Характеристика логических операций умножения, сложения, отрицания и следования

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные в 4 веке до нашей эры древне-греческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы речи от ее содержания. Он исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.

Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления, который реализуется в таких естественно сложившихся формах как понятие, суждение, умозаключение и доказательство.

1. Общие понятия

Понятие. Понятие - это форма мышления, отражающая наиболее существенные свойства предмета, отличающие его от других предметов. В структуре каждого понятия нужно различать две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков предмета. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует выделить признаки, необходимые и достаточные для выделения данного предмета по отношению к другим предметам. Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется, и может быть представлено в форме множества объектов, состоящего из элементов множества. Алгебра множеств, одна из основополагающих современных математических теорий, позволяет исследовать отношения между множествами и, соответственно, объемами понятий.

Высказывание. Высказывание (суждение) - это форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.

Предикат. В современной логике предикат рассматривается как функциональная зависимость.

Логическая функция. Функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность. Например, в двузначной логике они могут принимать значения «истина» либо «ложь» (t или f) (1 или 0)

Таблица истинности -- это таблица, описывающая логическую функцию.

Диаграмма Эйлера-Венна. Геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

2. Конъюнкция

Логическое умножение (от лат. conjunctio -- союз, связь), В естественном языке соответствует союзу и.

Операция логики, отражающая употребление союза "и" в содержательных логических выводах; заключается в образовании из двух конъюнкций - либо высказываний (или форм высказываний) А и В такого сложного высказывания (формы высказываний), которое истинно лишь тогда, когда истинны оба высказывания А и B (конъюнкцией часто называют и то высказывание, которое получается в результате применения операции конъюнкции). Конъюнкция не совпадает полностью с употреблением логического союза "и" в естественном языке, так как не предполагает связи по смыслу между выражениями, связываемыми знаком конъюнкции. Операция конъюнкция обычно вводится в рамках того или иного исчисления.

Обозначение.

Конъюнкция обозначается обычно А & В, А * В, А ? В или А ? В, что читается "А и В".

подмножество логический дизъюнкция эйлер

Табл. 1

3. Дизъюнкция и сложение по модулю 2

Логическое сложение (от лат. disjunctio -- разобщение, обособление, различие), в естественном языке соответствует союзу или, выражающего альтернативность, или выбор.

В алгебре логики дизъюнкция это операция логики, отражающая употребление союза "или" в содержательных логических выводах. Различают соединительный ("или А, или В, или и то и другое вместе") и исключающий ("или А, или В, но не то и другое вместе") смысл союза "или". В традиционной логике это различие влечет выделение соединительно-разделительных и исключающе-разделительных суждений, в математической логике - различение слабой дизъюнкции (неразделительной дизъюнкции, или просто дизъюнкции) и сильной дизъюнкцией (разделительной, или сложение по модулю 2). В классической двузначной логике высказываний слабую дизъюнкцию можно рассматривать как операцию образования из произвольных высказываний А и В такого сложного высказывания которое истинно, если, и только если, истинно по крайней мере одно из составляющих высказываний, а сильную дизъюнкцию - как операцию образования такого высказывания, которое истинно, если истинно одно, и только одно, из высказываний А и В, и ложно в остальных случаях.

Обозначение.

Слабую дизъюнкцию обычно обозначают А/В, А?В, или А+В что читается "А или В"

Сильную - обозначают А +2 В или А ? В, читается "либо А, либо В". Запись может быть префиксной ("польская запись") - знак операции ставится перед операндами (?(А,В)), инфиксной - знак операции ставится между операндами (А ? В) и постфиксной - знак операции ставится после операндов (А,В)?. При числе операндов более 2-х префиксная и постфиксная записи экономичнее инфиксной записи.

Табл. 2

Табл. 3

Табл. 4

4. Инверсия

Отрицание - (от лат. inversio переворачивание, перестановка) В естественном языке соответствует словам неверно, что... или частице не.

В логике -- специальная логическая операция. В зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее отрицание, свойства и роли которых существенно различаются.

1. Внешнее отрицание (пропозициональное) служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нем утверждается отсутствие положения дел, описываемого в отрицаемом высказывании. Традиционно отрицательное высказывание считается истинным, если, и только если, отрицаемое высказывание ложно. В естественном языке отрицание обычно выражается оборотом «неверно, что», за которым следует отрицаемое высказывание. В классической логике высказываний формула -А истинна тогда и только тогда, когда формула А ложна.

2. Внутреннее отрицание входит в состав простого высказывания. Различают отрицание в составе связки (отрицательная связка) и терминное отрицание

Отрицание в составе связки выражается с помощью частицы «не», стоящей перед глаголом-связкой (если он имеется) или перед смысловым глаголом. Оно служит для выражения суждений об отсутствии каких-то отношений («Иван не знает Петра»), или для образования отрицательной предицирующей (высказывающей) связки в составе категорических атрибутивных суждений. Терминное отрицание используется для образования негативных терминов. Оно выражается через приставку «не» или близкие ей по смыслу («Все неспелые яблоки -- зеленые»).

Обозначение.

Для обозначений отрицания обычно используются символы «-» или «¬».

Табл. 5

5. импликация

Логическое следование - (от лат. implicatio сплетение, от implico тесно связываю) В естественном языке соответствует обороту если ..., то ...;

Импликация - логическое высказывание типа «если Р, то Q», соединяющее два элементарных высказывания - Р (антецедент) и Q (логическое следствие). В математической ЛОГИКЕ эти два высказывания не связываются. Существует материальная импликация, например, «если Земля плоская, тогда золото - металл». Материальная импликация ложна только в том случае, когда антецедент (причина по отношению к следствию) является истинным, а логическое следствие ложным, в других случаях она верна. В обычном рассуждении используется формальная импликация, при которой простые суждения связаны по смыслу, например, «если не будет дождя, мы пойдем на прогулку».

Обозначение

Импликация записывается следующим образом Р=>Q (или Р>Q), что читается как «Р подразумевает Q».

Табл. 6

Заключение

Между множествами (объемами понятий) могут быть различные виды отношений:

- равнозначность, когда объемы понятий полностью совпадают;

- пересечение, когда объемы понятий частично совпадают;

- подчинения, когда объем одного понятия полностью входит в объем другого и т.д.

Для наглядной геометрической иллюстрации объемов понятий и соотношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна. Если имеются какие-либо понятия A, B, C и т.д., то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими объемами (множествами) в виде пересекающихся кругов.

Размещено на Allbest.ru