Крайові задачі для нерівномірно параболічних та еліптичних рівнянь з виродженнями і особливостями

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ НЕРІВНОМІРНО ПАРАБОЛІЧНИХ ТА ЕЛІПТИЧНИХ РІВНЯНЬ З ВИРОДЖЕННЯМИ І ОСОБЛИВОСТЯМИ

ПУКАЛЬСЬКИЙ Іван Дмитрович

УДК 517.956

01.01.02 - диференціальні рівняння

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, Міністерство освіти і науки України.

Науковий консультант - доктор фізико-математичних наук, професор

Матійчук Михайло Іванович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Пташник Богдан Йосипович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С.Підстригача НАН України, завідувач відділу математичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, професор

Житарашу Микола Васильович,

Молдавський державний університет, завідувач кафедри математичного аналізу і диференціальних рівнянь;

доктор фізико-математичних наук, професор

Михайлець Володимир Андрійович,

Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу нелінійного аналізу.

Провідна установа - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, відділ нелінійного аналізу (м.Донецьк).

Захист відбудеться „25” квітня 2006 р. о 15 год., на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 м. Київ, вул. Терещенківська, 3,

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту математики НАН України, 01601 м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий „22” березня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У теорії крайових задач для рівномірно параболічних та еліптичних рівнянь і систем рівнянь на теперішній час одержані досить повні результати з питань коректної розв'язності, інтегрального зображення розв'язків, вивчення їхніх властивостей. Значно менше вивчено крайові задачі для параболічних та еліптичних рівнянь з різними особливостями, наприклад, коли порушується умова рівномірної параболічності чи еліптичності, або коефіцієнти рівнянь є необмеженими на деякій множині точок.

Фундаментальні результати у теорії крайових задач для рівнянь із частинними похідними, які мають особливості, одержані М.В.Келдишом, М.М.Смирновим, А.В.Біцадзе, Ф.Трікомі, Г.Фікерою, С.М.Нікольським, О.А.Олійник, О.А.Ладиженською, Н.М.Уральцевою, Л.Г.Михайловим, С.Д.Ейдельманом, С.Д.Івасишеним, Л.І.Каминіним, Б.Н.Хімченко, М.І.Матійчуком, М.В.Житарашу, С.М.Кружковим та іншими вітчизняними й зарубіжними математиками.

Параболічні рівняння з виродженнями за часовою змінною досліджувалися А.С.Калашніковим, В.П.Глушком, А.В.Глушаком, А.А.Керефовим, Я.І.Житомирським, Ф.О.Порпером та іншими математиками. Параболічні системи з виродженням на початковій гіперплощині вивчалися у працях С.Д.Івасишена та його учнів. Дослідженню задачі Коші та крайових задач для рівнянь і систем параболічного типу, коефіцієнти яких мають степеневі особливості певного порядку, присвячено праці С.Д.Ейдельмана, М.І.Матійчука, Б.В.Базалія та інших математиків.

Вивчення властивостей розв'язності крайових задач для еліптичних рівнянь, коефіцієнти яких мають степеневі особливості певного порядку, проводилося Я.А.Ройтбергом, А.М.Ільїним, А.І.Ачильдієвим, М.І.Вішиком, Г.М.Жисліним, І.А.Кіпріяновим, С.А.Плаксою, М.Турсуновим та іншими математиками.

Задачам з нерівностями та нелокальним крайовим задачам присвячено праці Ж.Л.Ліонса, Г.Дюво, О.А.Панкова, С.П.Лавренюка, В.М.Борок, Б.Й.Пташника та їх учнів.

Аналіз одержаних на даний час результатів про розв'язність крайових задач для рівнянь з виродженням показує, що вони є неповними, тому їх необхідно розвинути і доповнити, щоб одержати результати, подібні до відомих у теорії крайових задач без виродження.

Зокрема, не вирішеними є такі питання:

– дослідження коректної розв'язності нелокальних за часовою змінною першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для параболічних рівнянь зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою та просторовими змінними на внутрішній множині точок області, або на бічній межі області;

– встановлення коректної розв'язності задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку, які мають степеневі особливості довільного порядку на деякій множині усередині області, або на межі області;

– дослідження задачі Коші та крайової задачі для параболічних рівнянь порядку 2b, коефіцієнти яких мають степеневі особливості довільного порядку за сукупністю змінних;

– застосування одержаних результатів до розв'язання задач оптимального керування.

Вирішенню цих питань присвячена дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи “Дослідження коректності нерегулярних параболічних крайових задач та еквівалентності операторів” (номер держреєстрації № 0103U001109). Є складовою частиною досліджень, передбачених планами наукової роботи кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, докторантом якої є автор дисертації.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є одержання для лінійних параболічних та еліптичних рівнянь з виродженням і особливостями в коефіцієнтах за сукупністю змінних результатів, подібних до відомих в теорії крайових задач для рівномірно параболічних та еліптичних рівнянь без виродження.

Безпосередніми задачами дослідження є:

– вивчення крайових задач з нелокальною умовою за часовою змінною для нерівномірно параболічних рівнянь другого порядку, коефіцієнти яких мають степеневі особливості довільного порядку, або вироджуються на межі області за довільними змінними;

– встановлення коректної розв'язності задачі Діріхле та задачі з косою похідною для еліптичних рівнянь другого порядку, які мають довільні степеневі особливості на деякій множині усередині області, або вироджуються за довільними змінними на межі області;

– застосування одержаних результатів для розв'язання односторонніх крайових задач та задач оптимізації;

– дослідження коректної розв'язності крайової задачі та задачі Коші для параболічного рівняння порядку 2b (b > 1) у випадку степеневих особливостей за сукупністю змінних в коефіцієнтах рівняння і крайових умов;

– побудова оптимального керування системами, що описуються параболічною крайовою задачею або нелокальною параболічною крайовою задачею з гладкими коефіцієнтами у випадках внутрішнього, крайового та фінального обмеженого керування з критеріями якості, що задаються сумою об'ємних та поверхневих інтегралів.

У дисертації використано результати та методи теорії рівнянь із частинними похідними, функціонального аналізу, варіаційного числення та оптимального керування. Для встановлення коректної розв'язності крайових задач з виродженням і особливостями будуються послідовності розв'язків крайових задач із гладкими коефіцієнтами, граничним значенням яких будуть розв'язки задач, що досліджуються.

Наукова новизна одержаних результатів. Уперше знайдено умови існування, єдиності та зображення розв'язків першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі із нелокальною умовою за часовою змінною для параболічних рівнянь другого порядку із степеневими особливостями в коефіцієнтах рівняння за часовою змінною у фіксований момент часу та довільними просторовими змінними на деякій множині усередині області, або на бічній межі області. Одержані результати застосовано до вивчення задач оптимального керування систем, що описуються відповідними крайовими задачами з обмеженим внутрішнім або фінальним керуванням. Критерії якості задаються сумою об'ємних і поверхневих інтегралів.

