Методика решения задач по векторной алгебре

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методические указания к выполнению работы

Пример 1.

Даны два вектора  и , выраженные в виде линейной комбинации векторов  и . Найдите а)  и ; б) скалярное произведение ; в) угол между векторами  и ; г) длину третьей стороны и площадь треугольника, построенного на векторах  и .

Решение

а) Для нахождения модулей векторов  и  воспользуемся свойством скалярного произведения: скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Отсюда имеем:

б) Находим скалярное произведение:

в) Угол между двумя векторами можно найти, используя их скалярное произведение:

Скалярное произведение заданных векторов вычислено в пункте б, а их модули - в пункте а, поэтому получаем

г) Построим на векторах  и  треугольник. Для этого совместим начала векторов  и , а их концы соединим отрезком. Длина полученного отрезка и есть искомая длина l третьей стороны треугольника, и она численно равна модулю вектора , начало которого совпадает с концом вектора , а конец - с концом вектора .

Из определения операции сложения векторов по правилу треугольника имеем

Модуль найденного вектора находим тем же способом, что и модули векторов  и  в пункте а:

Значит, длина третьей стороны треугольника равна 

Площадь S треугольника, построенного на векторах  и , численно равна половине модуля векторного произведения . Имеем:

Таким образом, площадь треугольника равна 

Ответ:

а)  б)  

в)  

г) длина равна  площадь равна 

Пример 2.

Дана точка М - вершина треугольной пирамиды и три вектора , образующие её боковые рёбра. Найдите: а) уравнение плоскости основания пирамиды; б) угол между гранью, образованной векторами , и плоскостью основания; в) угол между ребром, образованным вектором , и плоскостью основания; г) уравнение высоты, опущенной из вершины М на основание; д) объём пирамиды.

Решение

Обозначим оставшиеся три вершины пирамиды - точки . Найдём их координаты, исходя из координат векторов , учитывая, что координаты вектора , заданного начальной точкой  и конечной точкой , вычисляются по формуле:

Отсюда координаты конечной точки вектора равны

Таким образом,

а) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид

где  - координаты этих точек.

Очевидно, что точки  являются вершинами треугольника - основания пирамиды, поэтому плоскость р, проходящая через них, имеет уравнение:

Раскроем определитель:

Отсюда получаем общее уравнение искомой плоскости:

б) Угол между гранями пирамиды численно равен острому углу между плоскостями, которые содержат эти грани. Уравнение плоскости основания получено в пункте а; найдём уравнение плоскости, содержащей грань пирамиды, образованной векторами . Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку  параллельно двум векторам  и , имеет вид

Подставив в это уравнение координаты точки , координаты векторов  и , получим

Таким образом, уравнение плоскости, содержащей заданную грань, имеет вид

или, что равносильно,

Нормальный вектор этой плоскости , а нормальный вектор плоскости основания .

Угол между плоскостями ц численно равен острому углу между их нормальными векторами, который можно найти из их скалярного произведения:

Таким образом,

в) Угол между ребром пирамиды и плоскостью основания численно равен острому углу между прямой, проходящей через вершину пирамиды параллельно вектору, образующему ребро. Найдём каноническое уравнение ребра, образованного вектором , использовав в качестве точки вершину пирамиды :

Угол ш между прямой, заданной каноническим уравнением с направляющим вектором , и плоскостью, заданной общим уравнением  с нормальным вектором , находится по формуле

Направляющим вектором прямой в нашем случае является вектор , а нормальным вектором плоскости основания пирамиды является , поэтому вычисляем

г) Уравнение высоты, опущенной из вершины М на основание, представляет собой каноническое уравнение прямой h, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости р, общее уравнение которой получено в пункте а. Направляющим вектором этой прямой, очевидно, является нормальный вектор плоскости р: . Значит,

д) Объём треугольной пирамиды численно равен одной шестой от модуля смешанного произведения векторов, выходящих из одной вершины и образующих три её ребра. Смешанное произведение трёх векторов в декартовых координатах вычисляется с помощью определителя, в строки которого подставлены их координаты. Значит,

Таким образом, объём равен:

Ответ:

а)  б)  в)  г)  д) 

Пример 3.

