Конфігурації підпросторів у гільбертовому просторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дисертація присвячена вивченню наборів підпросторів гільбертового простору, таких, що кут між кожними двома підпросторами фіксований.

Системи S={H;H1,…,Hn} підпросторів H1,…,Hn у гільбертовому просторі H є цікавим математичним об'єктом, який має різноманітні застосування в математичній фізиці, лінійній алгебрі, функціональному аналізі тощо.

В скінченновимірному випадку такі задачі, як знаходження канонічного вигляду лінійного перетворення, знаходження канонічного вигляду аддитивного співвідношення є частковими випадками задачі про класифікацію четвірок підпросторів скінченовимірного простору, яка була розв'язана Л.О. Назаровою (1967 рік), І.М. Гельфандом та В.О. Пономарьовим (1970 рік).

В нескінченновимірному випадку задачу про унітарну класифікацію пар підпросторів у гільбертовому просторі розв'язали Ч. Девіс, П.Р. Халмош та ін. у 1969 році. З цих робіт, зокрема, випливає спектральна теорема для пари підпросторів: кожна пара підпросторів є інтеграл пар підпросторів з фіксованими кутами між ними.

Задача про унітарний опис систем n підпросторів при n3 є дикою. дикою є навіть задача про унітарний опис трійок підпросторів, два з яких ортогональні (С.А. Кругляк, Ю.С. Самойленко 1980 рік). Тому для того, щоб мати можливість описувати n-ки підпросторів у гільбертовому просторі потрібні додаткові умови. Однією з таких умов є фіксація кута ij між кожними двома підпросторами Hi та Hj з набору {H1,…,Hn}. Такі набори підпросторів ми будемо далі називати конфігураціями.

Якщо H -- комплексний сепарабельний гільбертів простір і Hi, Hj H -- його замкнені підпростори, будемо казати, що кут між Hi та Hj фіксований і дорівнює ij [0;/2], якщо для ортопроекторів PHi, PHj на ці підпростори маємо

PHi PHj PHi =cos2ij PHi та PHj PHi PHj =cos2ij PHj .

Конфігурації підпросторів зручно задавати за допомогою скінченного неорієнтованого графа Г без кратних ребер і петель з числами на його ребрах. Підпростори відповідають вершинам графа і кут між двома підпросторами задається числом i,j, що стоїть на відповідному ребрі. Якщо вершини не є суміжними, вважаємо, що відповідні підпростори є ортогональними.

Вивчення конфігурацій є вивченням зображень відповідних алгебр A,.

Розглянемо алгебру A в L(H) яка є замкненою відносно спряження (операторну алгебру). Якщо дана абстрактна алгебра A то одне з основних питань теорії лінійних зображень ( гомоморфізмів A в L(H) -- описати всі її незвідні *зображення, тобто інволютивні зображення A, з точністю до унітарної еквівалентності. Опис того чи іншого класу найпростіших (незвідних) зображень і відповідні спектральні теореми, які описують зображення як суми чи інтеграли незвідних, посідають важливе місце в арсеналі методів дослідження математичних і природничих задач. Схема застосування теорії зображень добре відпрацьована на симетрійних методах природознавства: пов'язати з операторним формулюванням задачі відповідну алгебру, дослідити її та її зображення і застосувати відповідні спектральні теореми.

Перші результати теорії зображень, зокрема теорії зображень алгебр, були одержані в кінці XIX -- на початку XX сторіччя Г. Фробеніусом, І. Шуром, В. Бернсайдом та ін.

Для групових алгебр структура виділяє унітарні зображення відповідних груп. Розвиток теорії зображень алгебр у 30-60 рр. XX сторіччя обумовлений значною мірою застосуваннями в теорії унітарних зображень груп і пов'язаний з вивченням операторних алгебр, зокрема C алгебр та W алгебр (Дж. фон Нейман, Дж. Діксм'є, І. М. Гельфанд, М. А. Наймарк, Д. А. Райков, А. А. Кирилов, І. Сігал та ін.).