Вперше виділено класи коректної розв'язності задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку із довільними степеневими особливостями за будь-якими змінними на деякій множині усередині області, або на межі області.

Вперше досліджено задачу Коші і крайову задачу для параболічних рівнянь порядку 2b (b > 1) із степеневими особливостями в коефіцієнтах рівняння і крайових умов за часовою змінною у фіксований момент та довільними просторовими змінними у фіксованій точці області, та крайову задачу у випадку виродження коефіцієнтів на бічній межі області.

Доведено нові теореми про необхідні та достатні умови оптимальності розв'язку систем, що описуються параболічною крайовою задачею із внутрішнім і крайовим керуванням та нелокальною крайовою задачею із фінальним обмеженим керуванням для параболічного рівняння порядку 2b (b > 1). Критерії якості задаються сумою об'ємних та поверхневих інтегралів.

При одержані цих результатів модифіковані методи теорії крайових задач, зокрема теорії потенціалу, для рівномірно параболічних і еліптичних рівнянь та розроблена методика доведень для врахування специфіки виродження рівнянь. Для цього введені вагові простори Гельдера, вагова функція в яких правильно враховує виродження коефіцієнтів рівняння і поведінку розв'язку в околі виродження.

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження мають теоретичний характер, їх результати можуть бути застосовані у теорії диференціальних рівнянь із частинними похідними і математичній фізиці, варіаційному численні і методах оптимального керування. Для спеціалістів у галузі теплопровідності, термоелектричних явищ та квантової механіки результати створюють підґрунтя для дослідження математичних моделей конкретних процесів, які описуються параболічними та еліптичними рівняннями із виродженням і особливостями.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим консультантом працях Матійчуку М.І. належить формулювання задач та аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів досліджень. Результати дисертаційної роботи доповідалися на Міжнародній науковій конференції “Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции” (Самара, 1992 р), Всеукраїнській конференції “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування” (Чернівці, 1996 р.), Міжнародній математичній конференції, присвяченій пам'яті Ганса-Гана (Чернівці, 1994), Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми математики” (Чернівці, 1998 р.), Сьомій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 1998 р.), Дев'ятій науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2002 р), Міжнародній конференції “Теорія еволюційних рівнянь. П'яті Боголюбовські читання” (Кам'янець-Подільський, 2002 р.), Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2003 р.), Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (Чернівці, 2003 р.), Міжнародній конференції “Nonlinear partial differential equations” (Алушта, 2003 р.), Міжнародній конференції, присвяченій 125-ій річниці від дня народження Ганса-Гана (Чернівці, 2004 р.), Десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2004 р.), Міжнародній математичній конференції ім. В.Я.Скоробагатька (Дрогобич, 2004 р.), Міжнародній конференції “International conference modern problem and new trends in probability” (Чернівці, 2005 р.), Міжнародній конференції „Диференціальні рівняння та їх застосування” (Київ, 2005 р.), наукових семінарах математичного факультету та наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у двадцяти п'яти працях, з них 18 - у наукових журналах, 7 - у збірниках наукових праць Інституту математики НАН України, Інституту прикладної математики і механіки НАН України та Віснику Національного університету “Львівська політехніка”.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, семи розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 182 найменування (19 сторінок). Повний обсяг роботи становить 300 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ

задача діріхле коші параболічний

У вступі обґрунтовується актуальність теми, ставляться мета і задачі дослідження, указується на зв'язок дисертації з науковою темою кафедри диференціальних рівнянь, на якій вона виконана, наводяться основні результати, визначається їх новизна, практичне значення і апробація.

У першому розділі подано огляд праць, що стосуються параболічних та еліптичних рівнянь і систем рівнянь із виродженнями і особливостями. До огляду ввійшли праці, в яких встановлено коректну розв'язність крайових задач, вивчено поведінку розв'язків задач у околі множини точок виродження коефіцієнтів рівняння.

У другому розділі вивчаються перша крайова задача, задача з косою похідною, одностороння крайова задача з нелокальними умовами за часовою змінною для параболічного рівняння 2-го порядку з довільними степеневими особливостями у коефіцієнтах рівняння за часовою змінною та окремими просторовими змінними.

Нехай - деяка область в Rn, dim n - 1, D - довільна обмежена область в Rn із межею D, dim D = n, , T, t(0) - фіксовані додатні числа, t(0) < T. У області Q = (0, T] D розглядаються задачі знаходження функції u(t, x), яка задовольняє при (t, x) Q(0) Q \ {((t, x) Q t = t(0) , x D) ((t, x) Q t (0, T], x ) } рівняння

(Lu)(t, x)

u(t, x) = f(t, x) (1)

і нелокальну умову

u(0, x) + = (x), (2)

а на бічній межі = (0, T] D одну з крайових умов

u = g(t, x), (3)

(Bu)(t, x) = = F(t, x), (4)

u 0, (Bu)(t, x) F(t, x), u((Bu)(t, x) - F(t, x)) = 0, (5)

0 < t1 < t2 < < tN T, = .

Крім того, у області = (0, T] Rn вивчається задача знаходження функції u(t, x), яка задовольняє при (t, x) (0) = \ {((t, x) t = t(0) , x Rn) ((t, x) t (0, T], x ) } рівняння

(Lu)(t, x) = f(t, x) (6)

і нелокальну умову

u(0, x) + = (x). (7)

Нехай l(1), l(2) - довільні дійсні числа, (x, ) - відстань від x Rn \ до . Особливості коефіцієнтів диференціальних виразів L і B будуть характеризувати такі функції: s1(l(1), t) = |t - t(0)| при |t - t(0)| 1, s1(l(1), t) = 1 при |t - t(0)| 1; s2(, l(2), x) = (x, ) при (x, ) 1, s2(, l(2), x) = 1 при (x, ) = 1, P(t, x) - довільна точка із .

Позначимо через , (), , , r - дійсні числа такі, що (-, ), () 0, 0, i {0, 1, …, n}, (0, 1), {1, 2}, r 0. Покладемо s(, l; P) = s1(l(1), t) s2(, l(2), x). Означимо функціональні простори, в яких досліджуються задачі.

Cr(, ; l; Q; ) - простір функцій u(P), P , які мають неперервні частинні похідні у Q(0) вигляду u, 2k + |i| [r], для яких є скінченною норма ||u; , ; l; Q; ||r, де, наприклад,

||u; , ; 0; Q; ||0 = |u; Q|0,

||u; , ; l; Q; ||2 + = s(; l; P)|u(P)| + + + s(; l + 2; P)| t u(P)| + + s(, l + 2 + ( - k), ) Ч Ч] + s(, l + (2 + ) - i - j, ) Ч + s(, l + (2 + ) ; ) Ч ]}.

