Модель Бельтрамі-Клейна
Поняття та геометрична сутність площини Лобачевського. Перевірка аксіоми моделі Бельтрамі-Клейна. Властивості кола, навколо якого описаний трикутник. Відношення довжин відрізків, проведених через коло в одній площині, аналіз фактів евклідової геометрії.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 22.12.2015 |
| Размер файла | 163,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М.П. ДРАГОМАНОВА
Кафедра вищої математики
РЕФЕРАТ
Модель Бельтрамі-Клейна
Студентки 31 МІА групи
Кнюх Анжели
Київ 2014
Площиною Лобачевського назвемо внутрішність круга будь-якого радіусу з будь-яким центром. Введемо наступні категорії основних об'єктів.
Точки - звичайні евклідові точки всередині кола. Точки на основному колі і поза цим колом до основних понять не відносяться.
Прямі - хорди кола. Терміни «належати» і «лежати між» розуміються в їх звичайному сенсі. Перебуваючи всередині основного кола зберігаються ті ж умови, що і в евклідовій геометрії. Це означає, що площинні аксіоми груп I і II (тобто аксіоми I1-3, II1-4), і всі наслідки з них вірні. Якщо замість кола взяти за основу сферу з внутрішніми точками, то будуть вірними аксіоми груп I і II цілком.
Щоб ввести термін «конгруентний», потрібно на колі позначити кінці U і V хорди UV (рис. 1). Знаходимо відношення, в яких кінець В і початок A відрізка АВ ділять хорду UV:- перше відношення; - друге відношення.
Рисунок 1. Модель Бельтрамі - Клейна площини Лобачевского
геометрія лобачевчький бельтрамі клейн
Складемо відношення цих відношень:, яке завжди додатне , так як точки А і В ділять відрізок UV всередині. Логарифм цього відношення при будь-якій, але фіксованій основі буде «відстанню» між точками А і В. Щоб зберегти довільність «одиниці масштабу», вводимо ще множник . Логарифм беремо натуральний. Часто називають цю «відстань» «неевклідовою відстанню»:
.
Знак визначає напрям «відрізка» АВ на «прямій» UV. Модуль цієї «відстані» будемо називати "довжиною" відрізка або його «неевклідовою довжиною».
Два відрізка АВ і CD називаються «конгруентними» якщо їх «довжини» рівні:
, якщо .
Перевіримо аксіоми конгруентності в представленій моделі.
Перевіряємо аксіому III1: необхідно знайти у вказаному напрямку від U' до V', (рис. 2) на прямий U'V ' таку "точку" В', щоб було; - дано.
Рисунок 2. Перевірка аксіоми III1 в моделі Бельтрамі - Клейна
З рівняння
знайдемо невідоме відношення а отже, і шукане положення точки на прямій U'V '. Можливість відкладати відрізки встановлена.
Справедливість аксіоми III2 очевидна, тому що якщо в нашій моделі і , то це значить і , а отже , тобто .
Щоб встановити виконання аксіоми Ш3, потрібно довести, що «відстань» між двома точками має властивість «адитивності».
;
Доведена властивість справедлива для будь-яких спрямованих відрізків.
З властивості
випливає виконуваність аксіоми III3.
Якщо рухатися з точки А в напрямку АV «неевклідово рівними» кроками, ми ніколи не дійдемо до точки V, так як «неевклідова відстань» AV - нескінченно велике. Справді, для точки В, яка прямує до V, відношення прямує до , а відношення незмінно, отже, (рис. 2).
Плоска геометрія Лобачевського, зображена на розглянутій моделі, називається картою Бельтрами (рис. 3).
Рисунок 3. Карта Бельтрами
На карті Бельтрами довжини і кути спотворюються, якщо мати на увазі евклидовий сенс креслення. При цьому треба відзначити такі винятки. В силу центральної симетрії карти Бельтрами, рівні на карті кути між променями, що виходять з центру, зображують рівні кути в натурі, а кути в натурі дорівнюють кутам зображення. Рівні на карті відрізки з началами в центрі зображують рівні відрізки в натурі. Прямі на карті кути між діаметром і хордою зображують прямі же кути в натурі, що випливає з осьової симетрії карти щодо діаметра.
