Применение аналитического метода

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

Глава 1. Общие сведения

1.1 Замкнутая система автоматического управления

1.2 Передаточная функция

1.3 Свойство устойчивости системы

1.4 Управляющее устройство

1.5 Способы соединения функциональных элементов

1.6 Конструирование возможного множества управляющих устройств с недостаточным числом звеньев коррекции

1.7 Критерии оценки качества системы и УУ

1.7.1 Близость динамических систем

1.7.2 Критерий близости действительных передаточных функций к желаемым

1.7.3 Интегральные полулогарифмические функции чувствительности

1.8 Математические модели ограничений

1.8.1 Ограничения на реализуемость

1.8.2 Ограничения на астатизм

1.8.3 Корректность задачи

1.9 Задача многокритериальной оптимизации

1.9.1 Сворачиваемость критериев

1.10 Интегральный критерий оценки качества системы

1.11 Оптимизационная задача

1.12 Индикатор совместимости исходных данных в уравнении Винера-Хопфа

1.13 Решение уравнения Винера-Хопфа

Глава 2. Поиск оптимальной конфигурации структуры УУ

2.1 Постановка задачи

2.2 Алгоритм выбора оптимальной структуры

2.3 Алгоритм конструирования множества УУ в рамках множества структур с недостаточным числом звеньев коррекции

Глава 3. Решение задачи

3.1 Решение задачи для конкретной конфигурации

3.2 Выбор оптимальной системы

Заключение

Список литературы

Приложение



Введение

В современном мире существует большое разнообразие автоматических систем, функционирующих без вмешательства человека и выполняющих управление различными физическими процессами. Данные системы могут состоять из различных устройств, например, электрических, механических, химических и т.д. К автоматическим системам относятся автопилоты, системы самонаведения и следящие системы, регуляторы, автоматы, то есть те, которые в течение времени нужным образом поддерживают или изменяют какие-либо физические величины.

Процессы изучения и управления неотделимы друг от друга, поэтому эффективное управление каким-либо объектом складывается из его исследования и конструирования. Конструирование подразумевает выбор из возможного множества устройств лучшего. Но изготовление множества реальных объектов и дальнейшая оценка является нерациональным(в силу больших сроков создания, временных и финансовых затрат). Поэтому умение конструировать математические модели, адекватные реальным изделиям, позволяет найти среди них такое, которое лучше всего удовлетворяет требованиям технического задания, - причём без его предварительного производства.

Качество системы описывается набором характеристик, влияющих на работу системы, друг на друга и имеющих ограничения. Улучшение одних характеристик может приводить к ухудшению других. Можно выбрать одну наиболее важную характеристику и оптимизировать ее. Однако это может привести к тому, что система будет сконструирована и оценена весьма грубо, так как остальные характеристики выступают ограничениями или не участвуют в решении задачи.

Реальные работоспособные системы невозможно оптимизировать по одному критерию. В силу вышесказанного, задача состоит в поиске оптимального решения с учетом большего числа критериев и ограничений, то есть в многокритериальной оптимизации - перспективной технологии, которая позволяет автоматизировать различные процессы во многих областях техники, науки и экономики. Данный подход заключается в наличии совокупности частных критериев и необходимости минимизировать или максимизировать каждый из них. Для многокритериальной оптимизации используются различные аналитические методы. В данной работе будет рассмотрен метод построения допустимого и парето-оптимального множества значений, а также применение данного метода на практике.

построение множество допустимый значение



Глава 1. Общие сведения

1.1 Замкнутая система автоматического управления

Система управления - совокупность взаимосвязанных элементов, которые обеспечивают заданные характеристики. Каждый элемент рассматривается как звено системы, в котором осуществляется преобразование вход-выход. Часть элементов образуют объект управления (неизменная часть), другая - управляющее устройство (УУ). УУ должно быть сконструировано так, чтобы при заданном объекте управления поставленная цель достигалась.

Характерной особенностью замкнутой системы управления является наличие обратной связи, в следствии чего информация о состоянии объекта управления передается в управляющее устройство. Компактная форма данной системы представлена на рис. 1.1.

1.2 Передаточная функция

Математические модели описываются линейными дифференциальными стационарными уравнениями, которые связывают между собой вход и выход (рис. 1.2):

Передаточная функция представляет собой отношение преобразований Лапласа выходного сигнала к входному сигналу при нулевых начальных условиях:

,

где

1.3 Свойство устойчивости системы

Линейная система устойчива, если она сохраняет состояние равновесия при влиянии внешних воздействий. Если после прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она является неустойчивой. Для нормального функционирования системы управления необходимо, чтобы она была устойчивой, иначе в ней возникают большие ошибки.

Система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексного переменного. Звено системы устойчиво по входу, если степень числителя передаточной функции меньше либо равна степени знаменателя, все корни знаменателя лежат в левой полуплоскости.

Линейная система описывается уравнением - матрица , она устойчива, если . Для устойчивости линейной непрерывной системы необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы A лежали в левой полуплоскости комплексного переменного. Степень устойчивости численно равна минимальному расстоянию от собственных значений матрицы до мнимой оси.

