Повнота системи кореневих векторів для деяких класів звичайних диференціальних операторів

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 517.948

01.01.01- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Про повноту системи кореневих векторів для деяких класів звичайних диференціальних операторів

Оридорога Леонід

Леонідович

Донецьк - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому національному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Маламуд Марк Михайлович, доцент кафедри математичного аналізу і теорії функцій Донецького національного університету.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Шкаліков Андрій Андрійович, професор кафедри теорії функцій і функціонального аналізу Московського державного університету ім. М.В.Ломоносова. доктор фізико-математичних наук, професор,Агранович Михайло Семенович,професор кафедри математичного аналізу Московського державного інстітуту електроніки і математики.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ,
відділ диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Захист відбудеться “ 2 ” жовтня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург,74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “ ” 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради О.А. Довгоший

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У дисертаційній роботі вивчається повнота та базисність систем власних та приєднаних функцій диференціальних операторів.

Актуальність теми. Вивчення спектральних задач, що породжені звичайними диференційними рівняннями, є дуже важливим як з точки зору внутрішнього розвитку спектральної теорії, так і в зв'язку з розвитком інших природничих наук. До задач, що найбільш активно досліджуються, відноситься повнота систем власних та приєднаних функцій для різних класів крайових задач. Дослідження крайових задач почалося з робот Дж.Біркгофа та Я.Д.Тамаркіна, в яких було введено поняття регулярних та підсилено регулярних крайових задач. Для цих задач було досліджено асимптотичну поведінку власних чисел та доведено повноту систем власних та приєднаних функцій, а у випадку підсилено регулярних задач було доведено також теорему про розкладення гладких функцій в ряд за системою власних та приєднаних функцій задачи.

Пізніше, одночасно і незалежно В.П.Михайловим, Г.М.Кесельманом та Н.Данфордом і Дж.Шварцем, було доведено базисність Ріса для систем власних та приєднаних функцій підсилено регулярних крайових задач. В недавніх роботах С.Салафа та А.М.Мінкіна було доведено регулярність самоспряжених та дисипативних крайових задач.

Новий етап дослідження питань повноти систем власних та приєднаних функцій різних класів несамоспряжених операторів пов'язаний з роботами М.В.Келдиша. Результати М.В.Келдиша підсилювались та уточнювалися багатьма авторами, серед яких Б.В.Лідський, Дж.Е.Алахвердієв, А.С.Маркус, В.І.Мацаєв, В.Е.Кацнельсон, Ю.О.Палант, В.С.Агранович, А.Г.Костюченко, А.А.Шкаліков та ін. Ці автори застосовували отримані абстрактні результати про повноту систем власних та приєднаних функцій компактних операторів також до різних класів диференційних операторів, як звичайних, так і в часткових похідних.

Питання повноти систем власних та приєднаних функцій нерегулярних крайових задач для рівняння n-го порядку вивчались М.В.Келдишем, А.А.Шкаліковим, А.П.Хромовим, Г.В.Родзієвським, А.М.Гомілко, А.Г.Костюченко, Оразовим та ін. Так, повноту системи власних та приєднаних функцій для крайової задачи з крайовими умовами, що розпадаються, що була анонсована М.В.Келдишем ще в 1951 р., вперше було доведено А.А.Шкаліковим в 1976 р.

Повноту систем власних та приєднаних функцій для систем диференційних рівнянь досліджувались М.А.Наймарком, Л.М.Лужиною, І.М.Гінзбургом та ін. Але для систем ці питання вивчені значно менше, ніж для звичайних диференційних рівнянь. Так, навіть питання повноти систем власних та приєднаних функцій загальної крайової задачи для системи Дірака не були досліджені.

У зв'язку з цим є дуже важливим вивчення спектральних властивостей систем диференційних рівнянь, зокрема питань повноти систем власних та приєднаних функцій для систем типу Дірака.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми Г-02.40 “Теорія функцій та операторів” (згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету).

Мета і задачі дослідження. Перша задача дослідження -- одержати достатні умови (в термінах крайових умов), за яких система власних та приєднаних функцій (СВПФ) крайової задачи вигляду

,

є повною в просторі . У випадку -системи типа Дірака отримати також достатні умови базисності та теорему про рівнозбіжність.