Подальший розвиток теорії зображень алгебр пов'язаний з відкриттям у 80-х рр. квантових груп і квантових однорідних просторів (В. Г. Дрінфельд, М. Джимбо, С. Воронович, Л. Д. Фадєєв, С. Клімек, А. Лісневський та ін.) та їх застосуваннями у моделях математичної фізики, теорії спеціальних функцій, моделях q-квантової механіки, квантової теорії поля (Б. Зуміно, Дж. Весс, Е. Віттен, А. У. Клімик та ін.).

Сучасні роботи по теорії зображень алгебр значною мірою присвячені вивченню алгебр, заданих твірними і співвідношеннями, та їх зображень. Значна кількість прикладів таких алгебр пов'язана з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки (А.Макфарлейн, Л. Біеденхарн, С. Воронович, К. Шмюдген, П. Йоргенсен, Д. Фарлі та ін.), аніонними статистиками (Г. Голдін, В. Шарп, Р. Менікофф та ін.) і їх застосуваннями. Цікаві приклади алгебр та їх зображень, пов'язані з теорією вузлів, вивчалися у роботах В. Джонса, А. Окнеану, Х. Венцля, Р. М. Гріна та ін.

Алгебри A,, які вивчаються в роботі, є деформаціями фактор-алгебр групових алгебр груп Коксетера. Якщо граф є ланцюгом, то наша алгебра є фактор-алгеброю алгебри Темперлі-Ліба типу An.

Нехай Г -- скінченний неорієнтований зв'язний граф без кратних ребер і петель з n вершинами. Нехай -- розстановка чисел на його ребрах, і (i,j)=: i,j=j,i-- число, що стоїть на ребрі (i,j).

Означення 1.1.1 A, є алгебра з 1 над полем комплексних чисел C, задана твірними та визначальними співвідношеннями

A,=Cp1,…,pn pi2= pi*= pi;

pi pj pi= ijpi i pj pi pj=ij pj , якщо між вершинами i та j є ребро;

pi pj= pj pi=0, якщо між вершинами i та j ребра немає.

Вивченню таких алгебр та їх зображень присвячені роботи М.О. Власенко (2002-2004 рр.). Ряд робіт, в тому числі українських математиків, присвячено вивченню різноманітних задач теорії операторів за допомогою дослідження структури відповідної алгебри та її інволютивних зображень. В роботах С. А. Кругляка, В. Л. Островського, С. В. Поповича, В. И. Рабановича, Ю. С. Самойленка та ін. вивчалися алгебри Pn, породжені скінченною кількістю самоспряжених ідемпотентів, сума яких кратна одиниці, їх узагальнення P, та їх зображення. Вивчення зображень таких алгебр пов'язано із задачами Г. Вейля про можливі спектри операторів, сума яких кратна одиниці, П. Деліня-К. Сімпсона про можливі спектри добутків операторів із заданими спектрами, П. Халмоша про можливі спектри сум ортопроекторів тощо. В їх конструкціях виникли співвідношення, якими пов'язані твірні алгебр AГ,. Це стало мотивом для дослідження класу алгебр, породжених проекторами {Pi}, де кожні два Pi, Pj або ортогональні (PiPj= PjPi=0), або задовольняють хоча б одне зі співвідношень: PiPj Pi=Pi або PjPiPj=Pj.

Метою цієї роботи є вивчення конфігурацій підпросторів. Вивчити конфігурації означає вивчити з точністю до унітарної еквівалентності зображення алгебр AГ,, породжених твірними-проекторами, асоційованими з вершинами графа Г з розстановкою чисел на його ребрах. Перш за все, досліджується структура алгебри, її базис, розмірність тощо. Далі досліджуються зображення: 1) вивчаються множини значень параметрів ij, для яких нетривіальні зображення існують; 2) доводяться відповідні теореми опису усіх незвідних зображень алгебр. Зазначене вище свідчить про актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі функціонального аналізу. Дисертація пов'язана з роботою відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України за темою ДФФД 01.07/71 "Алгебраїчні питання функціонального аналізу та їх застосування", а також з темою DFG (Німеччина), проект 436 UKR 113/71.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є встановлення умов, при яких існують конфігурації підпросторів гільбертового простору, та їх опис з точністю до унітарного перетворення. Такі задачі зводяться до опису наборів проекторів {Pi}ni=1 які задовольняють певні співвідношення, а саме, співвідношення між твірними алгебри AГ,.