Тут позначено: P1(t(1), x(1)), Hk(t(1), x(2)), (t(2), x(2)) - довільні точки із , k {1, …, n}, x(1) = (, …, ), x(2) = (, …, , , …, ), s(, l; ) = min(s(, l; P1), s(, l; Hk)), s(, l; ) = min(s(, l; Hk), s(, l; )), (0, 1).

Cr(j, Q; ) - множина функцій vj(P), P , які мають частинні похідні в Q(0) вигляду vj, |k| [r], для яких є скінченною норма

|| vj; j, Q; ||r = + s(, j + |k|; ) s2(, {r}; ) + + s(, j; ) |vj(Hi) - vj()| + s(, j + |k|; ) , s1(l(1), ) = min(s1(l(1), t(1)), s1(l(1), t(2))), s2(, l(2), ) = min(s2(, l(2), x(1)), s2(, l(2), x(2))),

[r] - ціла частина числа r.

Припустимо, що для задачі (1) - (5) виконуються наступні умови.

10. Коефіцієнти Ai C(i, Q; ), i {0, 1, …, n}, A0 K < +, K - const, Aij C(i + j; Q; ) і для довільного вектора = (1, …, n) виконується нерівність

1||2 2||2, (8)

1, 2 - фіксовані додатні сталі, ||2 = .

20. Коефіцієнти qj C2 + (D), j {1, 2, …, N}, 0 < 1, де - довільне число, яке задовольняє нерівність < (-A0(P)).

30. Функції f C(, ; 0, Q; ), C2 + (, ; 0; D; ), () = max{, , }, {1, 2}, (0, (2)), (0, ), i {1, …, n}.

40. Межа D належить класу C2 + , для довільних x D і y , |x - y| d > 0, d - const.

50. Вектори {s(, 1; P)b1(P), …, s(, n; P)bn(P)} i = {b1, …, bn} утворюють з напрямком внутрішньої нормалі до у точці P Г кут, менший за , b0 C1 + (Г), b0 < 0, bk C1 + (k; Q; ), F C1 + (Г) і при x D виконуються рівності:

(B)(x) = F(0, x) + ; = 0.

60. Функції g C2 + (Г) і при x D виконуються рівності:

g(0, x) + = (x);

tg(0, x) + +

(g(tj, x)qj(x)) = (x) + f(0, x).

Справедливі наступні теореми.

Теорема 1. Нехай виконані умови 10 - 40, 60. Тоді існує єдиний розв'язок задачі (1) - (3) у просторі C2 + (, ; 0; Q; ) і для нього справедлива оцінка

||u; ; ; 0; Q; ||2 + c(||f; ; ; 0; Q; || + ||;; ; 0; D; ||2 + +

+ ), (9)

у випадку f C (, ; 0; Q; ) розв'язок задачі (1) - (3) визначається інтегралами Стільтьєса з борелівською мірою

u(t, x) = + +

+ (10)

і для компонент (Z1, Z2, Z3) правильні нерівності:

0 ||e t (-A0(t, x) - )-1; Q||0;

0 ||[1 - ]-1; D||0; (11)

0 e T.

Теорема 2. Нехай для задачі (1), (2), (4) виконані умови 10 - 50. Тоді існує єдиний розв'язок задачі (1), (2), (4) у просторі C2 + (, ; 0; Q; ) і для нього справедлива оцінка

||u; ; ; 0; Q; ||2 + c(||f; ; ; 0; Q; || + || ; , ; 0; D; ||2 + +

), (12)

у випадку f C (, ; 0; Q; ) розв'язок задачі (1), (2), (4) визначається інтегралами Стільтьєса з борелівською мірою

u(t, x) = + +

(13)

і компоненти (E1, E2, E3) задовольняють нерівності:

|| ||e t (-A0(t, x) - )-1; Q||0;

| | ||[1 - ]-1; D||0; (14)

|| ||e t (t, x); Г||0.

Позначимо через C r (, ; l; ; ) - множину функцій, яка належить C r (, ; l; Q; ) для довільної замкнутої області Rn. Правильна така теорема.

Теорема 3. Припустимо, що виконані умови 10 - 30 для довільної області Rn. Тоді існує єдиний розв'язок задачі (6), (7) у просторі C2 + (, ; 0; П; ) і для нього правильна нерівність

||u; ; ; 0; П; ||2 + c(||f; ; ; 0; П; || + ||;; ; 0; Rn; ||2 + ), (15)

у випадку f C (, ; 0; П; ) розв'язок задачі (6), (7) визначається формулою

u(t, x) = + (16)

і для компонент (Г1, Г2) правильні нерівності:

0 ||e t (-A0(t, x) - )-1; П||0;

0 ||[1 - ]-1; Rn||0. (17)

Одержані результати застосовано до розв'язання односторонньої крайової задачі (1), (2), (5) та задач оптимального керування системами, що описуються першою крайовою задачею з нелокальною умовою за часовою змінною у випадку внутрішнього керування. Критерій якості задається об'ємним інтегралом. Крім того, досліджено задачу оптимального керування системою, що описується параболічною нелокальною задачею з косою похідною з обмеженим фінальним керуванням. Критерій якості задається сумою об'ємного і поверхневого інтегралів.

У третьому розділі за допомогою принципу максимуму і апріорних оцінок досліджуються крайові задачі з нелокальною умовою за часовою змінною для параболічних рівнянь, коефіцієнти яких вироджуються за довільними просторовими змінними на бічній межі області довільним степеневим порядком та за часовою змінною у фіксований момент часу.

Розглянемо в області Q = (0, T] D для параболічного рівняння задачу знаходження функції u, яка задовольняє при t > 0, t t(0) рівняння (1) і нелокальну умову (2), а на бічній межі Г одну з крайових умов

(u(t, x) - g(t, x)) = 0, (18)

(Bu - F) = 0, (19)

uГ 0, (Bu - F) 0, u(Bu - F) = 0. (20)

Для задач (1), (2), (18) - (20) вважаємо виконаними умови:

А0. Коефіцієнти Ai C(i, Q; Г), A0 K < +, K = const, i {0, 1, …, n}, Aij C(i + j; Q; Г) і для довільного вектора = (1, …, n) виконується нерівність

1||2 2||2, (21)

1, 2 - фіксовані додатні сталі.

A1. Вектори {s(Г, 1; P)b1(P), …, s(Г, n; P)bn(P)} i = {e1, …, en}, ek = bk||-1 утворюють з напрямком внутрішньої нормалі до в точці PГ кут, менший за , b0 C1 + (; Q; Г), b0 < 0, () 0, {1, 2}, bk C1 + (k; Q; Г).

