Теория вероятности и ее характеристика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Формула классической вероятности

1.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1.2.1 Теорема сложения вероятностей несовместных событий

1.3 Основные формулы вероятности

1.3.1 Формула полной вероятности

1.3.2 Формула Байеса

1.3.3 Формула Бернулли

1.3.4 Формула Пуассона

1.4 Числовые характеристики дискретных случайных величин

1.4.1 Математическое ожидание

1.4.2 Дисперсия дискретной случайной величин

1.4.3 Среднее квадратичное отклонение

1.5 Непрерывные случайные величины

1.5.1 Функции распределения вероятностей и функция плотности

1.5.2 Числовые характеристики непрерывной случайной величины

1.5.3 Законы распределения непрерывной случайной величины

1.6 Вариационный ряд

1.6.1 Основные понятия, определения

1.6.2 Полигон частот и гистограмма

1.6.3 Числовые характеристики вариационного ряда

1.6.4 Вариационный ряд

1.6.5 Правило составления вариационного ряда

Заключение

Список используемой литературы



Введение

Предмет теории вероятностей. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий 5 может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» - случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, c которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы ин действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, -- она просто не в, силах это сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются, случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

вероятность бернулли дискретный дисперсия



1. Теоретическая часть

1.1 Формула классической вероятности

Вероятность служит количественной мерой возможности появления некоторого случайного события. Вероятность события A определяется формулой:

Где n-число равновозможных, образующих полную группу элементарных исходов опыта,m- число элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

Свойства вероятности события:

1)Вероятность достоверного события равна единице;

2)Вероятность невозможного события равна нулю;

3)Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы;

4)Вероятность любого события удовлетворяет неравенством

0?Р(А)?1

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов широко используются формулы комбинаторики.

Если составляются такие комбинации из n элементов поm, которые отличаются друг от друга только составом элементов, то они называются сочетаниями. Общее число сочетаний из n элементов по m определяется:

Если комбинации отличаются не только составом элементов, но и порядком их следования, то они называются размещением. Их число находится:

Если комбинации берутся из всех n элементов и отличаются только порядком следования элементов, то они называются перестановками. И число равно:

1.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей

1.2.1 Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема.

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий А₁, А₂,…..Аn равна сумме вероятностей этих событий:

1.2.2 Теорема о произведении вероятностей событий

Условной вероятностью - называют вероятность события B в предположении, что событие A уже наступило:

Теорема 1

Вероятность произведения 2-х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события при условии, что первое имело место:

Теорема 2(вероятность произведения независимых событий)

Если события A и B - независимые, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема 3

Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

1.3 Основные формулы вероятности

1.3.1Формула полной вероятности

Теорема

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂………Вn образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

1.3.2 Формула Байеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁,В₂………Вn, образующих полную группу, поскольку заранее неизвестно какое из них наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A вычисляется по формуле полной вероятности:

P(А)=Р(В₁)*Р_В1(А)+ Р(В₂)*Р_В2(А)+ Р(Вn)*РВn(А)

Для нахождения условной вероятности любой вероятности любой гипотезы используется формула:

(10)

1.3.3 Формула Бернули

Удобна при сравнительно небольшом числе испытаний n.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А на каждом испытании одна и та же, а именно равна P. Следовательно вероятность наступления события A в каждом испытании также постоянна равна q=1-p. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, в n испытаниях событие A наступит k раз и не наступит (n-k) раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна .Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, то есть . Так как эти сложные события не совместимы, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появление k раз события A в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

или



1.3.4 Формула Пуассона

Если число опытов велико (n), а вероятность наступления события А мало, то вероятность того, что А наступит m раз приблизительно равна

1.4 Числовые характеристики дискретных случайных величин

Случайной называют величину, которой в результате испытаний примет одно и только одно возможное значение наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которой принимает отдельное изолированное, возможное значение с определенными вероятностями.

1.4.1 Математическое ожидание

Математическим ожиданием M(x) дискретной случайной величины x называется сумма произведений всех ее возможных значений по их вероятности:

Замечание.

Из данного определения следует, что математическое ожидание не является случайной величиной, так как это число.