1.4 Управляющее устройство

На рисунке 1.3 показана система управления одномерным объектом с передаточной функцией .

Из рисунка видно, что управляющее устройство двухканальное (два входа и один выход). На один вход подается задающее воздействие , на другой - замеряемый выход объекта управления - управляемая величина, которая должна поддерживать или воспроизводить значения . Т.е. в системе вычисляется разность(ошибка) между желаемым и реальным значениями выходной переменной.

По поступающей входной информации управляющее устройство в соответствии с целью формирует управляющее воздействие , которое с наложенной на него помехой поступает на вход объекта. - передаточные функции управляющего устройства.

1.5 Способы соединения функциональных элементов

Последовательное соединение(рис. 1.4.1)

Таким образом передаточная функция последовательного соединения равна произведению передаточных функций элементов.

Параллельное соединение(рис. 1.4.2)

Соединение с обратной связью

Элемент представляет обратную связь (рис. 1.4.3)

То есть .



1.6 Конструирование возможного множества управляющих устройств с недостаточным числом звеньев коррекции

где - функции, описывающие характер зависимости от .

Множество с недостаточным числом звеньев коррекции включает в себя устройства, в которых число определяемых звеньев меньше числа каналов.

В состав вышеуказанных УУ входят два звена: определяемое звено и звено с единичной передаточной функцией. Рассмотрим возможные конфигурации (табл. 1.4), когда звенья соединены последовательно или параллельно, будут иметь следующий вид:

.

Таблица 1.5

	1
1	, . Таким образом, конфигурации, где , отброшены, так как такие УУ обеспечивают устойчивость системы лишь в частных случаях.		Эквивалентна конфигурации , так как параллельно соединенные звенья могут быть объединены в одно звено.

Количество УУ может быть увеличено, если предположить наличие одной обратной связи в УУ.



1.7 Критерии оценки качества системы и УУ

Под критериями оценки качества системы понимают совокупность постулируемых показателей, позволяющих оценить качество системы. Существует два вида: основные и набор вспомогательных.

Ряд требований к критериям:

должен иметь физический смысл;

соответствовать требованиям из ТЗ;

должны быть достаточно простыми и не быть взаимоисключающими;

форма основного критерия оптимальности должна позволять решить задачу аналитически.

В теории управления существует подход к оценке системы с использованием интегральных критериев качества, когда сравниваются действительные и желаемые операторы.

1.7.1 Близость динамических систем

Будем считать, что две системы эквивалентны, если

,

- импульсные переходные функции.

Исходя из вышенаписанного, примем, что две динамические системы близки, если , где - заранее оговоренного число. Это эквивалентно следующему:

Вспомнив равенство Парсеваля

запишем критерий близости двух систем:

1.7.2 Критерий близости действительных передаточных функций к желаемым

,

где

Системы должна на своем выходе воспроизводить не само воздействие, а некоторые его составляющие, то есть некоторые функции, связанные с регуляторной и случайной составляющими:

Желаемые операторы воспроизведения помехи выбирают равными нулю:

Оценки близости имеют следующий вид:



- относительно задающего воздействия;

- относительно помехи;

.

1.7.3 Интегральные полулогарифмические функции чувствительности

где - передаточная функция относительно задающего воздействия; а Н - относительно помехи ; - передаточная функция i-го объекта.

Интегральные полулогарифмические функции чувствительности характеризуют изменение передаточной функции всей системы в зависимости от относительного изменения передаточной функции ее составной части. То есть: , где - изменение передаточной функции всей системы; - относительное изменение передаточной функции её составной части[3].

1.8 Математические модели ограничений

Будем рассматривать задачу конструирования исходя из критериев близости действительных и желаемых передаточных функций(раздел 1.7.2).

Введем базовые передаточные функции:

.

Тогда искомые передаточные функции будут иметь следующий вид:

а эквивалентная исходной (рис.1.3) структурная схема приведена на рис.1.7

Тогда критерий близости запишется так:

Математическая модель ограничений:

должна отражать сущность ограничения;

должна не усложнять алгоритм решения задачи, т.е. быть относительно простой;

ограничения и критерии не должны быть взаимоисключающими;

Решаемая задача должна сводиться к классической вариационной задаче при заданных ограничениях.

1.8.1 Ограничения на реализуемость

Передаточная функция объекта имеет степень числителя ниже степени знаменателя, а передаточная функция УУ и звеньев коррекции может иметь равные степени числителя и знаменателя.

Введем обозначения:

Из (1.7) и (1.7.1) следует, что для реализуемости УУ в передаточных функциях должны выполняться ограничения:

,

где - степени полиномов.

В силу того, что ограничения накладываются на те же функции, которые входят в функционал, перепишем их в изопериметрической форме:

, где .

Интеграл сходится, если:

степень числителя меньше степени знаменателя;

корни знаменателя не на мнимой оси.

Т.е. .

, где .

Аналогично предыдущему получаем .

Т.е из сходимости данных интегралов получаем выполнимость ограничений (1.7.2), следовательно, для реализуемости УУ необходимо:



А значения интегралов характеризуют качество переходного процесса.

