Неопределенный интеграл

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Неопределенный интеграл

1.1 Основные понятия

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в любой точке этого промежутка верно равенство:

F(x)=f(x).

Первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Поэтому, если F(x) - первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то любую другую первообразную для этой функции на этом же промежутке можно представить в виде F(x)+C, где С - произвольная постоянная.

Определение: Совокупность всех первообразных функции f(x) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

Условием существования неопределенного интеграла на некотором промежутке является непрерывность функции на этом промежутке.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4. где u, v, w - некоторые функции от х.

5.

Таблица 1. Основных интегралов

1			10		lnsinx+ C
2		ex + C	11
3			12
4			13
5		sinx + C	14
6		-cosx + C	15		arcsin + C
7		tgx + C	16		arcsin + C
8		-ctgx + C	17		ln
9		-lncosx+C	18

1.2 Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование.

Этот метод применим для некоторых ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную, очень мало. Рассмотрим некоторые примеры применения этого метода.

Отметим тот факт, что во всех примерах ради краткости произвольная постоянная С будет опущена.

Выражение называется логарифмической производной функции , так как. Следовательно, . Например, .

При вычислении интегралов типа также удобно пользоваться логарифмической производной (при p²-4q<0). Например, интеграл можно представить в виде:

.

В последнем выражении модуль был заменен на скобки, поскольку x²-6x+13>0 при всех R.

Для упрощения вычислений при нахождении интегралов от дробных выражений удобно пользоваться следующими формулами:

Так как , то

Аналогично, с учетом формулы получаем:

1.

Для упрощения дроби применим разложение числителя в виде: 1((х+5)-(х-2)). Тогда интеграл примет вид:

.?

2. где a²b².

Применим тот же прием, что и в примере 1.

?

Способ подстановки (замены переменных).

Если требуется найти интеграл , где f(x) сложная функция, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

3.

Применим основное свойство дроби, по которому дробь не изменится, если числитель и знаменатель ее умножить на выражение, не равное нулю, в нашем случае это х⁴.

. ?

4.

.?

5.

Хотя интеграл похож на предыдущий, замена в нем будет другая, учитывающая, что .

.?

6.

Соединение в одном интеграле тригонометрической и степенной функций встречается не очень часто, поэтому кажется, что он сложен. Однако, замена приводит к следующим выкладкам: . Интеграл принимает вид:

?

7.

Этот интеграл связывает иррациональную и показательную функции, поэтому замена имеет вид: . Получим:

?

Подстановки х=asint, x=atgt, x=asin²t и т.д.

8.

Замена x=sint, dx=costdt и применение основного тригонометрического тождества преобразуют данный интеграл:

?

9.

В этом интеграле выгодна подстановка x=asint, тогда t=arcsin и dx=acostdt. В результате:

?

10.

Учитывая замену из примера 2, видим, что наиболее выгодна подстановка x-a=(b-a)sin²t, тогда dx=2(b-a)sintcostdt и . Получим следующие преобразования.

?

Подстановки в показательных функциях.

11. .

. ?

В дальнейшем будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

1.3 Интегрирование рациональных функций

1. .

. ?

2. .

Разделим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на х².

. ?

3. .

. ?

4. .

=

. ?

5. Вычислить без разложения на простые дроби.

Представим данный интеграл в виде суммы интегралов, разложив его числитель следующим образом: 1=х²+1-х². Получим:

Вычислим последний интеграл отдельно.

В итоге получаем следующий ответ:

?

6.

Часто при вычислении данного интеграла пользуются другим вспомогательным интегралом. Рассмотрим этот прием на данном примере. Для удобства обозначим , . Найдем сумму и разность указанных интегралов.

1)

2)

Вычтем из первого равенства второе.

В итоге получим:

При сложении первого и второго равенств можно было получить интеграл . ?

7.

Применим те же приемы, что и в двух предыдущих примерах.

, где .

Вычислим с помощью . Как и в предшествующем примере сложим и вычтем эти интегралы.

Вычитая, получаем:

или .

В итоге получили следующий ответ.