Отклонение случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть x случайная величина ее М (x) математического ожидания, рассмотрим новую случайную величину

x-M(x)

Определение

Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

1.4.2 Дисперсия дискретной случайной величин

Определение

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D(x) = M(x-M(x))²

Формула для вычисления дисперсии

Теорема

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины (х) и квадратом ее математического ожидания

D(х) = М(х²)-[М(х)]²(14)

1.4.3 Среднее квадратичное отклонение

Определение

Средним квадратичным отклонением называют корень из дисперсии



1.4.4 Функцией распределения дискретной случайной величины

Пусть есть закон распределения:

x	X1	X2	X3	…
p	P1	P2	P3	…

х<х₁,р=0

х₁?х<х₂,р1

х₂?х<х₃,р1+р2

………………………………..

Х_n-1?х<хn, р1+р2…….рn

х?хn, 1

Определение

Функции распределения случайной величины х представляет собой вероятность случайного события, состоящего в том, что случайная величина х принимает одно из возможных значений меньших некоторого значения х (малого):

F(x) = 0, X<X₁

P₁, х₁?х<х₂

F(X) = Р₁+Р₂ , Х₂?Х<Х₃

.........................................

Р₁+Р₂…….Рn-1, Х_n-1?Х<Хn;

х?хn, 1



1.5 Непрерывные случайные величины

1.5.1 Функции распределения вероятностей и функция плотности распределения вероятностей

Определение

Функция распределения называют функцию F(X), которая определяет вероятность того,

что случайная величина в результате испытания принимает значение меньшеечем Х, то есть справедлива формула

(17)

Определение

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная функция с непрерывной производной.

Определение:

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x), которая равна первой производной от функции распределения.

(18)

1.5.2 Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Определение

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х возможные значения, которой принадлежат интервалу [a,b] называют определенный интеграл.

(19)

Если возможное значение случайной величины принадлежат всей оси ОХ, то

(20)

Определение

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения, и вычисляется по формуле:

(21)

Если все возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то:

(22)

Определение

Средним квадратичным отклонением непрерывной случайной величины называют корень из дисперсии

(23)

1.5.3 Законы распределения непрерывной случайной величины

Определение

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале которому принадлежат все возможности значения случайной величины, функция задается:

Определение:

Нормальным законом распределения называют функцию плотности распределения, которая описывается формулой:

(24)

1.6 Вариационный ряд

1.6.1 Основные понятия, определения

Определение

Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Определение

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которой производится выборка.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем Х₁ наблюдалось n₁ раз x₂-h₂ раз и т.д. x_k-h_k раз. Сумма n₁,…,n_k=n

(объем выборки)

Наблюдаемые значения Х называют вариантами, их последовательность, записанная в возрастающем порядке называют вариационным рядом.

В выборке одно и то же значение может встретиться несколько раз, поэтому одинаковы значения признака (варианты (Xi)) объединяют в группы. Число элементов в каждой группе называют частотой варианта (n_i)

Определение

Отношение частоты данного варианта к объему выборки называют относительной частотой:

(25)

Определение

Эмпирической функцией распределения случайной величины называют функцию, определяющую для каждого значения Х относительную частоту события X<x

(26)

1.6.2 Полигон частот и гистограмма

Определение

Полигоном частот называют ломаную, которая соединяет точки (х₁;n₁), (х₂;n₂),…., (х_k;n_k). Если вместо частот n_i брать относительные частоты W_i, то можно построить полигон относительных частот, соединив точки (X_i; W_i) отрезками.

Рис.1. Полигон относительных частот



В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму.

Определение

Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны n_i или W_i.

Рис.2. Гистограмма относительных частот

1.6.3 Числовые характеристики вариационного ряда

Определение

Выборочной средней дискретного вариационного ряда называют отношение суммы всех вариантов к объему выборки (среднее арифметическое значение выборки).

Если все значения выборки х₁, х₂,………..,х_n различны, то

(27)

Если же варианты х₁, х₂,…..х_k имеют соответственно частоты n₁, n₂…….n_k, то



Или

(28)

Определение

Выборочной дисперсией dв дискретного вариационного ряда называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего.