1.8.2 Ограничения на астатизм

Система обладает астатизмом порядка , если между ее действительным выходом и желаемым выполняется соотношение:

при изменении входа по такому закону[3]:

.

Перепишем соотношение (1.7.4) относительно задающего воздействия при условии, что :

Это соотношение выполнимо, если в числителе будет нулевых корней:

.

При этом - дробно-рациональная функция, не имеющая нулевых корней в знаменателе:

.

Тогда:

Если, интеграл (1.7.5) сходится, то система обладает астатизмом порядка относительно задающего воздейтсвия[3].

Аналогично запишем ограничения относительно помехи ():

Стоит отметить, что если интегралы (1.7.5) и (1.7.6) сходятся при , то они должны сходиться и при меньших значениях :

Соотношения (1.7.7) - квадратичные интегральные оценки качества разности желаемого и действительного переходных процессов при подаче на вход операторов воздействий .

1.8.3 Корректность задачи

Если по условию задачи система обладает астатизмом, то интегралы (1.7.7) будут входить в обобщенный критерий качества. Данные интегралы будут расходиться, если хотя бы один полюс расположен на мнимой оси, в том числе в начале координат. Этого можно избежать, если функции будут иметь в числителе необходимое число нулевых корней.

Рассмотрим второй интеграл, для его сходимости i-1 коэффициентов при младших степенях у должны тождественно совпадать:

Таким образом, в числителе будет необходимое количество нулей в начале координат равное i, которые сократятся с полюсами в интеграле, следовательно, интеграл будет сходится. Если при расчетах данные коэффициенты будут совпадать приближенно, необходимо вручную сделать тождественные равенства.

1.9 Задача многокритериальной оптимизации

В общей форме задача многокритериальной оптимизация запишется следующим образом:

То есть на некотором допустимом множестве Х минимизируются (либо максимизируются) целевые функции от векторного переменного . Задача состоит в поиске целевых переменных, удовлетворяющих наложенным ограничениям и оптимизирующих функцию, элементы которой соответствуют целевым функциям. Главная сложность заключается в неоднозначности оптимального решения, то есть в точке, где один критерий достигает своего минимума, другой - может быть далек от минимума или даже от какой-либо приемлемой величины.

1.9.1 Сворачиваемость критериев

Рассмотри наиболее простые способы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной:

Линейная свертка

где - некоторое положительное число, назначаемое экспертом; - значение j-го показателя качества k-го изделия.

Близость к идеальному

где - значение j-го показателя качества идеального элемента.

Метод последовательных уступок

Предположим, что критерии качества упорядочены по значимости.

Введем пороговые значения для каждого показателя - наибольшее допустимое значение m-го показателя. Если у изделия а m-тый критерий качества , то это изделие не может быть оптимальным.

Определим изделие с минимальным значением первого критерия . Назначим уступку , смысл которой заключается в следующем: если значение первого критерия для какого-либо изделия отличается от не более чем на , то данное изделие равноправно с и для определения оптимального следует оценивать следующие по важности критерии. Если множество пусто, то изделие оптимальное. В противном случае в множестве находим оптимальное изделие по второму критерию, назначаем уступку и повторяем описанное выше, пока не найдем оптимальное изделие.

Степень удаленности k-го элемента от других элементов



где - некоторые положительные нормированные числа, назначаемые экспертом.

1.10 Интегральный критерий оценки качества системы

Обобщенный критерий оценки качества системы представляет собой линейную комбинацию оценок близости (раздел 1.7.2) и ограничений (на астатизм и реализуемость):

где - весовые коэффициенты. Стоит отметить, что вопрос назначения весовых коэффициентов весьма сложен, поэтому в данной работе мы не будем анализировать эту проблему, а будем опираться на опыт предыдущих работ.

Первое слагаемое в обоих функционалах характеризует качество системы в установившемся режиме относительно случайных воздействий. Остальные - качество системы в переходном режиме относительно регулярных воздействий.

1.11 Оптимизационная задача

Все функционалы сводятся к одному общему виду:

Задача состоит в отыскании с полюсами только в левой полуплоскости комплексного переменного, доставляющей минимум :

Величина только увеличится, если мы подставим вместо близкую ей функцию . Где - любая дробно-рациональная функция с полюсами в левой полуплоскости. При получим .

Раскроем скобки:

При этом были введены обозначений:



учтено, что

- четная функций

равенство Парсеваля

Найдем минимум функционала (1.9.1) по параметру :

Таким образом получили необходимое и достаточное условие оптимальности системы:

имеет корни в правой полуплоскости, следовательно, и должен иметь все корни в правой полуплоскости.

Получили уравнение Винера-Хопфа:

имеет корни в левой полуплоскости.

1.12 Индикатор совместимости исходных данных в уравнении Винера-Хопфа

Ранее было показано, что уравнение Винера-Хопфа (1.9.2) следует из минимума функционала качества. Бывают случаи, когда исходные данные такие, что нет решений, обеспечивающих конечность функционала и, как следствие, оптимума.

Индикатор совместимости позволяет определить по исходным данным существует ли решение, доставляющее экстремум функционалу.

При этом учтено, что первое слагаемое есть положительное и четная функция.