Друга мета дослідження -- одержати умови, за яких СВПФ крайової задачи, породженої -системою типа Дірака із квадратичними крайовими умовами, що задані на відрізку , є повною у просторі .

Третя мета -- дослідження асимптотичної поведінки розв'язків диференційних рівнянь дробового порядку та доведення повноти СВПФ крайової задачи із крайовими умовами, що розпадаються, для цього рівняння.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації одержані такі нові результати:

Отримано достатні умови повноти СВПФ крайової задачи для -систем диференційних рівнянь першого порядку.

Отримано достатні умови базисності СВПФ крайової задачи для -систем диференційних рівнянь першого порядку з крайовими умовами, що розпадаються.

Отримано теорему про рівнозбіжність для -систем диференційних рівнянь першого порядку з крайовими умовами, що розпадаються.

Отримано асимптотику розв'язків диференційних рівнянь дробового порядку (аналог теореми Біркгофа).

Отримано достатні умови повноти СВПФ крайової задачи для диференційних рівнянь дробового порядку.

Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер, а її методи знаходять застосування у загальній теорії крайових задач для звичайних диференційних рівнянь та рівнянь із частковими похідними.

Особистий внесок здобувача. Результати другого розділу опубліковані у роботі [3]. Результати третього розділу опубліковані у роботі [1]. Результати четвертого розділу опубліковані у роботах [2], [5]-[8]. Результати п'ятого розділу опубліковані у роботі [4]. Теореми 2.3.1, 2.4.1 другого та теорема 5.3.1 п'ятого розділу були отримані разом з науковим керівником М.М. Маламудом. Решта результатів другого, третього, четвертого та п'ятого розділів одержані здобувачем особисто. Науковому керівникові М.М. Маламуду належить також постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались на десятій літній петербурзській конференції з математичного аналізу в 2001 р.; на Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах “Спектральні та еволюційні задачі”, 1997, 1998, 2000, 2002 рр.

В цілому результати дисертації доповідались на семінарі з нелінійного аналізу Інституту прикладної математики та механіки НАН України в 1999, 2000 рр.(кер. академік НАН України І.В.Скрипник), та в 2006 р. (кер. д.ф.-м.н. А.Є.Шишков, д.ф.-м.н. О.А.Ковалевський), а також неодноразово на семінарі з теорії операторів Донецького національного університету (кер. доц. М.М.Маламуд).

Частково результати дисертації було оформлено у вигляді наукової роботи, яка отримала Премію Національної академії наук України на конкурсі за кращу наукову роботу серед молодих вчених, секція математики, 2001 (рішення Президії НАНУ від 28.02.2001).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 8 статтях [1]-[8], які увійшли до видань, включених у перелік ВАК України, та 3 тезах доповідей на конференціях [9]-[11].

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел, викладена на 143 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 89 найменувань.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, подано короткий аналіз сучасного стану проблеми, сформульовано мету та задачі дослідження, наукову новизну, практичне значення отриманих результатів, апробацію та зміст роботи.

У другому розділі досліджуються системи диференціальних рівнянь першого порядку.

,

тут , , ; де і , , , .

Системи вигляду (1) (у випадку , ) з'являються в теорії N-хвиль (див. монографію В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский “Теория солитонов: метод обратной задачи” та список літератури в ній). Зворотні задачи для таких систем останнім часом також активно вивчалось. В окремому випадку система (1) це система Дірака. У випадку , де до системи (1) (із ) локально зводитьсяя рівняння n-го степеню

В підрозділі 2.2 для них доводиться наступний аналог теореми Біркгофа про ріст розв`язків.

Лема 1. Нехай -- попарно різні комплексні числа.

Тоді комплексна площина може бути розбита на не більше ніж секторів , в кожному з яких числа можуть бути впорядковані таким чином, що для всіх виконуються нерівності

.

Теорема 2.2.1 Нехай -- невироджена діагональна матриця, в якій при , -- блочна матриця-функція, з елементами в якій , .

Нехай, при цьому, числа -- впорядковані в секторі як у нерівності (2).