При досліджені використовувались методи аналізу та теорії операторів в гільбертовому просторі, методи теорії зображень та зображень, методи спектральної теорії графів тощо.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертації, які виносяться на захист:

1. Вивчено конфігурації підпросторів, які задаються графом n-1 (цикл довжини n3). А саме, знайдено лінійний базис алгебри , виписано умови на розстановку чисел на ребрах циклу, при яких існують нетривіальні зображення цієї алгебри, знайдено розмірності незвідних зображень і у виділених базисах просторів незвідних зображень виписані матриці операторів зображень твірних алгебри.

2. Знайдено умови на однопараметричну розстановку чисел на ребрах циклу, при яких існують відповідні конфігурації підпросторів.

3. Використовуючи спектральну теорію графів, описано множину значень параметра, при яких існують нетривіальні зображення алгебри AГ, у випадку, коли граф Г є довільним деревом.

4. Доведено теорему про рівність алгебр AГ,,1 алгебрам AГ, у випадку, коли граф Г є деревом певного вигляду.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати дисертації можуть бути використані при:

· подальшому вивченні деформацій фактор-алгебр групових алгебр груп Коксетера, та їх зображень;

· описі нерозкладних та транзитивних сімей підпросторів в гільбертовому просторі;

· побудові та дослідженні моделей статистичної механіки.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень та постановка задачі належать науковому керівникові. Основні результати дисертації отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Робота доповідалась на засіданнях семінарів Інституту математики НАН України, зокрема, на семінарі "Алгебраїчні питання функціонального аналізу" (керівник член-кореспондент НАН України Ю. С. Самойленко), на семінарі Інституту теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України " " (керівник професор А. У. Клімик), а також на математичних конференціях:

· 4-а міжнародна конференція "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" ("Симетрія в нелінійній математичній фізиці") Київ, Інститут математики НАН України, 23-29 червня 2001 р.

· 5-а міжнародна конференція "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" ("Симетрія в нелінійній математичній фізиці") Київ, Інститут математики НАН України, 23-29 червня 2003 р.

· 6-а міжнародна конференція "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" ("Симетрія в нелінійній математичній фізиці") Київ, Інститут математики НАН України, 23-29 червня 2005 р.

· Міжнародні кримські осінні математичні школи-сімпозіуми зі спектральних та еволюційних задач КРОМШ XVI, 17-29 вересня 2005, та КРОМШ XVII, 17-29 вересня 2006.

· Українсько-шведська конференція "Algebraic versus analytic representations", Київ, Інститут математики НАН України, 8-10 грудня 2005 р.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в роботах [1-6]. З роботи [2], написаної у співавторстві з М. Власенко, в дисертацію ввійшов результат, який належить автору особисто, про опис зображень алгебри, пов'язаної з циклом. Із спільної роботи [3] в дисертацію ввійшла одержана здобувачем теорема про рівність алгебр AГ,,1 та AГ, для деяких класів графів (див. розділ 3 дисертації). З роботи [6], написаної у співавторстві з науковим керівником, у текст дисертації увійшла теорема про опис множини , одержана здобувачем.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел і містить 104 сторінки друкованого тексту. Список використаних джерел містить 47 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Самойленку Юрію Стефановичу за постійну увагу і підтримку під час виконання роботи.

Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел.

У вступі подано огляд робіт, пов'язаних з темою дисертації, обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження та проведено стислу анотацію результатів.