То есть исходные данные должны удовлетворять условию:

(Интеграл сходится, если степень числителя < степени знаменателя, отсутствуют полюсы на мнимой оси)

1.13 Решение уравнения Винера-Хопфа

Уравнение (1.9.2) с двумя неизвестными . Алгоритм решения:

Факторизация:

имеет полюсы и нули левой полуплоскости, - в правой.

Таким образом,



Сепарация:

Разложили на простые дроби, первая часть имеет полюса в левой, а вторая - в правой полуплоскости.

Получим следующий вид уравнения:



Глава 2. Поиск оптимальной конфигурации структуры УУ

2.1 Постановка задачи

Из множества структур с недостаточным числом звеньев коррекции при заданных условиях функционирования системы выбрать оптимальную.

Объект управления имеет следующую передаточную функцию:

Желаемые передаточные функции относительно задающего воздействия, относительно помехи, наложенной на управление

Относительно задающего воздействия и помехи система должна обладать астатизмом второго порядка. Конфигурации структур УУ заданы в таблице 2.1.

Таблица 2.1

2.2 Алгоритм выбора оптимальной структуры

Таким образом, в реальности задача поиска оптимального изделия сводится к следующему алгоритму:

конструирование множества возможных изделий (удовлетворяющих замыслу конструктора);

оценки качества сгенерированных математических моделей;

формирование допустимого множества из возможного множества изделий (удовлетворяющих техническому заданию, то есть ограничениям);

отбор парето-оптимальных изделий из множества допустимых;

выбор предпочтительных изделий.

Положим, что лучшим считается изделие с меньшими показателями качества. Тогда получение парето-оптимального множества базируется на следующем: решение будет оптимальным, если не существует такого , что причем хотя бы для одного i решение выполняется в строгой форме, то есть если нельзя улучшить решение хотя бы по одному критерию, не ухудшив его по остальным.

Далее встает вопрос окончательного выбора небольшого количества или одного элемента из парето-оптимального множества. Зачастую данный этап происходит при участии некоего эксперта, который может предоставить дополнительную информацию в виде весовых коэффициентов, условий предпочтения, способов сравнительной оценки и так далее.

Наиболее простые способы сравнительной оценки элементов парето-оптимального множества рассмотрены в разделе 1.9.1.

2.3 Алгоритм конструирования множества УУ в рамках множества структур с недостаточным числом звеньев коррекции

Для каждой структуры из таблицы необходимо сделать следующие шаги:

Построение структуры УУ по мат. модели, проверка адекватности.

Построение структурной схемы системы в составе объект управления + управляющее устройство.

Нахождение ограничений на реализуемость звена коррекции.

Построение эквивалентной структурной схемы системы.

Конструирование функционала.

Проверка функционала на совместимость исходных данных.

В случае несовместимости исходных данных корректировка функционала.

Запись и решение уравнения Винера-Хопфа.

Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа.

Нахождение численного значения передаточной функции звена коррекции.

C помощью входящего в состав Matlab инструмента Simulink строим систему и переходные процессы в ней относительно задающего воздействия и помехи .

Нахождение степени устойчивости системы.

Нахождение численных значений интегральных полулогарифмических функций чувствительности системы.

Нахождение численных значений составных частей входящих в функционал.

Построение таблицы с оценками качества сконструированной системы управления.

После того, как вышеприведенный алгоритм будет проделан для каждого варианта из таблицы 2, объединим все оценки в одну таблицу.



Глава 3. Решение задачи

Рассмотрим решение седьмого варианта таблицы 2.1, краткое решение остальных вариантов приведено в Приложении А. Расчеты были проведены с использованием математического пакета Derive, для моделирования систем использовался инженерный пакет MATLAB и входящей в его состав комплекс Simulink.

3.1 Решение задачи для конкретной конфигурации

1. Структура управляющего устройства.

2. Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход

Вход Y :

3. Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

4. Ограничения на реализуемость звена коррекции .



Из реализуемости (степень числителя равна степени знаменателя) следует реализуемость звена коррекции .

5. Эквивалентная структурная схема системы.

(Базовые передаточные функции: )

Найдем :

Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

6. Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал.

Свойство астатизма 2-го порядка относительно задающего воздействия и помехи (раздел 1.8.2):

Относительно желаемое :

Относительно желаемое :



Реализуемость передаточной функции (раздел 1.8.1):

Таким образом получили функционал состоящий из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты:

Проверим, следует ли из выполнимости условия на астатизм по задающему воздействию, выполнимость этого условия и относительно помехи.

Если система обладала астатизмом второго порядка по задающему воздействию, то выполняется соотношение: . Требуется показать, что система обладает астатизмом второго порядка по помехе, то есть H имеет следующий вид: .

Таким образом, из выполнимости условия на астатизм по задающему воздействию, следует выполнимость этого условия и относительно помехи

7. Проверка на совместимость исходных данных.

Проверим совместимость исходных данных с помощью индикатора (раздел 1.12)

Нет корней на мнимой оси, степень числителя меньше степени знаменателя, то есть интеграл сходится, следовательно, несовместимых составляющих нет.