Тоді, при досить великому , система (1) в області має систему линійно незалежних матричних розв'язків

, де

аналітичних по і таких, що

За допомогою оцінок (3) в другому розділі доводяться теореми про повноту СВПФ крайової задачи для систем вигляду (1) із загальними крайовими умовами:

.

В підрозділі 2.3 розглядається несамоспряжений випадок.

Для того, щоб зформулювати основний результат нам буде потрібна наступна конструкція. Нехай -- діагональна матриця з (не обов'язково різними) елементами , що не лежать на уявній осі, .

Для довільних матриць , побудуємо матрицю таким чином: -ий стовпчик в матриці співпадає з -им стовпчиком матриці , якщо ; і з -им стовпчиком матриці , якщо .

Зрозуміло, що .

Нагадаємо, що система векторів в нормованому просторі називається мінімальною, якщо жоден з векторів цієї системи не лежить в лінійній оболонці інших векторів. Добре відомо, що мінімальність системи векторів рівносильна існуванню біортогональної системи.

Теорема 2.3.1 Нехай існують комплексні числа такі, що одночасно виконуються умови:

(a) ноль -- внутрішня точка трикутника ;

(b) , .

Тоді СВПФ оператора вигляду (1), (4) повна та мінімальна в просторі .

У доведенні теореми 2.3.1 використовуються деякі ідеї з роботи А.А. Шкалікова

Наведемо кілька прикладів крайових умов, що задовльняють умови теореми 2.3.1.

Приклад 2. Нехай -- довільна невироджена матриця, а , де матриця така, що що всі її головні мінори невироджені. В такому випадку матриця невироджена для кожної матриці . Тому невироджена також матриця .

Приклад 3. Окремим випадком упов, що описані в прикладі 2, є періодичні крайові умови

 ,

або в більш загальному випадку

,

де всі

В наведених прикладах незалежно від . Наведемо також приклади коли не при всіх , але умови теореми 2.3.1 виконуються.

Приклад 4. Нехай , а крайові умови мають вигляд

де всі коефіцієнти відмінні від 0. Тоді матриця невироджена при , але є виродженою при

Приклад 5. Нехай , а крайові умови мають вигляд

де всі коефіцієнти відмінні від 0. Тоді матриця невироджена при , але є виродженою при

З теореми 2.3.1 отримуємо наступний наслідок.

Наслідок 1. Нехай існує таке комплексне число , для якого одночасно і .

Тоді СВПФ оператора вигляду (1), (4) повна і мінімальна в просторі

В підрозділі 2.4 розглянуто самоспряжений випадок, тобто випадок, в якому , (іншими словами всі є дійсними числами).

В цьому випадку умови теореми 2.3.1 значно спрощуються.

Для того, щоб зформулювати основний результат введемо спектральні проектори та на додатну і від'ємну частину спектру оператора відповідно.

Позначим

та .

Теорема 2.4.1 Нехай . Тоді, якщо

та ,

то СВПФ оператора вигляду (1), (4) повна і мінімальна в просторі .

Наслідок 2. Нехай і задовольняють умову .

Тоді СВПФ оператора вигляду (1), (4) повна і мінімальна в просторі .

При цьому покакзано, що у випадку нульвих потенціалів і умови теореми 2.4.1 є не тільки достатніми, але й необхідними, для повноти СВПФ задачи (1), (4). А саме, має місце наступна теорема.

Теорема 2.4.2. Нехай і . Тоді, якщо

(або ),

то СВПФ оператора вигляду (1), (4) неповна в просторі . При цьому її дефект є нескінченим.

В третьому розділі вивчається повнота систем власних та приєднаних функцій систем вигляду

,

де , , , , .

При цьому застосовується існування трикутних операторів перетворення, побудованих для загальних систем вигляду (1) в роботі М.М. Маламуда. Для систем вигляду (5) трикутні оператори перетворення мають вигляд

де -- розв'язок задачи Коші для системи (5) із початковими умовами

а

-- розв'язок задачи Коші для системи

 із початковими умовами (6).

В підрозділі 3.2 для систем вигляду (5), за допомогою трикутних операторів перетворення, отримано теорему про асимптотику розв`язків та , що задовольняють початкові умови

та .