А2. Коефіцієнти qj C2 + (D), j {1, 2, …, N}, 0 < 1, де - довільне число, яке задовольняє нерівність < (-A0(t, x)).

A3. Поверхня D належить до класу C2 + .

А4. Функції f C(, ; 0, Q; Г), C2 + (, ; 0; D; Г), F C1 + (, ; , Q; Г), () = max(, ,, ()), {1, 2}, k {1, …, n}.

A5. Функції f C(, ; 0, Q; Г), C2 + (, ; 0; D; Г), g C 2 + (, ; 0; Q; Г), () = max(, , ).

Основні результати містяться у наступних теоремах.

Теорема 4. Нехай для задачі (1), (2), (18) виконані умови А0, А2, А3, А5. Тоді існує єдиний розв'язок задачі (1), (2), (18) із простору C2 + (, ; 0; Q; Г) і для нього справедлива оцінка

||u; ; ; 0; Q; Г||2 + c(||f; ; ; 0; Q; Г|| + ||;; ; 0; D; Г||2 + +

+ ||g; ; ; 0; Q; Г||2 + ), (22)

у випадку f C (, ; 0; Q; Г) розв'язок задачі (1), (2), (18) визначається інтегралами Стільтьєса

u(t, x) = + + (23)

і компоненти (E1, E 2, E 3) задовольняють нерівності:

|| ||e t (-A0(t, x) - )-1; Q||0,

|| ||[1 - ]-1; D||0, (24)

|| .

Теорема 5. Припустимо, що для задачі (1), (2), (19) виконані умови A0 - A4. Тоді існує єдиний розв'язок задачі (1), (2), (19) із простору C2 + (, ; 0; Q; Г) і для нього правильна оцінка

||u; ; ; 0; Q; Г||2 + c(||f; ; ; 0; Q; Г|| + ||;; ; 0; D; Г||2 + +

+ ||F; ; ; ; Q; Г||1 + ), (25)

у випадку F C 1 + (, ; 0; Q; Г), f C (, ; 0; Q; Г) розв'язок задачі (1), (2), (19) визначається формулою

u(t, x) = + + (26)

і компоненти (G1, G2, G3) задовольняють нерівності:

|| ||e t (-A0(t, x) - )-1; Q||0,

| | ||[1 - ]-1; D||0, (27)

|| ||e t (t, x); Q||0.

Теорема 6. Якщо для задачі (1), (2), (20) виконані умови теореми 5, то існує єдиний розв'язок односторонньої крайової задачі (1), (2), (20) у просторі C2 + (, ; 0; Q; Г) і для нього правильна нерівність (25).

Четвертий розділ присвячено вивченню першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку без обмеження на степеневий порядок особливостей коефіцієнтів на деякій множині точок усередині області.

Розглянемо в області D задачу знаходження функції v(x), яка задовольняє при x D \ рівняння

(L0v)( x) v(x) = f(x), (28)

а на межі області D одну з крайових умов:

vD = (x); (29)

(B0v)(x)D = g(x); (30)

vD 0, (B0v)(x)D g(x), v((B0v)(x) - g(x))D = 0. (31)

Нехай l - довільне дійсне число, а R(x) - довільна точка із D. Позначимо через k, , i, дійсні числа такі, що k (-, ), 0, i 0, i {0, 1, ..., n}, (0, 1). Означимо функціональні простори, в яких досліджуються задачі.

H r(, ; l; D; ) - множина функцій v(x), x , які мають неперервні частинні похідні в області D(0) = D \ вигляду v, |k| [r], для яких є скінченною норма ||v; , ; l; D; ||r, де, наприклад,

||v; , ; l; D; ||2 + б = s2(, l; x)|v(x)| +

+ + [s2(, l + 2 - i - j + ( - k), ) Ч ].

Тут позначено: P1(x(1)), (x(2)) - довільні точки із , j {1, …, n}, x(2) = (, …, , , …, ), s2(, l; ) = min(s2(, l; P1), s2(, l; )).

H r(j, D; ) - множина функцій vj(x), x , які мають частинні похідні в D(0) вигляду vj, |k| [r], для яких є скінченною норма ||vj; D; ||r, де, наприклад,

|| vj; D; ||[r] = .

Нехай для задачі (28) - (31) виконані умови:

а) коефіцієнти ai H(i, D; ), i {0, 1, …, n}, a0 < 0,

aij H(i + j; D; ) і виконується умова

1||2 2||2;

б) вектори = {h1, ..., hn} і {s2(, 1; x)h1(x), …, s2(, n; x)hn(x)} утворюють із напрямком внутрішньої нормалі до D в точці R(x) D кут, менший за , hk H1+(k; D; ), h0 C1 + (D), h0 < 0.

в) межа D належить C2 + , для x D, y , |x - y| d > 0;

= max(, , ), i {1, …, n};

г) f H(, ; 0, D; ), C2 + (D);

д) f H(, ; 0, D; ), g C1 + (D).

Основні результати, одержані в четвертому розділі, містяться у наступних теоремах.

Теорема 7. Нехай для задачі (28), (29) виконані умови а), в), г). Тоді існує єдиний розв'язок задачі (28), (29) у просторі H2 + (, ; 0; D; ) і для нього правильна оцінка

||v; ; ; 0; D; ||2 + c(||f; ; ; 0; D; || + ), (32)

у випадку f H(, ; 0, D; ) розв'язок задачі (28), (29) визначається інтегралами Стільтьєса з борелівською мірою

v(x) = + (33)

і компоненти (M1, M2) задовольняють нерівності:

|| ||; D||0, || 1. (34)

Теорема 8. Припустимо, що для задачі (28), (30) виконані умови а), б), в), д). Тоді існує єдиний розв'язок задачі (28), (30) у просторі H2 + (, ; 0; D; ) і для нього правильна оцінка

||v; ; ; 0; D; ||2 + c(||f; ; ; 0; D; || + ), (35)

у випадку f H (, ; 0; D; ) розв'язок задачі (28), (30) зображається формулою

v(x) = + (36)

і компоненти (R1, R2) задовольняють нерівності:

|| ||; D||0, || ||; D||0. (37)

Теорема 9. Якщо для задачі (28), (31) виконані умови а), б), в), д) то існує єдиний розв'язок задачі (28), (31) у просторі H2 + (, ; 0; D; ) і для нього правильна оцінка (35).

Розділ п'ятий присвячено вивченню задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку, коефіцієнти яких вироджуються на межі області. Порядок степеневого виродження довільний.