8. Решение уравнения Винера-Хопфа

На основании составленного функционала запишем уравнение. Для чего используем уже посчитанные в предыдущем пункте :

Его решение обеспечивает минимум нашего функционала и может быть найдено следующим образом (раздел 1.13):

9. Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа

Посчитаем :

Условия для сходимости интеграла :

=> необходимо чтобы разность L-R имела 2 корня.



Т.е. условия на коэффициенты выполняются в данном варианте, следовательно, решение верное.

10. Определение звена коррекции.

11. Построение системы и переходных процессов в системе SIMULINK

Относительно задающего воздействия

Воздействие

Воздействие

Относительно помехи

Помеха

Помеха

12. Вычисление оценок

Прежде чем приступить к вычислению оценок, проведем корректировку значений (раздел 1.8.3):

Степень устойчивости:

Составные части функционала качества:

Интегральные полулогарифмические функции чувствительности:

13. Оценки качества сконструированной системы управления.

Таблица 3.13

Характеристики системы
	0.1399
	3.4930
	200.8567
	0.05353
	3.9451
Степень устойчивости	0.5461

3.2 Выбор оптимальной системы

В ходе решения был получен набор изделий, результаты расчетов по десяти вариантам из табл. 2.1 сведены в табл. 3.2. Проведем анализ полученных результатов. Возникает задача выбора оптимального изделия из сконструированных, для этого обратимся к приведенному алгоритму раздела 2.2.

Формирование допустимого множества.

В техническом задании требуется выполнение следующего условия: относительно задающего воздействия и помехи система должна обладать астатизмом второго порядка. Из этого следует, что допустимыми будут конфигурации под номерами 4, 7, 8, 9, 10.

Отбор парето-оптимального множества изделий.

Как и раньше будем считает изделие оптимальным с меньшими показателями качества. Определение паретовского множества приведено в разделе 2.2. Сформулируем алгоритм выбора из допустимого множества парето-оптимального. Помечается любое изделие из множества допустимых, его характеристики сравниваются с характеристиками всех других изделий. Исключаются те изделий, каждая характеристика которых хуже, чем у помеченного, а также те изделия, некоторые характеристики которых совпадают с помеченным, но по другим оно хуже. Затем помечается другое изделие и проводится вышеописанные действия. В итоге останутся только помеченные изделия, которые будут составлять парето-оптимальное множество.

При рассмотрении основных критериев по приведенному выше алгоритму получаем, что все конфигурации из допустимого множества являются парето-оптимальными.

Выбор предпочтительных изделий.

Для выбора предпочтительных изделий свернем частные критерии в один с помощью линейной свертки. Минимальная сумма характеристик у конфигурации под номером 9, то есть это и есть оптимальная структура.

Таблица 3.2

№ Характеристики системы	1	2	3	4	5
	(j=0)	(j=0)	(j=0)	(j=2)	(j=0)
основные		0.1740	0.0822	0.2584	0.1399	0.2983
		0.7197	0.2640	0.5617	0.0196	0.3253
		0.1473	0.0746	0.3370	0.1297	0.2625
вспомогательные		9.4938	5.7125	10.6822	3.4930	7.5148
		196.1157	113.3247	39.9657	200.8567	56.1401
		7.5790	0.8707	0.2080	0.0535	1.3311
		4.9413	0.3107	0.0690	3.9451	9.9940
	Степень устойчивости	0.3862	0.6402	0.9252	0.5461	0.4017
	Выполнимость условия астатизма по помехе	нет	нет	нет	да	нет
6	7	8	9	10	№ Характеристики системы
(j=0)	(j=2)	(j=2)	(j=2)	(j=2)
0.0863	0.1399	0.1588	0.1588	0.1835		основные
0.0203	0.0196	0.0130	0.0130	0.0095
0.0746	0.1297	0.1418	0.1418	0.1537
2.1628	3.4930	3.4433	2.8565	3.4375		вспомогательные
99.8357	200.8567	3.4433	2.2802	3.2056
0.0122	0.0535	0.0636	0.0445	0.0744
0.2959	3.9451	0.0683	0.0395	0.0695
1.0000	0.5461	1.0700	1.0700	1.0000	Степень устойчивости
нет	да	да	да	да	Выполнимость условия астатизма по помехе



Заключение

В рамках данной работы была проанализирована проблематика задачи многокритериальной оптимизации систем управления в пространстве операторов в классе структур с недостаточным числом звеньев коррекции. Собраны и систематизированы необходимые для решения задачи теоретические сведения, которые подкрепляют представленный алгоритм конструирования управляющего устройства, приведены критерии, которые позволяют получить устройства с требуемым набором характеристик (например, минимизировать реакцию системы на внешнее возмущающее воздействие). Рассмотрена последовательность решения задачи выбора оптимальной структуры.

Разобрано решение десяти вариантов задач с различными конфигурациями структур УУ, что позволяет получить наглядное представление об использовании алгоритма конструирования УУ.

В результате сравнения множества конфигураций структур устройств, была найдена оптимальная структура из множества структур с недостаточным числом звеньев коррекции. А также было выявлено, что существуют структуры, показатели качества которых превосходят классическую структуру . Структуры и превосходят по совокупности основных и вспомогательных критериев.