Найдите точку M(x,y,z), симметричную точке M₀(1;2;3) относительно прямой

Решение.

Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку M₀ перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть

Решив совместно уравнения L и Р, получим точку N пересечения L с Р: N(5;2;7). Но так как N - середина отрезка M₀M, то

Таким образом, точка М имеет координаты (9;2;11).

Ответ: M(9;2;11).

Пример 4.

Составьте уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки  к расстоянию до прямой  равно . Приведите это уравнение к каноническому виду, определите тип кривой и постройте её.

Решение

Обозначим произвольную точку искомой линии как M(x,y). Тогда по условию получаем, что , где точка Р - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую l.

Находим:

Значит,

Возведя обе части этого соотношения в квадрат и приведя подобные слагаемые, получаем

Это каноническое уравнение эллипса с полуосями  и центром в начале координат. Полученный эллипс изображён на следующем рисунке.

Ответ: 

Пример 5.

Вычислите определитель 5-го порядка методом Гаусса.

Решение

Как известно, определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали. Приведём заданный определитель методом Гаусса к треугольному виду, используя элементарные преобразования строк (умножение всех элементов некоторой строки на одно и то же число и сложение их с соответствующими элементами другой строки).

Из пятой строки вычтем первую строку, а к четвёртой прибавим вторую, умноженную на 2, а затем ко второй добавим первую, умноженную на минус 2:

Ко второй строке добавим третью, умноженную на 9, к четвёртой строке добавим третью, а к пятой - третью, умноженную на 4:

Для упрощения расчётов ко второй строке добавим четвёртую строку, умноженную на 3, а к пятой строке прибавим четвёртую, умноженную на минус 2:

Так как во втором столбце есть нулевые элементы, расположенные выше главной диагонали, поменяем местами вторую и третью строки, а также для удобства расчётов поменяем местами четвёртую и пятую строки (из-за двух подряд перестановок строк определитель не изменится):

Теперь к четвёртой строке прибавим третью строку, а к пятой - третью, умноженную на минус 5:

Для получения определителя треугольного вида остаётся добавить к пятой строке четвёртую, умноженную на 26/18:

Так как определитель имеет треугольный вид, перемножаем элементы, стоящие на главной диагонали:

вектор угол произведение скалярный

Ответ: 60.

Пример 6.

Решите матричное уравнение

Решение

В матричной форме данное уравнение имеет вид AX=B, где

Имеем:

Обратную матрицу A-¹ будем искать методом присоединённой матрицы, для этого составим матрицу из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

Зная алгебраические дополнения к элементам матрицы А, вычислим по теореме Лапласа её определитель, взяв для расчётов, например, вторую строку:

Определитель не равен нулю, значит, обратная матрица существует и равна

Теперь вычисляем неизвестную матрицу Х:

Ответ:

Пример 7.

Образует ли заданное множество векторов с естественными операциями сложения и умножения на число линейное пространство?

Множество всех векторов на плоскости, сумма координат которых равны нулю.

Решение

Вектор на плоскости имеет две координаты: х и у. По условию задачи сумма координат вектора равна нулю, то естьх+у=0. С учётом этого, обозначим любой вектор пространства как , где б - произвольное действительное число.

Для того чтобы пространство было линейным, в нём должны выполняться восемь аксиом. Проверим их выполнение.

1) Коммутативность сложения.

Рассмотрим два произвольных вектора пространства  и , где б, в - действительные числа. Имеем с учётом свойства сложения действительных чисел

Значит, аксиома выполняется.

2) Ассоциативность сложения.