Розглянемо в області D задачу знаходження функції v, яка задовольняє рівняння (28), а на межі області D одну з крайових умов:

[v(x) - (x))D = 0; (38)

[(B0v)(x) - g(x))D = = 0; (39)

vD 0, ((B0v(x) - g(x))D = 0, v((Bv)(x) - g(x))D = 0. (40)

Для задач (28), (38) - (40) вважаємо виконаними такі умови:

В0) коефіцієнти ai H(i, D; D), i {0, 1, …, n}, a0 < 0, aij H(i + j; D; D) і виконується умова

1||2 2||2;

В1) вектори = {e1, …, en}, ek = hk||-1 і {s2(D; 1, x)h1(x), …, s2(D; n, x)hn(x)} утворюють з напрямком внутрішньої нормалі до поверхні D в точці x D кут, менший за , hk H1 + (k; D; D), h0 H1 + (; D; D), h0 < 0, 0;

B2) поверхня D належить C2 + ;

В3) функції f H(, ; 0, D; D), H2 + (, ; 0, D; D), = max(, , ), i {1, …, n};

B4) функції f H(, ; 0, D; D), g H1 + (, ; ; D; D), = max(, , , ), i {1, …, n}.

Коректна розв'язність задач (28), (38) - (40) встановлюється такими теоремами.

Теорема 10. Нехай для задачі (28), (38) виконані умови В0), В2), В3). Тоді існує єдиний розв'язок задачі (28), (38) у просторі H2 + (, ; 0; D; D) і для нього правильна оцінка

||v; ; ; 0; D; D||2 + c(||f; ; ; 0; D; D|| + ||; ; ; 0; D; D||2 + ), (41)

у випадку f H (, ; 0; D; D) розв'язок задачі (28), (38) у просторі H 2 + (, ; 0; D; D) зображається формулою

v(x) = + (42)

і компоненти (K1, K 2) задовольняють нерівності:

|| ||; D||0, || 1.

Теорема 11. Припустимо, що для задачі (28), (39) виконані умови В0), В1), В2), В4). Тоді існує єдиний розв'язок задачі (28), (39) у просторі H2 + (, ; 0; D; D) і для нього правильна оцінка

||v; ; ; 0; D; D||2 + c(||f; ; ; 0; D; D|| + ||g; ; ; ; D; D||1 + ), (43)

у випадку f H (, ; 0; D; D), g H 1 + (, ; 0; D; D) єдиний розв'язок задачі (28), (39) визначається формулою

v(x) = + (44)

і компоненти (R1, R2) задовольняють нерівності:

|| ||; D||0, || ||; D||0. (45)

Теорема 12. Якщо виконані умови В0), В1), В2), В4), то єдиний розв'язок задачі (28), (40) у просторі H2 + (, ; 0; D; D) задовольняє нерівність (43).

В шостому розділі за допомогою апріорних оцінок встановлюється коректна розв'язність задачі Коші для параболічних рівнянь порядку 2b (b > 1) із степеневими особливостями у коефіцієнтах рівняння за часовою змінною у фіксований момент часу та будь-якими просторовими змінними у фіксованій точці області. Для цих рівнянь доведено коректну розв'язність крайової задачі. Встановлено коректну розв'язність параболічної крайової задачі з виродженням у коефіцієнтах рівняння і крайових умов за довільними просторовими змінними на бічній межі області, а за часовою змінною - у фіксований момент часу.

Розглянемо в області П = (0, T] Rn задачу знаходження функції u(t, x), яка задовольняє при (t, x) П(0) П \ {((t, x) П t = t(0) , x Rn) ((t, x) П t (0, T], x = x(0)) } рівняння

(L1u)(t, x) u(t, x) = f(t, x), (46)

а при t = +0 початкову умову

u(0, x) = (x), (47)

Нехай - довільна замкнута підобласть П, P(t, x) - точка із . Покладемо (k, ) = , a2(l (2), x) = |x - x (0)| при |x - x (0)| 1, a2(l (2), x) = 1 при |x - x (0)| 1, a(l; P) = s1(l(1), t)a2(l(2), x), (k, () - ()) = , {1, 2}, а((k, - ); P) = sk((k, (1) - (1)), t)a2((k, (2) - (2)), x). Означимо функціональні простори, в яких буде вивчатися задача (46), (47).

C r(, ; l; П) - множина функцій u(t, x), (t, x) , які мають неперервні частинні похідні в області 1 = \ {((t, x) t = t(0) , x ) ((t, x) t (0, T], x = x (0))} вигляду u, 2bj + |k| [r], для яких є скінченною норма

||u; , ; l; П||r = |u(P)| + +

].

Тут позначено P(t, x), P1(t(1), x(1)), (t(2), x(2)), Hi(t(1), x(2)), i {1, …, n} - точки із , x(1) = (, …, ), x(2) = (, …, , , …, ), a(l, ) = min(a(l, P1), a(l; Hi)), a(l, ) = min(a(l, ), a(l; Hi)).

C r(k; П) - множина функцій vk(t, x): (t, x) , які мають неперервні частинні похідні в області 1 вигляду vk, || [r], для яких є скінченною норма

|| vk; k; П||r = |vk(P)| + a((k, k) + ; ) a2({r}; ) + a((k, k) + ; ) |vk(Hi) - vk()| + a((k, k) + ; ) }.

- символ Кронекера, = (1, …, n), || = 1 + 2 + … + n.

Для задачі (46), (47) припускаємо виконання таких умов:

а) коефіцієнти рівняння Ak C(k; П) при |k| 2b - 1, Ak C(; П) при |k| = 2b, A0 K < , K - const і виконується умова рівномірної параболічності для рівняння

t u - Ak(P)u = f1(t, x);

б) функції f C(, ; 2b; П), C2b + (, ; 0; Rn), () = max{, , }, {1, 2}, i {1, …, n}.

Коректна розв'язність задачі Коші для рівняння з особливостями встановлюється такою теоремою.

Теорема 13. Нехай для задачі (46), (47) виконані умови а), б). Тоді існує єдиний розв'язок задачі (46), (47), для якого правильна оцінка

||u; ; ; 0; П||2b + c(||f; ; ; 2b; П|| + ||;; ; 0; Rn||2b + ). (48)

Якщо виконана умова а), f C(, ; 0; П), C2b + (, ; 0; Rn), то єдиний розв'язок задачі Коші (46), (47) у просторі C 2b + (, ; 0; П) визначається формулою

u(t, x) = + . (49)

Розглянемо в області Q = (0, T] D задачу знаходження функції u, яка задовольняє при (t, x) Q(0) Q \ {((t(0), x) Q) ((t, x(0)) Q) } рівняння

(L1u)(t, x) = f 0(t, x). (50)

при t = +0 початкову умову

u(0, x) = (x), (51)

а на бічній межі = (0, T] D крайові умови

(Biu)(t, x) = = fi(t, x), (52)

де 0 ri 2b - 1, i {1, ..., b}.

