Разновидности и свойства преобразований Фурье

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Возникновение метода

Разновидности преобразования Фурье

Свойства преобразования Фурье

Применение метода

Заключение

Библиографический список

Введение

Преобразование Фурье вычисляется всякий раз, когда мы слышим звук. Ухо автоматически выполняет вычисление, проделать которое наш сознательный ум способен лишь после нескольких лет обучения математике. Наш орган слуха строит преобразование, представляя звук -- колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твёрдых средах -- в виде спектра последовательных значений громкости для тонов различной высоты. Мозг превращает эту информацию в воспринимаемый звук.

Аналогичные операции можно производить с помощью математических методов над звуковыми волнами или практически над любыми другими колебательными процессами -- от световых волн и океанских приливов до циклов солнечной активности. Пользуясь этими математическими приёмами, можно раскладывать функции, представляя колебательные процессы в виде набора синусоидальных составляющих -- волнообразных кривых, переходящих от максимума к минимуму, затем опять к максимуму, подобно океанской волне. Преобразование Фурье -- это функция, описывающая амплитуду и фазу каждой синусоиды, соответствующей определённой частоте.

Возникновение метода

Преобразование Фурье названо так в честь барона Жан-Батиста Жозефа Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier), французского математика, который в 1807 году изобрел метод- преобразование Фурье.

Фурье применил свой математический метод для объяснения механизма теплопроводности. Удобным примером, в котором не возникает вычислительных трудностей, является распространение тепла по якорному кольцу (железному кольцу, к которому крепится якорь), погружаемому на некоторое время наполовину в огонь. Когда погружённая в огонь часть кольца раскаляется докрасна, его вынимают из огня. Чтобы тепло не успело уйти в воздух, кольцо сразу закапывают в мелкий песок, а затем измеряют температуру на той его части, которая непосредственно огнём не нагревалась.

Распределение температуры в железном кольце было одним из первых физических явлений, анализировавшихся методом Фурье. Вверху (a) показано распределение температуры в различных точках кольца: более горячие области окрашены ярче. Чтобы провести анализ, кольцо «разгибают» и измеряют температуру в каждой точке (b), на основании полученных данных строят график распределения температуры вдоль окружности (c). Затем эту графическую функцию раскладывают на множество синусоидальных кривых различной частоты и амплитуды (d). При простом суммировании 16 кривых (сплошная линия, e) получается хорошая аппроксимация исходного распределения температуры (пунктирная линия, e).

В основе преобразования Фурье (ПФ) лежит чрезвычайно простая, но исключительно плодотворная идея - почти любую периодическую функцию можно представить суммой отдельных гармонических составляющих (синусоид и косинусоид с различными амплитудами A, периодами Т и, следовательно, частотами щ). Пример одной из таких функций S(t), состоящей из гармоник С_i(t), приведен на рис.

Разновидности преобразования Фурье

Непрерывное преобразование Фурье

Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию f(t) как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами щ и комплексными амплитудами

. Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

где щ = 2рн.

Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) -- это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

где:

-- количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;

Размещено на http://www.allbest.ru/

-- измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;

-- комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;

-- обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

-- фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

-- индекс частоты. Частота k-го сигнала равна

Размещено на http://www.allbest.ru/

, где -- период времени, в течение которого брались входные данные.

Дискретный сигнал и модуль его спектра

Быстрое преобразование Фурье

Он базируется на том, что при вычислениях среди множителей (синусов и косинусов) есть много периодически повторяющихся значений (в силу периодичности функций). Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями в пирамидальный алгоритм, значительно сокращая число умножений за счет исключения повторных вычислений. В результате быстродействие БПФ в зависимости от N может в сотни раз превосходить быстродействие стандартного алгоритма. При этом следует подчеркнуть, что алгоритм БПФ даже точнее стандартного, т.к. сокращая число операций, он приводит к меньшим ошибкам округления.

Оконное преобразование Фурье

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:

где даёт (вообще говоря несколько искажённое) распределение частот части оригинального сигнала f(t) в окрестности времени t.

Свойства преобразований Фурье

1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

a_ns_n(t) ? a_nS_n(щ)

2. Свойства четности

Преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

3. Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля.