Для трёх произвольных векторов пространства ,  и  аксиома, очевидно, выполняется вследствие коммутативности сложения и свойств действительных чисел:

3) Существование нулевого элемента.

Нулевым элементом пространства, очевидно, является нулевой вектор , так как у него сумма координат равна нулю (вектор принадлежит рассматриваемому пространству) и

4) Существование противоположного элемента.

Противоположным элементом для вектора  является вектор , так как у него сумма координат равна нулю (вектор принадлежит рассматриваемому пространству) и

5) Пусть л₁, л₂ - произвольные действительные числа, а вектор  - произвольный вектор пространства. Тогда

Отсюда следует, что аксиома выполняется.

6) Умножение элемента на единицу.

Аксиома, очевидно, выполняется, так как

7) Дистрибутивность.

Пусть л₁, л₂ - произвольные действительные числа, а вектор  - произвольный вектор пространства. Тогда

Значит, аксиома выполняется.

8) Дистрибутивность.

Пусть л - произвольное действительное число, а  и  - произвольные векторы пространства. Тогда

Таким образом, аксиома выполняется.

Поскольку все восемь аксиом линейного пространства выполняются, то множество всех векторов на плоскости, сумма координат которых равны нулю, образует линейное пространство.

Ответ: заданное множество векторов образует линейное пространство.

Пример 8.

В декартовой прямоугольной системе координат заданы вектор  и плоскость р. Найдите: а) вектор  - проекцию вектора  на плоскость р методами аналитической геометрии; б) матрицу геометрического оператора проецирования произвольного вектора на плоскость р и с её помощью координаты вектора .

Решение

а) Из уравнения заданной плоскости следует, что она проходит через начало координат, поэтому для простоты расчётов совместим начало вектора  с началом координат.

Из рисунка видно, что проекцией вектора  на плоскость р является вектор , начало которого совпадает с началом координат, а конец - с проекцией конечной точки М вектора  на плоскость р, то есть, с точкой М'.

Так как вектор  является радиусом-вектором точки М, то её координаты будут такими же, как и у вектора : . Проведём через эту точку прямую l, перпендикулярную плоскости р, и найдём их точку пересечения:

где в знаменатели подставлены координаты нормального вектора  плоскости, а t - некоторое число.

Перейдём к параметрическим уравнениям прямой l, подставим полученные выражения в уравнение плоскости и найдём параметр t:

Найденное значение параметра t соответствует точке пересечения перпендикулярной прямой l с плоскостью р, поэтому точка М' является проекцией точки М на плоскость р и имеет координаты

Искомый вектор  является радиусом-вектором точки M', поэтому его координаты совпадают с её координатами: .

б) Пусть А - искомый геометрический оператор. Для нахождения его матрицы необходимо применить оператор к базисным векторам исходного пространства, разложить полученные векторы по базису конечного пространства и записать координаты в столбцы матрицы, соблюдая порядок, в котором записаны базисные векторы.

Исходным базисом, очевидно, является декартов ортонормированный базис , конечным базисом - он же, так как при проецировании на плоскость мы работаем в одном и том же пространстве.

Совместим начала всех базисных векторов в начале координат и найдём проекции их конечных точек  на плоскость р, получив радиусы-векторы проекций базисных векторов, - это и будет результатом применения оператора А к базисным векторам . Расчёт будем выполнять по той же схеме, что и в пункте а.

Для базисного вектора  имеем:

Для базисного вектора  получаем:

Наконец, для базисного вектора  имеем:

Записываем матрицу геометрического оператора:

Теперь найдём координаты проекции вектора  на плоскость 

Как видим, полученный вектор совпадает с результатом расчёта методами аналитической геометрии в пункте а.

Ответ: а) ; б) 

Пример 9.

Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса.

Решение

Формулы Крамера имеют вид

где Д_i - определитель, полученный из определителя основной матрицы системы линейных уравнений путём замены i-го столбца на вектор-столбец правых частей, а detА - определитель основной матрицы системы.