Коректна розв'язність задачі (50) - (52) установлюється при виконанні таких умов:

А) коефіцієнти рівняння Ak C(k; Q) при |k| 2b - 1, A0 K < , Ak C(; Q) при |k| = 2b, (Г) при |k| < ri, (; Q) при |k| = ri, D C2b + , (x(0), D) d > 0, d - const і крайова задача

u(P) = g(P),

u(0, x) = (x),

= gi(t, x)

рівномірно параболічна;

Б) функції f0 C(, ; 2b; Q), C2b + (, ; 0; D), fi (Г), (Bi)| Г = fi(0, x),

() = max(, , ), {1, 2}.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 14. Нехай для задачі (50) - (52) виконані умови А), Б). Тоді існує єдиний розв'язок задачі (50) - (52) у просторі C2b + (, ; 0; Q), для якого справедлива оцінка

||u; ; ; 0; Q||2b + c(||f0; ; ; 2b; Q|| + ||;, ; 0; D||2b + +

+ ), (53)

у випадку f0 C (, ; 0; Q) розв'язок задачі (50) - (52) визначається інтегралами Стільтьєса з борелівською мірою

u(t, x) = + +

+ . (54)

Розглянемо в області Q для параболічного рівняння задачу знаходження функції u, що задовольняє при t > 0, t t (0) рівняння (50), початкову умову (51), а на бічній межі Г крайові умови

= 0, (55)

де 0 ri 2b - 1, , t t (0), i {1, ..., b}.

Задача (50), (51), (55) вивчається у просторах (k; Q), (, ; l; Q), норма у яких вводиться аналогічно нормам просторів С r(k; Q), С r(, ; l; Q ), тільки a2(l(2), x) замінено функцією s2(; l (2), x). Позначимо норму функції u (, ; l; Q ) через ||u; ; ; l; Q; S||r.

Нехай для задачі (50), (51), (55) виконані умови:

C1) коефіцієнти рівняння Ak (k; Q) для |k| 2b - 1, A0 K < , Ak (; Q) для |k| = 2b, (0, 1); (; Q) для |k| = ri, (ki; Q) для |k| ri - 1 при ri 1, i (0, 1), D C2b + і крайова задача

u(P) = g0(P),

u(0, x) = (x),

= gi(P)

рівномірно параболічна;

С2) функції f0 (, ; 2b; Q), (, ; 0; D), fi (, ; ri; Q), () = max(, , , , ), {1, 2}, j {1, …, n}, i {1, …, b};

C3) для довільного > 0 задача (50), (51) з крайовою умовою = fi(t, x) рівномірно параболічна в області = {(t, x) | s1(1, t) > 0, s2(; 1, x) > 0}, Г = {(t, x) | s2(; 1, x) = , s1(1, t) }.

Теорема 15. Припустимо, що для задачі (50), (51), (55) виконані умови С1) - С3). Тоді існує єдиний розв'язок задачі у просторі (, ; 0; Q) і для нього правильна оцінка

||u; ; ; 0; Q; S||2b + c(||f0; ; ; 2b; Q; S|| + ||;, ; 0; D; S||2b + +

+ ), (56)

у випадку f0 (, ; 0; Q), fi (, ; 0; Q) розв'язок задачі (50), (51), (55) у просторі (, ; 0; Q) зображається формулою

u(t, x) = + + .

У сьомому розділі досліджується задача про вибір оптимального керування системами, що описуються загальною нелокальною параболічною крайовою задачею із обмеженим фінальним керуванням.

У області Q вивчається задача знаходження функцій (u, p), на яких функціонал

I(p) = + (57)

досягає мінімуму в класі функцій p V {p C(D), 1 p 2}, а функції u(t, x, p) є розв'язком рівномірно параболічної нелокальної крайової задачі

(Lu)(t, x) t u - u = f0(t, x), (58)

u(0, x, p) + u(tj, x, p) = (x, p), (59)

Biu = fi(t, x), (60)

0 < t1 < < tm < T, 0 i 2b - 1, = {u, xu, ..., u} {u0, ..., u2b - 1}, = (L1u1, L2u2, ..., Lmum, p) = (1, ..., m + 1), Ljuj = u(tj, x), 0 j 2b - 1.

Вважаємо виконаними такі умови:

D1) крайова задача

(Lu)(t, x) = g0(t, x), u(0, x) = 0(x), Bi u| Г = fi(t, x) (61)

рівномірно параболічна і Ak C(Q), (Г), D C2b+, ak(tj; x) C2b + (Q {t = tj}), r = max j, j {1, …, m}, r 2b - 1;

D2) 0 C2b + (D), fi (Г), (Bi)(0, x)|Г = fi(0, x) +

+ fi(tj, x) у випадку ri 1;

D3) функції (x, p(x)), F1(t, x, ), F2(x, ) як функції змінних (t, x) належать до простору C (Q) і мають гельдерові похідні другого порядку за ui і j, неперервні як функції змінних (t, x).

Нехай G0(t, x, , ) - функція Гріна однорідної крайової задачі (61). Позначимо

q(x) = .

Правильні такі теореми.

Теорема 16. Нехай виконуються умови D1), D2), f0(t, x) C (Q), (x, p) , q(x) K0 < 1. Тоді існує розв'язок задачі (58) - (60) і для нього справджуються оцінки

|u| cB(f0, 0,), |k| 2b - r,

|u| cB(f0, 0, ), |k| > 2b - r,

B(f0, 0, ) = + + .

Теорема 17. Якщо виконані умови теореми 16, r 2b - 1, fi(t, x) = 0, i {1, …, b}, то існує функція Гріна (G0, G1, Г1, …, Гm) однорідної задачі (58) - (60) і для розв'язку маємо зображення

u(t, x) = d + +

+ . (62)

Позначимо

E(t, x, 0, ) = G0(t, x, 0, ) + ,

v1(x) = +

,

H(v1, ) = F2(x, ) + v1(x)(x, m + 1).

Теорема 18. Якщо функція H(v1, ) є монотонною зростаючою за аргументом m + 1 для m + 1 V, то оптимальним є керування = 1(x), а оптимальним розв'язком задачі (58) - (60) є u0(t, x, p) = u0(t, x, 1(x)).

Якщо функція H(v1, ) є монотонно спадною за аргументом m + 1 V, то оптимальним є керування = 2(x), а оптимальним розв'язком задачі (58) - (60) є u0(t, x, p) = u(t, x, 2(x)).

Теорема 19. Нехай H(v1, ) не є монотонною функцією за аргументом m + 1. Для того, щоб керування і відповідний розв'язок u0(t, x, 1(x)) крайової задачі (58) - (60) були оптимальними, необхідно та достатньо, щоб виконувалися умови:

N1) функція H(v1, ) за аргументом m + 1 має в точці мінімальне значення;

N2) для довільного вектора = (y0, …, y2b - 1) і (t, x) виконується нерівність:

> 0;

N3) для довільного вектора = (0, …, m + 1) 0 і x D виконується нерівність:

> 0.