4. Теорема запаздывания. Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу функции на интервал t_o приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину -щt_o без изменения модуля (амплитудной функции) спектра.

5. Преобразование производной (дифференцирование сигнала):

s(t) = d[y(t)]/dt = d[Y(щ) exp(jщt) dщ]/dt =Y(щ) [d(exp(jщt))/dt]dщ= = jщ Y(щ) exp(jщt) dщ jщ Y(щ).

Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области jщ, что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jщ приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.

6. Преобразование интеграла сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих простых соображений. Если имеет место s(t) = d[y(t)]/dt jщY(щ) = S(щ), то должна выполняться и обратная операция: y(t) =s(t) dt Y(щ) = S(щ)/jщ. Отсюда следует:

s(t)dt ? (1/j щ)S(щ).

Оператор интегрирования в частотной области (1/j щ) при щ >1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при щ <1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90⁰ для положительных частот и на 90⁰ для отрицательных.

7. Преобразование свертки сигналов y(t) = s(t) _* h(t):

Y(щ) =y(t) exp(-jщt) dt =s(ф) h(t- ф) exp(-jщt) dфdt

Y(щ) =s(ф) d ф h(t- ф) exp(-jщt) dt.

По теореме запаздывания:

h(t- ф) exp(-jщt) dt = H(щ) exp(-jщt).

Отсюда:

Y(щ) =H(щ) s(ф) exp(-jщ ф) dф= H(щ)·S(щ).

s(t)_*h(t)?S(щ)H(щ).

Таким образом, свертка функций в координатной форме отображается в частотном представлении произведением фурье-образов этих функций.

8. Преобразование произведения сигналов y(t) = s(t)·h(t):

Y(?) =s(t) h(t) exp(-j?t) dt =s(t) [(1/2?)H(?') exp(j?'t) d?'] dt = (1/2?)s(t)H(?') exp(-j(?-?')t) d?'dt = (1/2?)H(?') d?'s(t) exp(-j(?-?')t) dt = (1/2?)H(?') S(?-?') d?' = (1/2?) H(?) _* S(?).

Произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций.

9. Умножение сигнала на гармоническую функцию заполняет сигнал гармонической частотой и формирует радиоимпульс.

10. Спектры мощности. Если функция s(t) имеет фурье-образ S(?), то спектральная плотность мощности данной функции определяется выражениями:

w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)|² |S(?)|² = S(?) S*(?) = W(?).

Спектр мощности - вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. математический метод преобразование фурье

11. Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:

E_s=W(f)df=|S(f)|² df.

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:

|s(t)|² dt =|S(f)|² df,

т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра - сумме энергий всех частотных составляющих сигнала.

Применение преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки -- в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

-преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина);

-преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование;

-синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота -- консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.);

-по теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел;

-дискретная версия преобразования Фурье может быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье.

Заключение

В наше время изучение преобразования Фурье главным образом сводится к поиску эффективных способов перехода от функций к их преобразованному виду и обратно. Чтобы вычислить интеграл Фурье и произвести преобразование, можно воспользоваться аналитическими методами. И хотя при попытке применения этих методов в повседневной практике могут возникнуть определённые трудности, многие интегралы Фурье уже найдены и сведены в математические справочники. Кроме того, эти методы можно дополнить, ознакомившись с несколькими полезными теоремами, относящимися к преобразованиям Фурье. С помощью этих теорем можно справиться с более или менее сложными волновыми функциями путём сведения их к ряду более простых составляющих.

Преобразование Фурье стало мощным инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине, химии и физике.

Библиографический список

1. Давыдов А.В. Сигналы и линейные системы: Тематические лекции. - Екатеринбург: УГГУ, ИГиГ, ГИН, Фонд электронных документов, 2010.

2. Давыдов А.В. Цифровая обработка сигналов: Тематические лекции. - Екатеринбург: УГГУ, ИГиГ, ГИН, Фонд электронных документов, 2005.

3. Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации: Учебник для вузов. - М.: Недра, 2014. - 342 с.

4. http://ega-math.narod.ru

Размещено на Allbest.ru