А саме, показано що такі розв`язки задовольняють наступні асимптотичні формули:

, .

, .

Також показано, що якщо функції та є неперервно диференційовними, то формули (7) та (8) можна посилити. А саме, в такому випадку розв`язки та задовольняють наступні асимптотичні формули: асимптотичний диференційний рівняння дробовий

, .

, .

В підрозділі 3.3 за допомогою оцінок (7) та (8) та з використанням трикутних операторів перетворення доведено теорему про повноту СВПФ оператора (5) із загальними крайовими умовами:

Назвемо крайові умови вигляду (11) невиродженими, якщо

Теорема 3.3.1. СВПФ задачи (5), (11) повна в просторі , якщо крайові умови (11) невироджені.

Теорема 3.3.1 є окремим випадком теореми 2.3.1, але ми наводимо інше доведення, елементи якого використовуються далі, в четвертому розділі.

Для оператора (5) із крайовими умовами, що розпадаються

у випадку, якщо функції та є неперервно диференційовними за допомогою оцінок (9), (10) доведено лему про асимптотичну поведінку власних чисел.

Лема 4. Якщо функції та є неперервно диференційовними та , то власні числа крайової задачи (5), (12) можна впорядкувати таким чином, що

, де .

Зокрема, з цієї леми випливає, що всі (можливо за винятком скінченої кількості) власні значення крайової задачи (5), (12) є простими.

За допомогою цієї леми та трикутних операторів перетворення доведено наступну теорему про рівнозбіжність.

Теорема 3.3.2. Нехай функції та є неперервно диференційовними та . Тоді

(1) СВПФ задачи (5), (12) утворює базис в просторі .

(2) Розкладення вектор-функції має вигляд

і ряд (13) є рівномірно рівнозбіжним із рядом

,

де , та .

Ця теорема є аналогічною до відоиого результату про рівнозбіжність для рівнянь Штурма-Ліувіля, наведеного в книзі В.А.Марченко.

В четвертому розділі вивчається повнота систем власних та приєднаних функцій систем вигляду (5) із лінійними та нелінійними крайовими умовами, що залежать від спектрального параметру .

В підрозділі 4.2 за допомогою оцінок (7) та (8) та з використанням трикутних операторів перетворення доведено теореми про повноту СВПФ оператора (5) із трьома різними типами крайових умов:

Теорема 4.2.1. Нехай поліноми , де , такі, що при кожному ранг матриці дорівнює двом. Нехай, крім того, , де

і .

Тоді СВПФ задачи (5) із крайовими умовами

повна в просторі .

Більше того, нехай множина , що містить власних і приєднаних функцій оператора (5), (14) задовольняє наступну умову:

Якщо містить деяку власну або приєднану функцію, що відповідає власному значенню , то разом із нею вона містить і всі приєднані функції, , що відповідають тому ж власному значенню і мають вищий порядок.

Тоді СВПФ задачи (5), (14) без множини також повна в просторі .

Теорема 4.2.2. Нехай поліноми та взаємно прості і . Нехай поліноми , та такі, що і при кожному .

Тоді СВПФ задачи (5) із крайовими умовами

повна в просторі .

Більше того, нехай множина , що містить власних і приєднаних функцій оператора (5), (15) задовольняє наступну умову:

Якщо містить деяку власну або приєднану функцію, що відповідає власному значенню , то разом із нею вона містить і всі приєднані функції, , що відповідають тому ж власному значенню і мають вищий порядок.

Тоді СВПФ задачи (5), (15) без множини також повна в просторі .

Теорема 4.2.3. Нехай поліноми , де , такі, що при кожному ранг матриці дорівнює двом. Нехай, крім того, , де

і ,

.

Тоді СВПФ задачи (5) із крайовими умовами



повна в просторі .

Більше того, нехай множина , що містить власних і приєднаних функцій оператора (5), (16) задовольняє наступну умову:

Якщо містить деяку власну або приєднану функцію, що відповідає власному значенню , то разом із нею вона містить і всі приєднані функції, , що відповідають тому ж власному значенню і мають вищий порядок.

Тоді СВПФ задачи (5), (16) без множини також повна в просторі .