. ?

8. .

Все корни уравнения являются комплексными числами вида . Так как мы рассматриваем уравнение с действительными числами, то каждый его корень имеет сопряженный . В результате получим разложение данной дроби в виде суммы простейших дробей:

…+…+.

вычисления неопределенных коэффициентов умножим обе части последнего тождества на выражение .

…+…+…+.

В последнем равенстве перейдем к пределу при . Тогда . По правилу Лопиталя , так как . Значит, . Аналогично , то есть . Следовательно,

.

С учетом формул и получим:

.

Проинтегрируем последнее выражение.

.

Вычислим интеграл из правой части последнего выражения.

.

Окончательно получим:

9.

Разложим знаменатель данной дроби на множители, для чего решим уравнение Разделим все слагаемые в уравнении на , в результате получим . Пусть , тогда . Уравнение преобразуется к виду и корни его: . Поскольку полученные числа - сопряженные, то достаточно рассмотреть один из корней.

, откуда . . Представим последнее число в виде полного квадрата, для чего решим уравнение . Приравнивая действительные и мнимые части обоих чисел, получаем систему Решим ее: Значит, . Тогда и корни исходного уравнения: , , , . В итоге получили следующее разложение:

.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.



.

Сравнивая числители первой и последней дробей, получим систему уравнений.

Решая систему, получим ответ:

В итоге:

. ?

10.

Поскольку подынтегральная функция - четная, то имеет место разложение:

.

Из сравнения первой и последней дробей, получим систему уравнений.

Отсюда неопределенные коэффициенты равны:

?

11.

Для разложения знаменателя дроби на множители воспользуемся приемом выделения полного квадрата и формулой разности квадратов.

.

. ?

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv) = uv + vu, где u и v - некоторые функции от х. В дифференциальной форме:

d(uv) = udv + vdu.

Проинтегрировав, получаем: . Учитывая свойства неопределенного интеграла, получаем: или .

Получена формула интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы от различных элементарных функций.

12. .

=

=. ?

13. .

=.

После двукратного применения метода интегрирования по частям получен интеграл, равный исходному, поэтому выразим из следующего уравнения искомый интеграл.

,

или окончательно получаем:

. ?

14. Вывести формулу понижения степени для интеграла .

Применим формулу интегрирования по частям, разбивая подынтегральное выражение на части: , . Тогда , и получим следующие преобразования:

.

Последнее выражение можно записать короче в виде:

.

Откуда или . После замены n+1 на n получаем окончательно рекуррентную формулу.

?

15. Вычислить по рекуррентной формуле

.

=.

Так как , то искомый интеграл равен:

=. ?

16. .

.

Рассмотрим отдельно решение второго интеграла

.

.

17. .

Вначале представим дробь в виде суммы простейших дробей , затем применим метод интегрирования по частям.

=. ?

18. .

Проинтегрируем дважды данный интеграл по частям, чтобы увидеть закономерность в изменении интеграла.

.

По трем первым слагаемым из последнего равенства видны закономерности: переменная х содержится во всех слагаемых в виде множителя, знаки слагаемых чередуются, степени логарифма убывают, коэффициент перед логарифмом есть произведение чисел от n до степени, на единицу меньше степени логарифма. Значит, в результате n-кратного интегрирования по частям мы придем к интегралу от . В итоге получим:

. ?

19. .

Поскольку , то данный интеграл преобразуется к виду:

. ?

20. .

Заметим, что и получим преобразования:

. ?

21. .

Преобразуем числитель дроби в виде: , тогда данный интеграл можно представить как сумму интегралов следующим образом:

.

Рассмотрим каждый из получившихся интегралов отдельно.

.

.

Окончательно получаем ответ.

. ?

22. .

Выполним интегрирование по частям, заменяя переменные следующим образом:

, тогда

=

.

Рассмотрим последний интеграл отдельно.

.

23. .

Прежде, чем интегрировать по частям, выполним замену переменной , тогда и и данный интеграл примет вид:

.

Пусть , , тогда

, .

.

Вычислим отдельно последний интеграл.