У першому розділі вивчаються алгебри AГ, (означення 1.1.1), породжені самоспряженими ідемпотентами, які асоційовані з вершинами графа Г та залежать від набору параметрів ij. Вивчити конфігурацію підпросторів, пов'язану з графом Г, означає вивчити зображення відповідної алгебри AГ,. В пункті 1.3 дисертації наведено опис лінійного базису цих алгебр за допомогою техніки базисів Грьобнера (твердження 1.3.1 та наслідок 1.3.1). Для алгебри AГ,, асоційованої з графом Г, який є циклом з n вершинами, у пунктах 1.5 та 1.6 доведено відповідні теореми. Алгебра AГ, для графа-цикла задається таким чином:

A,=Cp0,…,pn-1 pi2= pi*= pi;

pi p pi= ipi i p pi p=i p ;

pi pj= pj pi=0, якщо i j1 .

Теорема 1.5.1 Нехай граф Г є циклом з n вершинами. Лінійний базис алгебри AГ, складається з наступних елементів, які відповідають шляхам без повернення у графі Г:

гільбертовий простір статистичний механіка

1;

p0, p1,…, pn-1;

p0p1, p1p2,…, pn-2pn-1, pn-1p0, p0pn-1, p1p0,…, pn-1pn-2;

p0p1p2, p1p2p3, …, pn-2pn-1p0, pn-1p0p1,

p0pn-1pn-2, p1p0pn-1,…, pn-1pn-2pn-3;

елементи довжини m:

p0p1…pm-2pm-1, p1p2…pm-1pm,…, pn-1p0…p,

p0pn-1…p, p1p0…p,…, pn-1pn-2…p,

Теорема 1.6.1. Нехай граф Г -- цикл. алгебра AГ, скінченновимірна як модуль над своїм центром.

Другий розділ присвячено вивченню конфігурацій підпросторів у гільбертовому просторі. Тобто вивчаються зображення алгебр AГ,. А саме: 1) визначаємо, при яких значеннях параметрів i,j існують нетривіальні зображення алгебри AГ,; 2) наводимо опис усіх незвідних зображень з точністю до унітарної еквівалентності.

Для графа-ланцюга An-1 та графа-циклу виділено базиси просторів незвідних зображень, в яких виписано матриці операторів зображень твірних pi алгебр AAn-1, та .

Нехай граф Г -- цикл довжини n, будемо позначати його . Розглянемо відповідну алгебру . Наступна теорема дає опис усіх нетривіальних незвідних зображень цієї алгебри.

Теорема 2.5.1 Нехай існує нетривіальне незвідне зображення алгебри в унітарному просторі H. Тоді можна вибрати ортонормований базис в H так, що в цьому базисі матриці операторів, що відповідають твірним алгебри, -- ортопроектори (pi)=Pi, i=0,…,n-1, виглядають таким чином:

P0=diag(1,0,…,0);

Pi=, i=1,…,n-2;

де t0=0, ti-1=.

Кількість нулів на діагоналі, які стоять вище, ніж ненульовий блок, дорівнює i-1. Останній ортопроектор має наступний вигляд:

Pn-1=

Коефіцієнти {bi:i=1,…,n-3} є дійсними числами і визначаються наступним чином:

bi=(-1)in-1

Число ”нумерує” зображення алгебри і є таким, що

І останнє число невід'ємне і дорівнює

В пункті 2.5.2 наведено умови на значення параметрів i, при яких алгебра має нетривіальні зображення.

Теорема 2.5.2Нетривіальні незвідні зображення алгебри існують тоді і тільки тоді, коли має місце один з таких двох випадків:

1) виконуються наступні нерівності:

Fi(0)>0, i=2,…,n-1 та

2) виконуються такі умови: Fi(0)>0, i=2,…,n-2, Fn-2(0)=, Fn-1(0)=0, i

(1-n-1) Fn-2(0)- 0n-1 Fn-4(2)0

Якщо n=3, покладаємо F-1(2) :=0.

В пункті 2.5.3 знайдено умови, при яких існують нетривіальні зображення алгебри у випадку, коли на ребрах циклу стоять рівні один одному числа i= i. Множину значень параметра , при яких існують нетривіальні зображення алгебри позначаємо .