Список литературы

1. Бесекерский В. А., Попов Е. Л. Теория систем автоматического управления. - СПб, Изд-во «Профессия», 2003

2. Дорф. Р, Бишоп Р. Пер. с англ. Копылова Б.И. Современные системы управления. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 832 с.

3. Зотов М.Г. Многокритериальное конструирование систем автоматического управления. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. - 375 с., ил.

4. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Учеб. пособие - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 616 с.

5. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. -- М.: Радио и связь, 1992. -- С. 504.

6. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 202. - 303 с.



Приложение А

Вариант 1.

1.1 Структура управляющего устройства.

1.2 Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход

Вход Y :

1.3 Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

1.4 Ограничения на реализуемость звена коррекции

Таким образом, из реализуемости .

1.5 Эквивалентная структурная схема системы.

Найдем :

Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

1.6 Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал, который состоит из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты: первая часть отвечает за свойство астатизма относительно задающего воздействия, вторая - астатизм по помехе, третья - реализуемость передаточной функции:

1.7 Проверка на совместимость исходных данных.

Проверим совместимость исходных данных с помощью индикатора:

Как видно, интеграл не сходится, так как в знаменателе 4 нулевых корня, следовательно, есть несовместимые составляющие.

1.8 Корректировка исходного функционала.

Уберем наложенное свойство астатизма второго порядка относительно помехи, потому что астатизм относительно задающего воздействия гораздо сильнее.

Теперь интеграл показывает степень инвариантности относительно помехи. Проверим совместимость модифицированных данных с помощью индикатора:

Нет корней на мнимой оси, степень числителя меньше степени знаменателя - значит индикатор сходится. О правильности проведенных модификаций мы сможем судить после того как найдем .

1.9 Решение уравнения Винера-Хопфа.

На основании функционала составим уравнение. Для чего используем уже посчитанные в предыдущем пункте :

Его решение обеспечивает минимум нашего функционала и может быть найдено следующим образом:

1.10 Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа.

Условия для сходимости интеграла :

=> необходимо чтобы разность L-R имела 2 корня.

Т.е. условия на коэффициенты выполняются.

1.11 Определение звена коррекции.

1.12 Построение системы и переходных процессов в системе Simulink.

Воздействие

Воздействие

Помеха

Помеха

1.13 Оценки качества сконструированной системы управления.

Характеристики системы
	0.1740955234
	0.7197005940
	0.1473232292
	9.493889048
	196.1157042
	7.579021715
	4.941317128
Степень устойчивости	0.3862666790

Вариант 2.

2.1 Структура управляющего устройства.

2.2 Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход

Вход Y :



2.3 Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

2.4 Ограничения на реализуемость звена коррекции

Таким образом, из реализуемости .

2.5 Эквивалентная структурная схема системы.

Найдем :

Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

2.6 Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал, который состоит из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты: первая часть отвечает за свойство астатизма относительно задающего воздействия, вторая - астатизм по помехе, третья - реализуемость передаточной функции:



2.7 Проверка на совместимость исходных данных.

Проверим совместимость исходных данных с помощью индикатора:

Как видно, интеграл не сходится, так как в знаменателе 4 нулевых корня, следовательно, есть несовместимые составляющие.

2.8 Корректировка исходного функционала.

Уберем наложенное свойство астатизма второго порядка относительно помехи, потому что астатизм относительно задающего воздействия гораздо сильнее.

Теперь интеграл показывает степень инвариантности относительно помехи. Проверим совместимость модифицированных данных с помощью индикатора:

Нет корней на мнимой оси, степень числителя меньше степени знаменателя - значит индикатор сходится. О правильности проведенных модификаций мы сможем судить после того как найдем .

2.9 Решение уравнения Винера-Хопфа.

На основании функционала составим уравнение. Для чего используем уже посчитанные в предыдущем пункте :

Его решение обеспечивает минимум нашего функционала и может быть найдено следующим образом:

2.10 Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа.

Условия для сходимости интеграла :

=> необходимо чтобы разность L-R имела 2 корня.

Т.е. условия на коэффициенты выполняются.

2.11 Определение звена коррекции.

2.12 Построение системы и переходных процессов в системе Simulink.

Воздействие

Воздействие

Помеха

Помеха

2.13 Оценки качества сконструированной системы управления.

Характеристики системы
	0.08225943494
	0.2640575018
	0.07461600545
	5.712576863
	113.3247422
	0.8707139019
	0.3107384379
Степень устойчивости	0.6402747811

Вариант 3.

3.1 Структура управляющего устройства.

3.2 Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход

Вход Y :

3.3 Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

3.4 Ограничения на реализуемость звена коррекции

Таким образом, из реализуемости .

3.5 Эквивалентная структурная схема системы.

Найдем :



Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

3.6 Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал, который состоит из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты: первая часть отвечает за свойство астатизма относительно задающего воздействия, вторая - астатизм по помехе, третья - реализуемость передаточной функции:

3.7 Проверка на совместимость исходных данных.

Проверим совместимость исходных данных с помощью индикатора:

Как видно, интеграл не сходится, так как в знаменателе 4 нулевых корня, следовательно, есть несовместимые составляющие.