.

.

,

где . ?

1.4 Интегралы от квадратного трехчлена

Во многих интегралах, содержащих квадратный трехчлен, применяется прием выделения полного квадрата, кроме этого часта замена переменной. Рассмотрим некоторые примеры.

24. .

=. ?

25. .

Хотя подынтегральное выражение содержит тригонометрические функции, по структуре это - выражение с квадратным трехчленом, поэтому применим тот же прием, что и в предыдущем интеграле, разделив предварительно числитель и знаменатель на cos²x.

. ?

Доказать, что если

 (), то при , при .

Докажем первый интеграл, тогда по аналогии с ним получится и второй.

, где . ?

26. .

Применим полученную в предыдущем примере формулу, для чего выделим в числителе дроби производную подкоренного выражения и подведем выражение под знак дифференциала.

. ?

.

В данном интеграле применим полученную формулу для случая а=-1.

. ?

.

Вынесем из-под корня в знаменателе , считая х>0 и выполним замену переменной.

.

Для произвольного х получим:

. ?

.

Разложим по степеням : . Затем выполним замену переменной, в результате получим:

. ?

.

. ?

1.5 Интегрирование иррациональных функций

Основной метод решения интегралов от иррациональных функций - метод замены переменной. Если дан интеграл вида , необходимо выполнить подстановку , где n - наименьшее общее кратное чисел k и m. Рассмотрим один из простейших примеров.

1) .

Пусть , тогда . Данный интеграл преобразуется следующим образом.



,

где . ?

2) .

Казалось бы, что по аналогии с предыдущим примером, выгодна подстановка . Но такая замена приводит к громоздкой подынтегральной функции. Более удобна замена , тогда , . Интеграл преобразуется к виду:

.

Упростим отдельно выражение , воспользовавшись формулами понижения порядка и кубом разности.

.

Теперь вычислим интеграл от каждого из полученных слагаемых.

.

Найдем отдельно и . Получим преобразования:

,.

, где . ?

3) .

В этом примере целесообразна подстановка , тогда .

.

Вычислим отдельно и , применяя формулы

и .

, .

, где . ?

4) .

Преобразуем подынтегральное выражение путем вынесения из-под корня х⁶. После этого выполним замену , тогда . В результате получаем:

. ?

5) .

Выполним преобразования, аналогичные предыдущему примеру, вынося из-под корня х² и применяя подстановку , откуда .

. ?

6) .

После выполнения подстановки , получаем следующие преобразования.

.

Применим формулу , тогда:

.

. ?

1.6 Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интегралы от дифференциальных биномов , где a и b - действительные, а m,n,p - рациональные числа. Интегралы от дифференциальных биномов с помощью подстановок могут быть сведены к интегралам от рациональных функций только в следующих трех случаях.

1) Показатель степени р - целое число, тогда x=t^k, где k - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n.

2) Число - целое, тогда , где - знаменатель дроби p.

3) Число - целое, тогда , где - знаменатель дроби p.

Указанный выше факт в середине XIX века доказал великий русский математик П. Л. Чебышев.

7) .

Если представить данный интеграл в виде , то хорошо видно, что перед нами дифференциальный бином, в котором , , . Поскольку , применим вторую из подстановок: , тогда , откуда .

, где . ?

8) .

Преобразуем данный интеграл к стандартному для дифференциальных биномов виду:

.

Так как , , , то , значит, снова возможно применить вторую подстановку: , тогда и .

. ?

9) .

В этом примере , , . Заметим, что , поэтому применима третья подстановка . Из последнего равенства получим: , тогда .

.

Применим метод неопределенных коэффициентов.

.

,

где . ?

10) .

Умножим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на выражение, сопряженное знаменателю, и разобьем дробь в виде суммы дробей.

В последнем интеграле , , . Видно, что , поэтому применим третью подстановку . Тогда и Интеграл преобразуется к следующему виду.

Далее по методу неопределенных коэффициентов.

11) .

Поскольку , то , , . Видно, что , поэтому применим вторую подстановку . Тогда и и интеграл преобразуется к следующему виду.