Розглянуто також задачі вибору оптимального керування системами, що описуються параболічними крайовими задачами з обмеженим внутрішнім або крайовим керуванням. Функціонали якості визначаються об'ємним або поверхневим інтегралом.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена побудові класів коректної розв'язності основних крайових задач для параболічних та еліптичних рівнянь з особливостями і виродженнями.

У дисертації вперше отримано такі результати:

1) для параболічних рівнянь другого порядку зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою змінною у фіксований момент часу та за будь-якими просторовими змінними на деякій множині точок усередині області і нелокальною умовою за часовою змінною встановлено:

– умови існування, єдиності та інтегрального зображення розв'язків першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі;

– необхідні та достатні умови існування оптимального розв'язку системи, що описується першою крайовою задачею з внутрішнім обмеженим керуванням і інтегральним критерієм якості;

– критерій оптимальності розв'язку системи, що описується нелокальною задачею з косою похідною з фінальним обмеженим керуванням і критерієм якості, заданим сумою поверхневих та об'ємних інтегралів;

– існування, єдиність та інтегральне зображення розв'язків нелокальної задачі Коші;

2) для параболічних рівнянь другого порядку, коефіцієнти яких вироджуються довільним степеневим порядком за будь-якими просторовими змінними на бічній межі області та часовою змінною у фіксований момент часу, встановлено коректну розв'язність першої крайової задачі, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі із нелокальною умовою за часовою змінною;

3) для еліптичних рівнянь другого порядку із довільними степеневими особливостями за будь-якими змінними на межі області, або на деякій множині усередині області встановлено коректну розв'язність задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі;

4) доведено коректну розв'язність задачі Коші та крайової задачі для параболічних рівнянь порядку 2b (b > 1) зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою змінною у фіксований момент часу та будь-якими просторовими змінними у фіксованій точці області;

5) знайдено класи коректної розв'язності загальної параболічної крайової задачі з виродженням за окремими просторовими змінними на бічній межі області та часовою змінною у фіксований момент часу як у коефіцієнтах рівняння, так і в коефіцієнтах крайових умов;

6) досліджено задачі оптимального керування системами, що описуються загальними рівномірно параболічними крайовими задачами у випадку внутрішнього та крайового обмеженого керування з інтегральними критеріями якості;

7) встановлено коректну розв'язність загальної параболічної задачі з нелокальною умовою за часовою змінною та доведено критерій існування оптимального розв'язку системи, що описується відповідною нелокальною крайовою задачею з фінальним обмеженим керуванням та інтегральними критеріями якості.

Отримані в дисертації результати є не лише поширенням відомих результатів на широкий клас параболічних та еліптичних рівнянь, але й істотно доповнюють останні. Вони є цілком новими для параболічних та еліптичних рівнянь.

Для обґрунтування результатів дисертаційної роботи модифіковані методи, які розроблені при дослідженні крайових задач для параболічних та еліптичних рівнянь з гладкими коефіцієнтами, апріорні оцінки та метод штрафу.

Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть застосовуватися при подальших дослідженнях коректної розв'язності та властивостей розв'язків крайових задач для еліптичних та параболічних рівнянь, в теорії диференціальних рівнянь та диференціальних нерівностей з частинними похідними, математичній фізиці, варіаційному численні і задачах оптимального керування.

Основні результати дисертації опубліковані у працях

1. Пукальский И.Д., Матийчук М.И. О применениях функций Грина параболических краевых задач к задачам оптимального управления // Укр. мат. журн. - 1985. - Т. 37, N 6. - С. 738 - 744.

2. Пукальский И.Д., Матийчук М.И. Оптимальное управление решениями нелокальной граничной задачи для параболических уравнений // Нелинейные граничные задачи. - 1992. - Вып. 4. - С. 82 - 88.

3. Пукальський І.Д. Нелокальна задача оптимального керування для параболічних рівнянь // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. Науч. Тр. НАН Украины: Ин-т математики. - 1995. - С. 221 - 224.

4. Пукальський І.Д. Застосування функції Гріна до задач оптимізації об'ємних та поверхневих інтегралів // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1996. - Вип. 12. - С. 169 - 174.

5. Пукальський І.Д. Багатоточкова задача для параболічного рівняння з виродженням // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1997. - Вип. 16. - С. 246 - 255.

6. Пукальський І.Д. Багатоточкова задача з косою похідною для параболічного рівняння з виродженням // Крайові задачі для диференціальних рівнянь. Зб. наук. пр. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1998. - Вип. 2. - С. 231 - 240.

7. Пукальский И.Д. О функции Грина нелокальной краевой задачи с вырождениями // Дифф. уравнения. - 1998. - Т. 34, N 6. С. 838 - 840.

8. Пукальський І.Д. Нелокальна задача Неймана для параболічних рівнянь з виродженням // Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51, N 9. - С. 1232 - 1244.

9. Пукальський І.Д. Нелокальна задача Коші для параболічних рівнянь з виродженням // Вісник Національного ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна матем. - 2000. - N 411. - С. 275 - 280.

10. Пукальський І.Д. Функція Гріна параболічної крайової задачі і задача оптимізації // Укр. мат. журн. - 2000. - Т. 52, N 4. - С. 567 - 571.

11. Пукальский И.Д. Задача с косой производной для неравномерно параболического уравнения // Дифф. уравнения. - 2001. - Т. 37, N 12. - С. 1637 - 1645.

12. Пукальський І.Д. Одностороння нелокальна крайова задача для сингулярних параболічних рівнянь // Укр. мат. журн. - 2001. - Т. 53, N 11. - С. 1521 - 1531.

13. Пукальський І.Д. Функція Гріна нелокальної крайової задачі та задача оптимального керування // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, N 1. - С. 26 - 33.

14. Пукальський І.Д. Задача Діріхле для сингулярних еліптичних рівнянь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - Т. 45, N 2. - С. 42 - 48.

15. Пукальский И.Д. Нелокальные краевые задачи для неравномерно параболических уравнений // Дифф. уравнения. - 2003. - Т. 39, N 6. - С. 777 - 787.

16. Пукальський І.Д. Задача Коші для нерівномірно параболічних рівнянь з виродженням // Укр. мат. журн. - 2003. - Т. 55, N 11. - С. 1520 - 1531.

17. Пукальський І.Д. Загальна крайова задача для сингулярних параболічних рівнянь // Матем. студії. - 2003. - Т. 20, N 1 - С. 61 - 74.

18. Пукальський І.Д. Загальна крайова задача для параболічних рівнянь з виродженням // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т. 47, N 1. - С. 17 - 24.