3.8 Корректировка исходного функционала.

Уберем наложенное свойство астатизма второго порядка относительно помехи, потому что астатизм относительно задающего воздействия гораздо сильнее.

Теперь интеграл показывает степень инвариантности относительно помехи. Проверим совместимость модифицированных данных с помощью индикатора:

Нет корней на мнимой оси, степень числителя меньше степени знаменателя - значит индикатор сходится. О правильности проведенных модификаций мы сможем судить после того как найдем .

3.9 Решение уравнения Винера-Хопфа.

На основании функционала составим уравнение. Для чего используем уже посчитанные в предыдущем пункте :



Его решение обеспечивает минимум нашего функционала и может быть найдено следующим образом:

3.10 Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа.

Условия для сходимости интеграла :

=> необходимо чтобы разность L-R имела 2 корня.

Т.е. условия на коэффициенты выполняются.

3.11 Определение звена коррекции.

3.12 Построение системы и переходных процессов в системе Simulink.

Воздействие

Воздействие

Помеха

Помеха

3.13 Оценки качества сконструированной системы управления.

Характеристики системы
	0.2584930169
	0.5617221658
	0.3370918635
	10.68229748
	39.9657712
	0.2080319049
	0.0690791967
Степень устойчивости	0.9252632022

Вариант 4.

4.1 Структура управляющего устройства.

4.2 Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход

Вход Y :

4.3 Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

4.4 Ограничения на реализуемость звена коррекции



Таким образом, из реализуемости .

4.5 Эквивалентная структурная схема системы.

Найдем :

Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

4.6 Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал, который состоит из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты: первая часть отвечает за свойство астатизма относительно задающего воздействия, вторая - астатизм по помехе, третья - реализуемость передаточной функции:

4.7 Проверка на совместимость исходных данных.

Проверим совместимость исходных данных с помощью индикатора:

Нет корней на мнимой оси, степень числителя меньше степени знаменателя - значит индикатор сходится, следовательно, нет несовместимых составляющих.

4.8 Решение уравнения Винера-Хопфа.

На основании функционала составим уравнение. Для чего используем уже посчитанные в предыдущем пункте :

Его решение обеспечивает минимум нашего функционала и может быть найдено следующим образом:

4.9 Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа.

Условия для сходимости интеграла :

=> необходимо чтобы разность L-R имела 2 корня.

Т.е. условия на коэффициенты выполняются.

4.10 Определение звена коррекции.

4.11 Построение системы и переходных процессов в системе Simulink.

Воздействие

Воздействие

Помеха

Помеха

4.12 Оценки качества сконструированной системы управления.

Характеристики системы
	0.1399342286
	0.01968708321
	0.1297795588
	3.493075852
	200.8567819
	0.05353259552
	3.945103103
Степень устойчивости	0.5461966893

Вариант 5.

5.1 Структура управляющего устройства.

5.2 Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход

Вход Y :

5.3 Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

5.4 Ограничения на реализуемость звена коррекции



Таким образом, из реализуемости .

5.5 Эквивалентная структурная схема системы.

Найдем :

Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

5.6 Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал, который состоит из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты: первая часть отвечает за свойство астатизма относительно задающего воздействия, вторая - астатизм по помехе, третья - реализуемость передаточной функции:

5.7 Проверка на совместимость исходных данных.

Проверим совместимость исходных данных с помощью индикатора:

Как видно, интеграл не сходится, так как в знаменателе 4 нулевых корня, следовательно, есть несовместимые составляющие.

5.8 Корректировка исходного функционала.

Уберем наложенное свойство астатизма второго порядка относительно помехи, потому что астатизм относительно задающего воздействия гораздо сильнее.

Теперь интеграл показывает степень инвариантности относительно помехи. Проверим совместимость модифицированных данных с помощью индикатора:

Нет корней на мнимой оси, степень числителя меньше степени знаменателя - значит индикатор сходится. О правильности проведенных модификаций мы сможем судить после того как найдем .

5.9 Решение уравнения Винера-Хопфа.

На основании функционала составим уравнение. Для чего используем уже посчитанные в предыдущем пункте :

Его решение обеспечивает минимум нашего функционала и может быть найдено следующим образом:

5.10 Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа.

Условия для сходимости интеграла :

=> необходимо чтобы разность L-R имела 2 корня.

Т.е. условия на коэффициенты выполняются.

5.11 Определение звена коррекции.

5.12 Построение системы и переходных процессов в системе Simulink.

Воздействие

Воздействие

Помеха

Помеха

5.13 Оценки качества сконструированной системы управления.

Характеристики системы
	0.2983014179
	0.3253965058
	0.2625994045
	7.514886708
	56.14010450
	1.331136039
	9.994089983
Степень устойчивости	0.4017250644

Вариант 6.

6.1 Структура управляющего устройства.

6.2 Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход

Вход Y :



6.3 Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

6.4 Ограничения на реализуемость звена коррекции

Таким образом, из реализуемости .

6.5 Эквивалентная структурная схема системы.

Найдем :

Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

6.6 Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал, который состоит из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты: первая часть отвечает за свойство астатизма относительно задающего воздействия, вторая - астатизм по помехе, третья - реализуемость передаточной функции:

6.7 Проверка на совместимость исходных данных.

