Численные методы» Гулин А.В., Самарский А.А. - Москва «Наука», 1989.

7. Основы работы в математическом пакете MathCAD Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. - ДонНТУ, 2012.

8. «С++: руководство для начинающих» Г. Шилдт - Вильямс, 2005.

9. «Программирование на языке высокого уровня» Павловская В.В. - Питер ISBN, 2009.

Размещено на Allbest.ru

...