Уравнения Риккати. Общая теория и случаи интегрируемости в конечном виде

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО “Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга”

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа

«Дифференциальные уравнения»

по теме «Уравнения Риккати. Общая теория и случаи интегрируемости в конечном виде»

Петропавловск-Камчатский, 2010

Содержание

Введение

Определение уравнений Риккати. Некоторые свойства

Интегрируемость уравнений Риккати в конечном виде. Пример

Список используемой литературы

Введение

С тех пор как человечество начало задумываться об устройстве мира, в котором они живут, прошло много времени. Попытки объяснить всё происходящее поначалу носили словесный характер. Позже началось развитие математики, и для описания процессов, происходящих в мире, стали использоваться формулы. Затем бурное развитие получили такие разделы математики, как: исследование функций, интегральное и дифференциальное исчисления. Появились дифференциальные уравнения. Они то и стали мощным инструментом для описания физических процессов на Земле.

С момента появления дифференциальных уравнений прошло много лет. За этот период времени возникло большое количество способов их решения. В данной курсовой работе будут рассмотрены уравнения Риккати, которые находят применение в вопросах связанных с теорией теплопроводности, диффузией и динамикой процессов в сплошных средах. Также в курсовой работе будут рассмотрены некоторые свойства уравнений Риккати и их интегрируемость в конечном виде.

Определение уравнений Риккати. Некоторые свойства

Под уравнением Риккати будем понимать дифференциальное уравнение следующего вида:

(1)

в котором р(t), q(t) и r(t) - заданные непрерывные функции, а у(t) - неизвестная функция, которую нужно найти. Здесь мы имеем дело с уравнением, решение которого, в общем случае, не может быть выражено в квадратурах, хотя в соответствии с теоремой существования решений дифференциальных уравнений оно имеет решение при любом начальном условии вида у(t₀) = у₀, где точка t = t₀ принадлежит отрезку непрерывности функций p(t), q(t) и r(t).

Отметим некоторые важнейшие свойства уравнений Риккати:

Свойство 1. Преобразование независимой переменной t = ц(t), в котором ц -- дифференцируемая функция, не изменяет типа уравнения (1).

Доказательство очевидно, ввиду того, что новые функции р(ц(t)), q(ц(t)) и r(ц(t)) также будут непрерывны и следовательно тип уравнения не измениться.

Свойство 2. Уравнение Риккати сохраняет свой вид при произвольном дробно-линейном преобразовании зависимой переменной у = (бх+в) / (гx +д), где б, в, г, д -- произвольные дифференцируемые функции переменной t, удовлетворяющие условию бд-вг ? 0. Доказательство получается непосредственной проверкой.

Свойство 3. Коэффициент при квадрате зависимой переменной в уравнении (1) можно сделать равным ±1 с помощью следующей замены:

(2)

Доказательство. Используя замену (2), и подставляя её в уравнение (1) получаем:

Вводя новые обозначения

полученное уравнение можно записать в виде

(3)

Свойство 4. Не изменяя коэффициента при квадрате зависимой переменной, уравнение (3) можно привести к виду, когда коэффициент при первой степени зависимой переменной будет равным нулю.

Доказательство. Если ввести новую зависимую переменную , Положив то уравнение (3) приводиться к виду

где определяется через коэффициенты уравнения (3).

Мы привели некоторые свойства уравнений Риккати. Приведем некоторые особенности решений данных уравнений.

Как отмечалось выше, решение уравнения Риккати не сводится, в общем случае, к квадратурам. Однако можно установить некоторые интересные факты об их решениях.

Теорема 1.Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то общее его решение получается двумя квадратурами.

Доказательство: Пусть - известное частное решение уравнения (1), т.е.

(4)

Проведем следующую замену переменной в уравнении (1)

(5)

получаем уравнение относительно

(6)

Уравнение (5) - это уравнение Бернулли, которое заменой

(7)

сводиться к линейному неоднородному уравнению первого порядка

(8)

его общее решение находится двумя квадратурами и имеет вид

(9)

где с - произвольная постоянная.

Из формул (5) и (7) следует, что

и согласно формуле (9) , получаем

что и требовалось доказать.

Заключительная формула приведенного доказательства приводит к следующему важному выводу.

Следствие 1. Общее решение уравнения Риккати представляет собой

дробно-линейную функцию относительно произвольной постоянной.

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 2. Если общим решением дифференциального уравнения является дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то этим уравнением является уравнение Риккати.

Доказательство. Пусть

общее решение некоторого уравнения. Разрешим его относительно произвольной постоянной . Тогда получим

Из данного соотношения исключим , дифференцируя по Будем иметь

Если поделить всё уравнение на то получим уравнение Риккати, со следующими коэффициентами

Что и требовалось доказать.

Интегрируемость уравнений Риккати в конечном виде. Пример

Существует множество видов уравнений Риккати, имеющих конечное решение. Рассмотрим некоторые из них.

Пример 1. Если в уравнении (1) - постоянны, то переменные разделяются, и решение уравнения получается простым интегрированием левой и правой части

Пример 2. Если в уравнении (1) - постоянны, то уравнение (1) является однородным и интегрируется с помощью подстановки . уравнение риккати дифференциальный интегрируемость

Пример 3. Если в уравнении (1) - постоянны, то уравнение (1) интегрируется с помощью подстановки .

Пример 4. Уравнение вида

Где - постоянные. Тогда данное уравнение имеет конечное решение при условии, что

отметим, что при значениях отличных от указанных, решение уравнения не может быть выражено квадратурами от элементарных функций.

В заключение рассмотрим пример решения уравнения Риккати

(10)

Здесь нетрудно подобрать частное решение . Полагая , получим

и уравнение (10) примет вид

если раскрыть скобки, получим

. (11)

Уравнение (11) является уравнением Бернулли. Для решения данного уравнения нам понадобиться замена

Совершим некоторые преобразования и замену в уравнении (11)

теперь применим наши замены в обратном порядке. Получим

Окончательный ответ получаем

Список используемой литературы

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Удмуртский государственный университет, 2000

2. Егоров А. И. Уравнения Риккати. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2001

3. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. 2-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

4. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. М.: Просвещение, 1988

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1985

6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982

7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969

Размещено на Allbest.ru