Скористаємося аксіомою паралельності. На карті Бельтрами з «точки» М до «прямої» U'V '(рис. 4) можна провести: 1) «прямі», (наприклад, MN), які перетинають U'V'; 2) «прямі» (MU 'і MV'), що зображують паралелі Лобачевського, і 3) «прямі» заштрихованих кутів - сверхпараллелі Лобачевського. Як «паралелі», так і «надпараллелі» не мають жодної спільної «точки» (неевклідової) з даною «прямою» U'V '. На розглянутій моделі виконується постулат Лобачевського. В бельтрамівому колі, або в бельтрамієвій сфері (для просторової геометрії), виконується геометрія Лобачевського. Аксіоми неперервності IV1 і V2 або еквівалентна їм аксіома Дедекінда тут виконуються. Розглянемо деякі факти геометрії Лобачевського. На малюнку 4а ми маємо спільний перпендикуляр АВ до двох надпаралельні прямих а і b. На малюнку 4б показано, що дві паралельні прямі загального перпендикуляра не мають. На малюнку 4в ми бачимо, що перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої - надпаралельні.
Рисунок 4. а) АВ загальний перпендикуляр до двох надпаралельних прямим а і b; б) дві паралельні прямі загального перпендикуляра не мають; в) перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої - над паралельні
Легко зрозуміти в силу симетрії, що евклідово рівні відрізки, що мають початок в центрі бельтрамієвого кола, рівні між собою і в сенсі Лобачевського.
На малюнку 5а зображено «коло». В іншому місці карти Бельтрамі образ «кола» буде спотворений. Рисунок 5б показує, що в геометрії Лобачевського існують «кола», біля яких не можна описати трикутника. На малюнку 5в зображений «трикутник з нульовими кутами» .
Рисунок 5. а) «коло»; б) «коло», біля якої не можна описати трикутник; в) «трикутник з нульовими кутами»
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Микола Іванович Лобачевський як відомий російський математик, творець неевклідової геометрії. Його дослідження у галузі геометрії. Походження неевклідової геометрії. Три моделі геометрії Лобачевського: Пуанкаре, Клейна та інтерпретація Бельтрамі.
реферат [229,4 K], добавлен 31.03.2013Системи аксіом евклідової геометрії. Повнота системи аксіом евклідової геометрії. Арифметична реалізація векторної системи аксіом Г. Вейля евклідової геометрії. Незалежність системи аксіом Г. Вейля. Доведення несуперечливості геометрії Лобачевського.
курсовая работа [2,3 M], добавлен 10.12.2014Розгляд основних відмінностей геометричних систем, побудованих за ідеями Келі. Аналіз геометрії Келі-Клейна поза круговим абсолютом II. Особливості диференціальних метричних форм геометрії Рімана. Характеристика геометричних систем з афінною групою.
дипломная работа [660,6 K], добавлен 09.09.2012Бутылка Клейна – определенная неориентируемая поверхность первого рода, поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами. Связь бутылки Клейна с лентой Мебиуса. Получение бутылки Клейна. Построение бесконечной серии многообразий.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 20.12.2011Суть та значення аксіоматичної побудови геометрії. Аксіоматика Д. Гільберта евклідової геометрії. Аксіоми сполучення, порядку, конгруентності, неперервності та паралельності. Характеристика різних аксіоматик. Векторна аксіоматика еклідової геометрії.
курсовая работа [179,9 K], добавлен 17.03.2012Аналіз історії виникнення неевклідової геометрії. Знайомство з біографією М. Лобачевського. Розгляд ознак паралельності прямих. Загальна характеристика головних формул тригонометрії Лобачевского. Особливості теореми про існування паралельних прямих.