Теорема 2.5.4 Нетривіальні зображення алгебри існують тоді і тільки тоді, коли

Також у цьому пункті роботи показано, що для деяких значень з цього проміжку маємо однопараметричну сім'ю незвідних нетривіальних зображень алгебри , а для деяких значень незвідне зображення єдине з точністю до унітарної еквівалентності. В залежності від значення розмірності зображень можуть дорівнювати n, n-1 або n-2.

Наслідок 2.5.5

1. Якщо 0<<1/4 , алгебра має однопараметричну сім'ю n-вимірних незвідних нееквівалентних зображень.

2. Якщо =1/4, алгебра має однопараметричну сім'ю n-вимірних незвідних нееквівалентних зображень та одне (n-1)-вимірне незвідне зображення.

3. Якщо 1/4<<1/(4cos2(/n)), алгебра має однопараметричну сім'ю n-вимірних незвідних нееквівалентних зображень та два (n-1)-вимірних незвідних нееквівалентних зображення.

4. Якщо =1/(4cos2(/n)), алгебра має єдине (n-2)-вимірне незвідне зображення з точністю до унітарної еквівалентності.

5. Якщо >1/(4cos2(/n)), алгебра не має нетривіальних зображень.

В пункті 2.7 розглядається випадок, коли на ребрах довільного графа-дерева стоять рівні один одному числа:i,j=. Вивчаються множини тих значень параметра , при яких існують нетривіальні зображення відповідних алгебр AГ,. Встановлено зручний вигляд множин за допомогою спектральної теорії графів. Детальні результати наведено для конфігурацій, пов'язаних з графами Динкіна An (n1), Dn (n4), E6, E7, E8 та розширеними графами Динкіна .

Наступна теорема дає опис множини у термінах індексу графа Г.

Теорема 2.7.2Нехай граф Г -- дерево з індексом r. Тоді

Як приклад застосування теореми 2.7.2, знайдено множини для Г--графів Динкіна.

Приклад 2.7.1

An=(0;1/(4cos2(/(n+1)))]; Dn=(0;1/(4cos2(/(2n-2)))];

E6=(0;1/(4cos2(/12))]; E7=(0;1/(4cos2(/18))];

E8=(0;1/(4cos2(/30))].

У цьому ж пункті перераховано деякі властивості множини (Г є деревом), які випливають з тверджень спектральної теорії графів і, зокрема, теореми Сміта.

Твердження 2.7.2 Нехай граф Г є деревом з n вершинами. Тоді

1. (0;1/(n-1)2 ] .

2. (0;1/(4cos2(/(n+1)))].

Твердження 2.7.3 Нехай Г -- дерево. Тоді

1. max >1/4 тоді і тільки тоді, коли Г є одним з наступних графів: An, Dn , E6, E7, E8.

2. max =1/4 тоді і тільки тоді, коли Г є одним з наступних графів: ~Dn , ~E6, ~E7, ~E8.

3. Для всіх інших дерев, які не є графами Динкіна та розширеними графами Динкіна, маємо, що max <1/4.

У третьому розділі в пункті 3.1 побудовано вкладення алгебри асоційованої з циклом у алгебру матриць над певним кільцем, причому це вкладення зберігає зірочку.

Нехай на ребрах циклу стоїть одне і те ж число (0;1/4). З циклом асоціюємо алгебру A~An-1,. Позначимо через =(1+(1-4)1/2)/2, =(1-(1-4)1/2)/2 і через Pi, i=0,…,n-1 (nn)-матриці

Побудуємо гомоморфізм : A~An-1, Mn(C[ei, e-i]) в такий спосіб: pi Pi на твірних, а далі доозначимо його очевидним чином. Тоді справедлива така теорема. Теорема 3.1.1 Гомоморфізм : A~An-1, Mn(C[ei, e-i]) є вкладенням, тобто ker ={0}. В пункті 3.2 вводиться новий, більш широкий класс алгебр A,,, породжених проекторами, які асоційовані з вершинами графа . Встановлено рівність алгебр з нового класу алгебрам з попереднього класу у випадку графів-дерев з додатковою умовою (теорема 3.2.1). Показано, що умова на граф є змістовною. Теорема про рівність дозволяє застосовувати до цих алгебр теореми з попередніх розділів. Нехай граф є деревом з множиною вершин 0 (|0|=n), множиною ребер 1 та з розстановкою чисел на його ребрах. Нехай k та m -- вибрані несуміжні вершини графа. Дамо означення алгебр нового класу. Означення 3.2.1 A,, є алгебра з 1 над полем комплексних чисел, породжена проекторами p1,…,pn , які задовільняють співвідношення:

pi pj pi= ijpi та pj pi pj=ij pj , якщо (i,j)1;

ps pt= pt ps, якщо (s,t) 1 i (s,t)(k,m),(m,k),

pkpm= pmpk=0.