Теореми 4.2.2 і 4.2.3 є аналогічними до результатів для рівнянь Штурма-Ліувіля, що отримані в роботах Є.І.Тарапової.

В підрозділі 4.3 розглянуто оператор (5) із крайовими умовами, що розпадаються

.

З теореми 4.2.1 випливає, що СВПФ оператора (5), (17) повна, якщо поліноми та взаємно прості і і, крім того, поліноми та також взаємно прості і .

В цьому випадку доведено лему, що є аналогічною, до леми 4 розділу 3.

Лема 6. Нехай функції та є неперервно диференційовними. Нехай поліноми та взаємно прості і . Нехай крім того поліноми та також взаємно прості і .

Позначимо - старший коефіцієнт многочлена . Позначимо і .

Нехай -- множина, що містить (із урахуванням кратності) власних чисел задачи (5), (17).

Тоді всі інші власні числа (із урахуванням кратності) крайової задачи (5), (17) можна впорядкувати таким чином, що

, де .

За допомогою леми 6 та оцінок (9)-(10) доводиться теорема про базисність Ріса крайової задачи (5), (17).

Теорема 4.3.1. Нехай функції та є неперервно диференційовними. Нехай поліноми та взаємно прості і . Нехай, крім того, поліноми та також взаємно прості і . Нехай -- множина, що містить власних та приєднаних функцій оператора (5), (17) і така, що СВПФ задачи (5), (17) без множини повна в просторі .

Тоді СВПФ задачи (5), (17) без множини утворює базис Ріса в просторі .

З теорем 3.3.1 та 4.3.1 отримуємо наступний наслідок.

Наслідок 3. Якщо функції та є неперервно диференційовними та , то СВПФ задачи (5), (12) утворює базис Ріса в просторі .

У випадку системи Дірака (тобто коли виконуються умови (18)) цей результат підсилює результат теореми 3.3.1 (1), що надрукований раніше в роботі автора [1]. Наслідок 3 узагальнює результат І.Трушина і М.Ямомото, і співпадає з ним при умовах (18).

В п'ятому розділі розглядаються системи власних та приєднаних функцій операторів дробового порядку

де -- оператор дробового диференціювання

,

де -- оператор дробового інтегрування

,

В підрозділі 5.2 досліджується асимптотична поведінка фундаментальної системи розв'язків для рівняння

.

Зокрема, у випадку коли всі доведено наступну лему.

Лема 7. Нехай , і . Тоді у рівняння

.

існує фундаментальна система розв'язків , що задовольняє наступні асимптотичні оцінки:

, при

, при

, при

, при ,

де через позначено корені степеню з 1: .

При цьому асимптотика розв'язків суттєво відрізняється від випадку цілого порядку (тобто випадку ), в якому фундаментальну систему розв'язків утворюють експоненти, і асимптотика розв'язків що спадають є експоненціальною, а не поліноміальною.

За допомогою леми 7 доведено теорему про асимптотику фундаментальної системи розв'язків рівняння (19).

Позначимо через число .

Теорема 5.2.1. Нехай , і всі . Тоді в кожному з секторів

; ;

; ;

у рівняння (19) існує фундаментальна система розв'язків , що задовольняє наступні асимптотичні оцінки:

,

.

Ця теорема є аналогом відомої теореми Біркгофа (див. також книгу М.А.Наймарка) про швидкість росту розв'язків диференціального рівняння n-го порядку.

В підрозділі 5.3 доводиться повнота СВПФ для рівняння (19) із граничними умовами, що розпадаються:

.

В цьому випадку доведено наступну теорему про повноту СВПФ.

Теорема 5.3.1. Нехай , всі -- аналітичні функції і . Тоді СВПФ задачи (19), (20) повна в просторі .

Теорема 5.3.1 є аналогом теореми А.А.Шкалікова про повноту СВПФ для рівнянь n-го порядку з крайовими умовами що рзпадаються. В доведенні теореми 5.3.1 використовуються ідеї з роботи А.А.Шкалікова9, а також трикутні оператори перетворення, побудовані для диференціальних операторів дробових порядків М.М.Маламудом.