Проверим совместимость исходных данных с помощью индикатора:

Как видно, интеграл не сходится, так как в знаменателе 4 нулевых корня, следовательно, есть несовместимые составляющие.

6.8 Корректировка исходного функционала.

Уберем наложенное свойство астатизма второго порядка относительно помехи, потому что астатизм относительно задающего воздействия гораздо сильнее.

Теперь интеграл показывает степень инвариантности относительно помехи. Проверим совместимость модифицированных данных с помощью индикатора:

6.9 Решение уравнения Винера-Хопфа.

В результате решения уравнения Винера-Хопфа получили следующее:

6.10 Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа.

Условия для сходимости интеграла выполняются.

6.11 Определение звена коррекции.

6.12 Построение системы и переходных процессов в системе Simulink.

Воздействие

Воздействие

Помеха

Помеха

6.13 Оценки качества сконструированной системы управления

Характеристики системы
	0.08630669739
	2.162864658
	99.83571147
	0.01220432816
	0.2959502695
Степень устойчивости	1

Вариант 8.

8.1 Структура управляющего устройства.

8.2. Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход

Вход Y :

8.3 Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

8.4 Ограничения на реализуемость звена коррекции



Таким образом, из реализуемости .

8.5 Эквивалентная структурная схема системы.

Найдем :

Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

8.6 Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал, который состоит из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты: первая часть отвечает за свойство астатизма относительно задающего воздействия, вторая - астатизм по помехе, третья - реализуемость передаточной функции:

8.7 Проверка на совместимость исходных данных.

Проверим совместимость исходных данных с помощью индикатора:

Интеграл сходится, следовательно, несовместимых составляющих нет.

Проверим, следует ли из выполнимости условия на астатизм по задающему воздействию, выполнимость этого условия и относительно помехи.

Если система обладала астатизмом второго порядка по задающему воздействию, то выполняется соотношение: . Требуется показать, что система обладает астатизмом второго порядка по помехе, то есть H имеет следующий вид: .

Таким образом, из выполнимости условия на астатизм по задающему воздействию, следует выполнимость этого условия и относительно помехи.

8.8 Решение уравнения Винера-Хопфа.

В результате решения уравнения Винера-Хопфа получили следующее:

8.9 Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа.

Условия для сходимости интеграла выполняются.

8.10 Определение звена коррекции.

8.11 Построение системы и переходных процессов в системе Simulink.

Воздействие

Воздействие

Помеха

Помеха

8.12 Оценки качества сконструированной системы управления

Характеристики системы
	0.1588
	0.0130
	0.1418
	3.4433
	3.4433
	0.0636
	0.0683
Степень устойчивости	1.0700

Вариант 9.

9.1 Структура управляющего устройства.

9.2 Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход

Вход Y :

9.3 Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

9.4 Ограничения на реализуемость звена коррекции

Таким образом, из реализуемости .

9.5 Эквивалентная структурная схема системы.

Найдем :



Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

9.6 Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал, который состоит из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты: первая часть отвечает за свойство астатизма относительно задающего воздействия, вторая - астатизм по помехе, третья - реализуемость передаточной функции:

9.7 Проверка на совместимость исходных данных.

Проверим совместимость исходных данных с помощью индикатора:

Интеграл сходится, следовательно, несовместимых составляющих нет.

Проверим, следует ли из выполнимости условия на астатизм по задающему воздействию, выполнимость этого условия и относительно помехи.

Если система обладала астатизмом второго порядка по задающему воздействию, то выполняется соотношение: . Требуется показать, что система обладает астатизмом второго порядка по помехе, то есть H имеет следующий вид: .

Таким образом, из выполнимости условия на астатизм по задающему воздействию, следует выполнимость этого условия и относительно помехи.

9.8 Решение уравнения Винера-Хопфа.

В результате решения уравнения Винера-Хопфа получили следующее:

9.9 Проверка правильности решения уравнения Винера-Хопфа.

Условия для сходимости интеграла выполняются.

9.10 Определение звена коррекции.

9.11 Построение системы и переходных процессов в системе Simulink.

Воздействие

Воздействие

Помеха

Помеха

9.12 Оценки качества сконструированной системы управления

Характеристики системы
	0.1588
	0.0130
	0.1418
	2.8565
	2.2802
	0.0445
	0.0395
Степень устойчивости	1.0700

Вариант 10.

10.1 Структура управляющего устройства.

10.2. Проверка адекватности структуры управляющего устройства его математической модели.

Вход



Вход Y :

10.3 Структурная схема системы в составе объект управления + управляющее устройство.

10.4 Ограничения на реализуемость звена коррекции

Таким образом, из реализуемости .

10.5 Эквивалентная структурная схема системы.

Найдем :

Т.е. эквивалентная структурна схема имеет следующий вид:

10.6 Построение функционала.

По постановке задачи с использованием эквивалентной структурной схемы сконструируем функционал, который состоит из трех частей, помноженных на весовые коэффициенты: первая часть отвечает за свойство астатизма относительно задающего воздействия, вторая - астатизм по помехе, третья - реализуемость передаточной функции:



10....