Если все значения выборки различны, то

(29)

Если значения выборки имеют соответствующие частоты, то

(30)

Определение

Модой (Mo)дискретного вариационного ряда называется вариант имеющий наибольшую частоту.

Определение

Выборочным средним квадратичным отклонением дискретного вариационного ряда называется квадратичный корень из выборочной дисперсии.

(31)



Определение

Медианой (Ме) дискретного вариационного ряда называется вариант делящий вариационный ряд на 2 части.

Если данный ряд имеет нечетное число значений членов 2n+1, то Меравна среднему члену Xn:

Me^*=X_n (32)

Если данный ряд имеет 2n членов, тогда меридиана будет равна:

(33)

Для интервальных вариационных меридиана и мода вычисляется формулами:

(34)

Хо - начало медленного интервала, в котором содержится серединный элемент

h - длина интервала;

n- объем выборки;

Ti-1 - сумма частот интервалов, которые предшествуют меридианному интервалу;

n_i- частота медленного интервала.

(35)

Модальный интервал выбирается по наибольшей частоте

Хо-начальная варианта интервала;

h- длина модального интервала;

n- частота модального интервала (число, вариант);

ni-1- частота интервала предшествующего модальному;

ni+1- частота интервала следующего за модальным.

Определение

Коэффициент вариации (V) - это отношение среднего квадратичного отклонения к средней выборочной, умноженной на 100%:

(36)

1.6.4 Вариационный ряд

Определение

Выбор объекта из генеральной совокупности и измерение значения признака называют статистическим наблюдением. Его результат в общем случае представляют собой ряд чисел, расположенных в беспорядке, который для изучения необходимо упорядочить (проранжировать).

Определение

Операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию называется ранжированием опытных данных.

Определение

Последовательность варианта записанную в возрастающем порядке называют вариационным рядом.

Определение

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант Хiвариационного ряда и соответствующих им частот ni (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот Wi( сумма всех относительных частот равна 1).



Определение

Дискретным вариационным рядом распределения (распределением частот) называется ранжированная совокупность варианта Хi с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Если наблюдается случайная величина непрерывна или дискретная величина такова, что число ее возможных значений велв каждый частичный интервал.

ико, то для построения вариационного ряда используют интервальный ряд распределения. В этом случае весь возможный интервал варьирования разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины

Определение

Интервальным вариационным рядом (интервальным распределением частот) называется упорядочение последовательности интервалов варьирования случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попадания в каждый из них значений случайной величины.

1.6.5 Правило составления вариационного ряда

1. Найти минимальное и максимальное значение вариант. Разность между ними называют размахом выборки.

R=X_max-X_min

2.Составляется таблица. В первый столбец таблицы записываются варианты значений случайной величины (от X_min до X_max).

3.просмотреть по одному все варианты выборки в протоколе наблюдения. Во второй графе таблицы (в «графе меток») отметить каждое значение соответствующему варианту.

4.Подсчитать количество меток в каждом варианте и записать соответствующее им число n_i в графе 3.

5.Подсчитать количество элементов выборки n= ?n_i и записать в последней строке графы 3.

6.В графе 4 подсчитать относительные частоты.

7.Для построения интервальных вариационных рядов разбить размах выборки от X_max-X_min на ряд интервалов одинаковой длины h.

8.Подсчет количества вариант ni производится аналогичным образом. Наибольшая варианта интервала включается в следующий интервал.



Заключение

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемом контроле качества продукции и для многих других целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.



Список используемой литературы

1. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика»: Учеб. Пособие.-12-е изд.,перераб.-М.:Высшее образование,2012

2. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. «Справочник по высшей математике»-9-е изд. Минск: ТетраСистемс,2009

3. Ермаков В.И. «Сборник по высшей математике для экономистов» - М.: ИНФРА-М,2012

4. Гмурман В.Е. «Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике»: Учеб. Пособие - 11-е изд.,перераб.-М.:Высшеее образование,2010

5. Конспект по теории вероятности и математической статистике

Размещено на Allbest.ru

...