дипломная работа [1,5 M], добавлен 12.05.2014Визначення поняття інверсії на площині, її властивості. Виведення формул аналітичного задання інверсії на площині. Побудова образу точок, прямих і кіл, властивості кутів і відстаней між точками при інверсії. Ортогональні і інваріантні окружності інверсії.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 27.09.2013Обзор пяти групп аксиом, на которых зиждется планиметрия Лобачевского. Сущность модели Кэли-Клейна в высшей геометрии. Особенности доказательства теоремы косинусов, теорем о сумме углов треугольника, о четвертом признаке конгруэнтности треугольников.
курсовая работа [629,3 K], добавлен 29.06.2013Способи завдання площини на кресленні та її сліди. Положення площини у просторі відносно площин проекцій. Пряма та точка в площині, прямі особливого положення в площині. Взаємне розташування площин. Пряма, паралельна площині, перетин прямої з площиною.
реферат [1,2 M], добавлен 11.11.2010Геометричні фігури, що розглядаються в планіметрії - розділі геометрії, в якому вивчають фігури на площині. Визначення кута, трикутника, квадрата, чотирикутника, ромба, паралелограма, трапеції, багатокутника та їх площ античними та сучасними методами.
реферат [34,7 K], добавлен 02.05.2010Особенности и свойства односторонней поверхности; непрерывно зависящая от точки нормаль, свойство нормального вектора возвращаться в исходную точку с противоположным вектором. Лента Мёбиуса - односторонняя поверхность с краем, особенности бутылки Клейна.
презентация [1,4 M], добавлен 12.02.2012Історія появи й розвитку геометрії: постулати Евкліда, аксіоматика Гильберта та інші системи геометричних аксіом. Неевклідові геометрії в системі Вейля. Різні моделі площини Лобачевского, незалежність 5-го постулату Евкліда від інших аксіом Гильберта.
дипломная работа [263,0 K], добавлен 12.02.2011Основні поняття поворотної симетрії. Означення, задання та властивості повороту площини. Формула повороту площини в координатах. Поворотна симетрія в природі. Розв'язання задач з геометрії за допомогою повороту (на обчислення, на побудову, на доведення).
курсовая работа [2,6 M], добавлен 02.11.2013Поняття про бінарні відношення, способи їх задання, існуючі операції, характерні властивості. Відношення еквівалентності, порядку, домінування й переваги. Поняття та значення R-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального й мінімального елементів.
реферат [1,3 M], добавлен 04.10.2015Огляд поняття конусу, тіла, що складається з круга, точки, що не лежить на площині круга та відрізків, що сполучають дану точку з точками круга. Знаходження площі бічної та повної поверхонь фігури, суми площ бічної поверхні і основи, довжини кола основи.
презентация [1,9 M], добавлен 16.12.2011Пов’язування поточних координат лінії з заданими геометричними параметрами, одержання рівняння лінії. Визначення прямої на площині. Задачі на взаємне розташування прямих. Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола, їх властивості.
презентация [239,4 K], добавлен 30.04.2014Кардіоїда як плоска лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться по нерухомій кола з таким же радіусом, напрямки її вивчення, головні властивості, математичне значення. Поняття та структура спіралі Архімеда. Призначення лемніскати Бернуллі.
презентация [7,4 M], добавлен 31.01.2016Сутність і предмет вивчення нарисної геометрії, історія її зародження та розвитку як науки, яскраві представники. Методи проекцій точки та прямої, види та властивості проеціювання. Головні лінії площини. Відображення та проеціювання точок на площинах.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 13.11.2009Поняття правильної піраміди, її висоти і радіусу описаного навколо неї прямого конуса. Особливості комбінацій геометричних тіл: твірної конуса, розміщення центра його основи та висоти. Властивості правильного трикутника і розрахунок об'єму тіла обертання.
контрольная работа [454,7 K], добавлен 07.07.2011Характеристика сферичної геометрії як галузі математики. Зв'язок між величинами сторін та кутів прямокутного сферичного трикутника. Використання теорем косинусів та синусів. Значення стереографічной сітки Вульфа. Розвиток поняття про геометричний простір.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 29.11.2014