ВИСНОВКИ

В дисертації досліджуються умови повноти системи власних та приєднаних функцій для деяких диференціальних операторів.

Всі результати одержані в дисертації є новими, а саме:

1. Для крайової задачи для -системи диференціальних рівнянь першого порядку : а) отримано теореми про асимптотичну поведінку розв'язків (аналог теореми Біркгофа); б) отримано достатні умови повноти систем власних та приєднаних векторів в термінах крайових умов; в) показано, що у випадку самоспряженої матриці при нульових потенціалах і показано, що отримані умови є нтільки достатніми, але й необхідними.

2. Для крайової задачи для -системи типу Дірака (, де ): а) у випадку невироджених крайових умов що розпадаються доведено базисність Ріса системи власних та приєднаних функцій і теорему про рівномірну рівнозбіжність із розкладенням по власним функціям такой же крайової задачи рівняння із нульовими потенціалами та ; б) при квадратичних крайових умовах, заданих на відрізку , доведено повноту на більшому відрізку, а саме в просторі .

3. Для диференціального оператора дробового порядку а) отримано теореми про асимптотичну поведінку розв'язків (аналог теореми Біркгофа); б) у випадку крайових умов що розпадаються доведено повноту систем власних та приєднаних векторів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО У ПРАЦЯХ

Оридорога Л.Л. Теоремы полноты для некоторых систем второго порядка линейных интегро-дифференциальных уравнений // Труды Института Прикладной Математики и Механики НАН Украины. - 1999. - Т.4. - С.127-133.

Оридорога Л.Л. Про повноту систем власних та приєднаних функцiй деяких систем лiнiйних iнтегро-диференцiальних рiвнянь // Доповiдi НАН України. - 1999. - №8. - P.24-28.

Maлaмуд M.M., Oридoрoгa Л.Л. Теоремы полноты для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Функциональный анализ и его приложения. - 2000. - Т.34. - №3. - С.88-90.

Malamud M.M., Oridoroga L.L. Analog of the Birkhoff theorem and completeness results for fractional order differential equations // Russian Journal of Math. Physics. - Vol.8. - 2001. - №3. - P.287-308.

Oridoroga L.L. Boundary-Value Problems for the Second-Order Dirac-Type Systems with Boundary Conditions Depending on a Spectral Parameter // Доповiдi НАН України. - 2001. - №3. - P.34-39.

Oridoroga L.L. Boundary Value Problems for Dirac Type Systems with Spectral Parameter in Boundary Conditions // Methods of Functional Analysis and Topologi. - 2001. - Vol.7. - №1. - P.82-87.

Оридорога Л.Л., Хасси С. Теоремы полноты для операторов типа Дирака с граничными условиями общего вида, зависящими от спектрального параметра // Мат. Заметки. - 2003. - Т.74. - №2. - С.316-320.

Оридорога Л.Л., Хасси С. Полнота и базисность Рисса ССПФ операторов типа Дирака с граничными условиями, зависящими от спектрального параметра // Мат. Заметки. - 2006. - Т.79. - №4. - С.636-639.

Oridoroga, L.L. On Completeness of Eigen- and Associated Function of some Boundary Value Problems // (KROMSH-VII). - 1997. - Simferopol, Crimea, Ukraine. - P.118-120.

Oridoroga, L.L. On Completeness of Systems of Eigenfunctions for Some Boundary Value Problems // (KROMSH-VIII). - 1998. - Simferopol, Crimea, Ukraine. - P.195-197.

Oridoroga, L.L. Boundary Value Problems for Second-order Dirac Type Systems with Spectral Depending Boundary Conditions // (KROMSH-X). - 2000. - Simferopol, Crimea, Ukraine. - P.137-140.

АНОТАЦІЇ

Оридорога Л.Л. Про повноту системи кореневих векторів для деяких класів звичайних диференціальних операторів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 _ математичний аналіз. _ Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

В диссертаційній роботі розглядаются крайові задачи для -систем диференціальних рівнянь вигляду

.