, где . ?

12) .

Решим данный интеграл двумя способами. Вначале рассмотрим подстановки Чебышева. Представив интеграл в виде , заметим, что , , . Так как р целое, то заменим , тогда и . Для разложения подынтегральной дроби в виде суммы, применим метод неопределенных коэффициентов.

.

Откуда найдем коэффициенты:

В итоге получим:

.

Теперь решим этот же интеграл с помощью замены , тогда и интеграл преобразуется к виду:

. ?

13) .

Вынесем из-под знака корня множители в степени n и выполним замену переменной.

. ?

Подстановки Эйлера

Рассмотрим интегралы типа , где - рациональная функция. Подобные интегралы с помощью подстановок Эйлера могут быть сведены к интегралам от рациональных функций в зависимости от значений коэффициентов и дискриминанта квадратного трехчлена в следующих трех случаях.

1) Если , тогда .

2) Если , тогда .

3) Если , то есть , тогда .

Рассмотрим примеры применения указанных формул.

14) .

Применим первую подстановку Эйлера: тогда и . Отсюда и, следовательно,

.

.

Разложим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей.

.

Если , то , если , то и, наконец, если , то получим уравнение , из которого .

Следовательно,

.

В итоге:

15) .

Применим третью подстановку Эйлера. Пусть , тогда и . Значит, и .

,

где .

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся формулой

.

С другой стороны, интегрируя по частям, получаем:

.

То есть .

Из полученного равенства следует, что

или

.

Получили новую формулу для интегрирования рациональных функций:

Применим последнюю формулу для данного примера.

,

где . ?

Интегрирование различных функций.

16) .

С помощью метода интегрирования по частям получаем:

. ?

17) .

Выполним замену: , откуда и .

,

где . ?

18) .

Заметим, что , поэтому данный интеграл можно представить следующим образом:



.

Рассмотрим последний интеграл отдельно.

.

Окончательно получится:

. ?

1.7 Интегрирование тригонометрических функций

Вначале рассмотрим два достаточно часто встречающихся интеграла.

1. .

. ?

2. .

. ?

В общем случае интегралы вида , где - рациональная функция вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки: , тогда , . Довольно часто такая подстановка приводит к очень громоздким рациональным функциям, поэтому существует множество частных случаев, когда замена зависит от степеней тригонометрических функций.

3. .

. ?

4. .

Преобразуем знаменатель подынтегральной дроби, используя формулы понижения степени.



.

Исходный интеграл примет вид:

. ?

5. .

Выполним замену переменной , тогда . Значит, , откуда . В итоге данный интеграл преобразуется следующим образом:

.

6. .

Представим подынтегральную дробь в виде суммы целого числа и дроби. Данный интеграл равен сумме двух интегралов, первый из которых найдем методом интегрирования по частям.



+

. ?

7. .

Применим метод интегрирования по частям, учитывая, что

.

. ?

8. .

Воспользуемся методом подстановки. Пусть , тогда .

. ?

9. .

Выполним подстановку , откуда , , . Получаем:

.

Воспользуемся еще одной заменой:

.

.

, где . ?

10. .

.

Упростим дробь под знаком интеграла:

.

Учтем также, что . Тогда интеграл преобразуется к виду:

, где .

11. Вывести формулу понижения для интеграла (n - натуральное число).

.

Учтем, что , тогда получим:

.

Заметим, что . Тогда, пользуясь методом интегрирования по частям, получим:

.

Подставим все преобразования в .

.

Прибавим и вычтем из правой части последнего равенства.

.

В сокращенной записи последнее равенство принимает вид:

при . ?

12. .

Воспользуемся следующим разложением: .

интеграл иррациональный бином



, где . ?

13. .

. ?

14. .

Применим универсальную тригонометрическую подстановку , тогда

и .

.

Вычислим каждый из интегралов отдельно.

.

.

Последний интеграл вычислим, пользуясь рекуррентной формулой:

.

.

В итоге получим ответ.

=

, где .

Размещено на Allbest.ru

...