Основная матрица системы линейных уравнений имеет вид

Найдём её определитель по теореме Лапласа, разложив его по элементам первой строки:

Значит, система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение.

Вычисляем определители Д_i:

Для вычисления определителей Д₁, Д₂, Д₃ также была применена теорема Лапласа, причём Д₁ вычислен путём разложения по первому столбцу, Д₂ - по третьей строке, а Д₃ - по второй строке.

По формулам Крамера вычисляем:

Решим заданную систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы:

Преобразуем расширенную матрицу так, чтобы она стала трапециевидной, с помощью перестановки строк и умножения элементов какой-либо строки на число и сложения с соответствующими элементами другой строки.

Умножим третью строку на 4 и сложим с первой строкой, а также ко второй строке добавим третью, умноженную на 2.

Разделим первую строку на 7, третью строку на минус 1, и поменяем их местами:

Теперь к первой строке добавим вторую строку, а от третьей строки вычтем вторую:

Получилась трапециевидная матрица. Составим эквивалентную систему уравнений:

Обратным ходом метода Гаусса вычисляем:

Таким образом, 

Ответ: 

Пример 10.

Для заданной системы линейных уравнений проверьте выполнение условий теоремы Кронекера-Капелли. Если система совместна, то найдите её общее решение, укажите размерность и базис пространства решений.

Решение.

Составим расширенную матрицу системы уравнений:

Приведём её к трапециевидному виду методом элементарных преобразований (перестановка строк, умножение элементов какой-либо строки на число и сложение с соответствующими элементами другой строки).

От третьей и от четвёртой строки вычтем вторую строку, а затем от второй строки вычтем первую, умноженную на 3:

Очевидно, что четвёртая строка линейно зависимая от второй, так как при сложении её со второй строкой, умноженной на 3, она станет нулевой. Из третьей строки вычтем первую строку:

Теперь третья строка является линейно зависимой от второй, поэтому она станет нулевой при сложении со второй строкой, умноженной на минус 2. Добавим к первой строке вторую строку, умноженную на 2, и для удобства расчётов умножим её же на минус 1:

Таким образом, преобразуемая матрица приняла трапециевидный вид.

Ранг расширенной матрицы системы равен r=2, так как в ней 2 ненулевые строки.

Преобразованная основная матрица системы имеет вид:

Основная матрица системы имеет две ненулевые строки, значит, её ранг равен 2.

В результате имеем , поэтому, согласно теореме Кронекера-Капелли, система является совместной (имеет решения).

Число переменных равно 5 (n=5), значит, в системе уравнений r=2 зависимых переменных и n-r=5-2=3 независимых переменных.

Эквивалентная система линейных уравнений имеет вид:

Выберем в качестве зависимых переменные x₁ и x₂, что соответствует базисному минору, составленному из элементов на пересечении первых двух строк и первых двух столбцов преобразованной расширенной матрицы. Тогда эквивалентную систему уравнений можно переписать в виде

Замечание. В качестве базисного можно было выбрать и другой ненулевой минор второго порядка, тогда зависимыми были бы другие две переменные.

Так как в эквивалентной системе уравнений все зависимые переменные выражены только через независимые, сформируем вектор общего решения системы:

Согласно теореме о структуре общего решения неоднородной системы линейных уравнений, имеем , где  - некоторое частное решение неоднородной системы линейных уравнений, а  - общее решение соответствующей однородной системы линейных уравнений, порождающее пространство решений.

Заменим в общем решении независимые переменные на произвольные постоянные :

В полученном выражении первый вектор постоянный, а три остальных являются базисом пространства решений, так как они линейно независимы и через них выражается любое решение системы в виде линейной комбинации, сложенной с постоянным вектором. Количество базисных векторов равно трём, значит, размерность пространства решений - три.

Ответ: Размерность пространства решений равна 3; базис:

Размещено на Allbest.ru

...