Для них отримано теорему про асимптотичну поведінку розв'язків (аналог теореми Біркгофа) та достатні умови повноти систем власних та приєднаних векторів. Для випадку -систем типу Дірака з крайовими умовами, що розпадаються, доведено не тільки повноту, але і базисність Ріса систем власних та приєднаних векторів і теорему про рівномірну рівнозбіжність із розкладенням по власним функціям тієї самої крайової задачи рівняння (*) із та . Крім того, для -систем типу Дірака показано кратну повноту системи власних та приєднаних векторів задачи із квадратичними крайовими умовами, залежними від спектрального параметру . В п'ятій главі дисертаційної роботи досліджуються крайові задачи для рівнянь дробового порядку вигляду

.

Для рівняння (**) доведено аналог теореми Біркгофа та теорему про повноту кореневих векторів крайової задачи у випадку крайових умов, що розпадаються.

Ключові слова: повнота, базисність, кореневий підпростір, система власних та приєднаних функцій, диференціальний оператор, крайові умови, рівнозбіжність.

Оридорога Л.Л. О полноте системы корневых векторов для некоторых классов обыкновенных дифференциальных операторов. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 _ математический анализ. _ Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2006.

В диссертационной работе рассматриваются граничные задачи для нескольких типов дифференциальніх операторов.

1. -системы дифференциальных уравнений вида

.

Здесь , , ; где і , , , .

Для системы (*) доказана теорема об асимптотике решений (аналог теоремы Биркгофа). Далее, с применением этой теоремы, получены достаточные условия полноты систем собственных и присоединённых векторов граничной задачи для оператора (*) в терминах граничных условий. В случае самосопряжённой матрицы при нулевых потенциалах и показано, что найденные условия не только достаточные, но и необходимые.

2. -системы типа Дирака -- системы вида (*), в которых , где .

При разделяющихся граничных условиях, для -систем типа Дирака, доказана не только полнота, но и базисность Рисса систем собственных и присоединённых векторов, а также теорема о равномерной равносходимости с разложением по собственным функциям такой же граничной задачи уравнения (*) с и .

Кроме того, для -систем типа Дирака рассматриваются квадратичные граничные условия, заданные на отрезке :

При этом показана полнота системы собственных и присоединённых функций на большем отрезке, а именно в пространстве .

3. Уравнения дробного порядка вида

.

Для уравнения (**) доказана теорема об асимптотике решений (аналог теоремы Биркгофа). При этом показано, что асимптотика существенно отличается от асимптотики решений уравнений целых порядков (т.е. от случая ), для которых фундаментальную систему решений образуют экспоненты. В случае уравнения дробного порядка асимптотика убывающих решений не экспоненциальная, а полиномиальная. Также для уравнения (**) доказана теорема о полноте корневых векторов граничной задачи в случае разделяющихся граничных условий.

Ключевые слова: полнота, базисность, корневое подпространство, система собственных и присоединённых функций, дифференциальный оператор, граничные условия, равносходимость.

Orydoroga L.L. On completeness of the root vector systems for some classes of ordinary differential operators. _ Manuscript.

Thesis for candidate's degree (physical and mathematical sciences) by specialty 01.01.01 - mathematical analysis. _ The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2006.

In the dissertation, we consider boundary value problems for -systems of differential equations of the form

.

For these systems, we obtain both a theorem on the asymptotic behavior of their solutions (an analogue of the Birkhoff theorem), and sufficient conditions for the completeness of systems of eigenfunctions and associated functions. In case of the Dirac type -systems with splitting boundary conditions we prove not only the completeness but also the Riesz basis property for systems of eigenfunctions and associated functions, and for these systems we prove a theorem on the uniform equiconvergence with an expansion on eigenfunctions of the same boundary value problem for equation (*) with and . Furthemore, for the Dirac type -systems we also show the multiple completeness of the system of eigenfunctions and associated functions of a problem with nonlinear boundary conditions depending on a spectral parameter . In the 5th chapter of the dissertation we investigate boundary value problems for the fractional order differential equations of the form

.

For equation (**), we prove both an analogue of the Birkhoff theorem and a theorem on the completeness of root vectors of a boundary value problem in case of splitting boundary conditions.

Key words: completeness, basis property, root subspace, system of eigenfunctions and associated functions, differential operator, boundary conditions, equiconvergence.

Размещено на Allbest.ru

...