Теорема 3.2.1 Нехай Г -- дерево. Якщо відстань між будь-якою парою висячих вершин більша ніж два, то алгебри A,, і A, співпадають.

Наслідок 3.3.2 Якщо в дереві Г вважати вибраними r пар несуміжних вершин, то можна аналогічним чином вводити алгебру A,,r і одержувати аналогічні теореми у випадку, коли Г -- таке дерево, як в теоремі 3.2.1.

Зауваження 3.3.1 Якщо у дереві допускається існування маршрутів довжини 2 між висячими вершинами, теорема 3.2.1 перестає бути вірною.

Наприклад, нехай Г=Dn+2 (n3) і =1/4. І нехай вершини 1 та n+1 вибрані. Тоді A,, A, .

Твердження теореми 3.2.1 можна поширити на інші класи графів.

Твердження 3.3.1 Нехай Г-- цикл довжини n (n5) . Тоді A,,= A,.

Висновки

В роботі вивчаються набори підпросторів гільбертового простору таких, що кут між кожними двома підпросторами фіксований.

Вивчено конфігурації підпросторів, які задаються графами-деревами та уніциклічними графами. Сформульовано умови на параметри, при яких існують відповідні нетривіальні конфігурації. Вивчення конфігурацій є вивченням зображень відповідних алгебр A,. Наведено опис лінійного базису цих алгебр. Для графа-цикла n-1 доведено відповідні теореми про розмірність алгебри і виписано її лінійний базис.

Зроблено повний опис усіх незвідних зображень алгебри з точністю до унітарної еквівалентності та знайдено умови на параметри-”кути”, при яких нетривіальні зображення існують. За допомогою спектральної теорії графів, для алгебр, асоційованих з довільними деревами, на ребрах яких стоять рівні один одному числа, встановлено зручний вигляд множин допустимих значень праметра. Детальні результати наведено для конфігурацій, пов'язаних з графами Динкіна An, Dn , E6, E7, E8 та розширеними графами Динкіна .

Побудовано вкладення алгебри, асоційованої з циклом, у алгебру матриць над певним кільцем, причому вкладення зберігає зірочку. Введено новий, більш широкий клас алгебр, породжених проекторами, асоційованими з вершинами графа. Встановлено рівність алгебр з нового класу алгебрам з попереднього класу для дерев з додатковою умовою. Показано, що умова на граф є обгрунтованою.

Список опублікованих робіт

1. Popova N.D. On finite-dimensional representations of one algebra of Temperley-Lieb type // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2001. - 7, N.3. - P.80-92.

2. Власенко М.А., Попова Н.Д. О конфигурациях подпространств гильбертова пространства с фиксированными углами между ними// Укр. Мат. Журн. - 2004. - 56, № 5 - С.606-615.

3. Иванов С.В., Москальова Ю.П., Попова Н.Д. О наборах проекторов с соотношениями типа Темперли-Либа, коммутации и ортогональности// Динамические системы. - 2005. - Вып.19. - С.191-198.

4. Popova N. On one algebra of Temperley-Lieb type // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 43, Part 2. - 2002. - P.486-489.

5. Popova N. On representations of one deformed quotient of affine Temperley-Lieb algebra // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 50, Part 3. - 2004. - P.1169-1171.

6. Popova N.D., Samoilenko Yu.S. On the Existence of Configurations of Subspaces in a Hilbert Space with Fixed Angles// J. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2006. - 2, Paper 055. - P.1-5.

Размещено на Allbest.ru