19. Пукальський І.Д. Задача Коші для параболічних рівнянь з степеневими виродженнями // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т. 47, N 4. - С. 144 - 148.

20. Пукальський І.Д. Задача з косою похідною для сингулярних еліптичних рівнянь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2004. - Т. 47, N 2. - С. 116 - 123.

21. Пукальський І.Д. Одностороння крайова задача для сингулярних еліптичних рівнянь // Нелинейные граничные задачи. - 2004. Вып. 14. - С. 152 - 160.

22. Пукальський І.Д. Задача Коші для сингулярних параболічних рівнянь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, N 1. - С. 36 - 41.

23. Пукальський І.Д. Задача Діріхле та задача оптимального керування для лінійних параболічних рівнянь з виродженням // Матем. студії. - 2005. - Т. 23, N 2. - С. 179 - 190.

24. Пукальський І.Д. Задача з косою похідною та задача оптимального керування для лінійних параболічних рівнянь з виродженням // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, N 3. - С. 24 - 35.

25. Пукальский И.Д. Краевая задача для линейных параболических уравнений с вырождениями // Укр. мат. журн. - 2005. - Т. 57, N 3. - С. 377 - 387.

АНОТАЦІЯ

Пукальський І.Д. Крайові задачі для нерівномірно параболічних та еліптичних рівнянь з виродженнями і особливостями. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена побудові класів коректної розв'язності основних крайових задач для параболічних та еліптичних рівнянь з особливостями і виродженнями.

Досліджуються параболічні рівняння другого порядку зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою змінною у фіксований момент часу, та довільними просторовими змінними на деякій множині точок усередині області або на бічній межі, а також з нелокальною умовою за часовою змінною. Для таких рівнянь доведено коректну розв'язність першої крайової задачі, задачі з косою похідною, односторонньої крайової задачі та нелокальної задачі Коші.

Встановлено коректну розв'язність задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку з будь-якими степеневими особливостями за довільними змінними на межі області або на деякій множині усередині області.

Знайдено класи коректної розв'язності задачі Коші та крайової задачі для параболічних рівнянь порядку 2b (b > 1) зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою змінною у фіксований момент часу та будь-якими просторовими змінними у фіксованій точці області або на бічній межі області.

Одержані результати застосовано до задач оптимального керування системами, що описуються параболічними крайовими задачами у випадках внутрішнього, граничного та фінального керування.

Ключові слова: задача Діріхле, крайові задачі, нелокальна умова, оптимальне керування, виродження, особливості.

АННОТАЦИЯ

Пукальский И.Д. Краевые задачи для неравномерно параболических и эллиптических уравнений с вырождениями и особенностями. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена построению классов корректной разрешимости основных краевых задач для параболических уравнений с особенностями и вырождениями. В ней разработана методика исследования задач для уравнений с нарушением условия равномерной параболичности и эллиптичности, задач со степенными особенностями произвольного порядка по совокупности переменных в коэффициентах уравнений, задач со степенными вырождениями по каждой переменной в коэффициентах уравнений и краевых условий.

В диссертации впервые получены такие результаты:

1) для линейных параболических уравнений второго порядка со степенными особенностями произвольного порядка по временной переменной в фиксированный момент времени и пространственным переменным на некотором множестве точек внутри области или на боковой границе области установлены:

– условия существования, единственности и интегрального представления решения первой нелокальной краевой задачи, нелокальной задачи с косой производной и односторонней краевой задачи с нелокальным условием по временной переменной;

– необходимые и достаточные условия существования оптимального решения систем, которые описываются первой нелокальной краевой задачей с внутренним ограниченным управлением и интегральными критериями качества;

2) для линейных эллиптических уравнений второго порядка с произвольными особенностями в коэффициентах на границе области, или на некотором многообразии внутри области установлено корректную разрешимость задачи с условием Дирихле, задачи с косой производной, односторонней краевой задачи;

3) доказано корректную разрешимость задачи Коши и краевой задачи для линейного параболического уравнения порядка 2b (b > 1) со степенными особенностями произвольного порядка по временной переменной в фиксированный момент времени и пространственным переменным в фиксированной точке области;

4) найдены классы корректной разрешимости общей параболической краевой задачи с вырождениями в коэффициентах уравнений и краевых условий по пространственным переменным на границе области и временной переменной в фиксированный момент времени;

5) установлена корректная разрешимость равномерно параболической краевой задачи с нелокальным условием по временной переменной для уравнения порядка 2b и доказано критерии существования оптимального управления систем, описывающихся соответствующей нелокальной краевой задачей с финальным управлением и интегральными критериями качества;

6) исследованы задачи оптимального управления систем, описывающихся равномерно параболическими краевыми задачами для уравнений порядка 2b с внутренним и граничным ограниченным управлением и интегральными критериями качества.

Для обоснования результатов диссертационной работы модифицированы методы, разработанные при исследовании краевых задач для параболических и эллиптических уравнений с ограниченными коэффициентами, априорные оценки и разработана методика доказательств с учетом специфики вырождения и особенностей. Для этого построены весовые пространства Гельдера, весовые функции, в которых учитывается вырождение и особенности решения задачи.

Полученные в диссертации результаты и методика их доказательств существенно дополняют известные результаты для параболических и эллиптических уравнений, имеют теоретическое значение и могут быть использованы при дальнейших исследованиях свойств решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений, а также в теории дифференциальных уравнений и дифференциальных неравенств с частными производными, математической физики, вариационном исчислении и методах оптимизации.

Ключевые слова: нелокальные краевые задачи, априорные оценки, оптимальное управление, вырождение, степенные особенности.

ABSTRACT

Pukalsky I. Boundary problems for irregularly parabolic and elliptic equations with degeneration and peculiarities. Manuscript.

Dissertation for the Degree of Doctor of Physics and Mathematics in specialty 01.01.02 - differential equations. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences, Ukraine, Kyiv, 2006.

Dissertation deals with the construction of correct solvability classes of the basic boundary problems for parabolic and elliptic equations with degeneration and peculiarities.

Parabolic equations of second order with power peculiarities of an arbitrary order with respect to time variable at fixed moment and with nonlocal conditions and arbitrary space variables in some quantity of point inside a domain or on a collateral line are considered. Correct solvability of the first boundary problem, the boundary problem with inclined derivative, the one-side boundary problem and the nonlocal Cauchy's problem have been ascertained.

Correct solvability of the Dirichlet's problem, the problem with inclined derivative and the one-side boundary problem for the elliptic equations of the second order with power peculiarities of an arbitrary order with respect to any variables on a boundary line or inside a domain have been ascertained.

Correct solvability classes of Cauchy's problem and boundary problem for parabolic equations of 2b-order (b > 1) with power peculiarities of arbitrary order with respect to time variable in fixed point of a domain or on a boundary line of domain have been formed.

...