Определение случайных величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

12

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Определение случайных величин

2. Классификация случайных величин

3. Способы задания случайных величин с помощью законов

4. Функция распределения для непрерывных случайных величин

5. Плотность распределения для непрерывных случайных величин

6. Попадание величины в заданный интервал

7. Численные характеристики случайных величин

7.1 Математическое ожидание

7.2 Дисперсия

7.3 Отклонения

8. Общие понятия проверки статистических гипотез

Заключение

Список используемой литературы

Приложение



Введение

Случайные явления вызываются вполне определенными причинами. Все явления окружающего нас мира взаимно связаны и влияют одно на другое. Поэтому каждое наблюдаемое явление связано причинной зависимостью с множеством других явлений и течение его зависит от множества факторов. Никакой закон не может характеризовать явление всесторонне. Наблюдаемые в реальном явлении отклонения от закономерности, вызываемые совместным действием бесчисленного множества неучтенных факторов, и представляют собой случайные явления.

При экспериментальном изучении какого-либо явления с целью установления его закономерностей приходится наблюдать его многократно в одинаковых условиях. При этом под одинаковыми условиями мы понимаем одинаковые значения всех количественных характеристик контролируемых факторов. Все неконтролируемые факторы будут при этом различными. Вследствие этого действие контролируемых факторов будет практически одинаковым при разных наблюдениях одного и того же явления. В этом как раз и проявляются законы данного явления. Случайные же отклонения от закономерности, вызванные действием неконтролируемых факторов, будут различными при разных наблюдениях, причем предвидеть заранее, какими они будут при данном конкретном наблюдении, принципиально невозможно. При многократном наблюдении случайных явлений в них самих можно заметить определенные закономерности. Изучением закономерностей массовых случайных явлений занимается особая математическая наука -- теория вероятностей. Раздел теории вероятностей, изучающий методы обработки результатов опытов и получения из них необходимых данных, называется математической статистикой.



1. Определение случайных величин

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, ..., 100. Рассмотрим прерывную случайную величину X с возможными значениями х1, х2, … хn. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий:

Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами:

Так как несовместные события образуют полную группу, то

т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице.



2. Классификация случайной величины

Существует два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины принимают в результате испытания одно из изолированного дискретного множества значений.

Примеры дискретных случайных величин: оценка, полученная на экзамене, число попаданий в мишень в серии из 10 выстрелов и т. п.

Вероятность принятия дискретной случайной величиной каждого из возможных ее значений больше нуля.

где i =... ?1, 0, 1 ...

Здесь X -- обозначение случайной величины; -- конкретные числовые значения, принимаемые дискретной случайной величиной; -- вероятности этих значений.

Непрерывные случайные величины в результате испытания могут принимать любые значения из некоторого интервала.

Примеры непрерывных случайных величин: спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и др.

Поскольку число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико и чаще всего нет оснований предположить, что одни значения появляются существенно чаще других, то вероятность принятия непрерывной случайной величиной каждого отдельного значения оказывается равной нулю. По этой причине нельзя описать распределение непрерывной случайной величины в виде вероятностей ее отдельных значений, как в случае дискретных случайных величин.



3. Способы задания случайных величин с помощью законов

Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей.

Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е.

F(x) = P (X <x).

Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения. Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ? F(x) ? 1.

2. Функции распределения есть неубывающая функция.

3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(а < X < b) = F(b) - F(а).

4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то

F(x) = 0 при х ? а?;F(x) = 1 при х ? b.

5. Справедливы следующие предельные отношения:

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х1, х2, …,хn, функция распределения имеет вид

,

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений хi, величина которых меньше х.



4. Функция распределения для непрерывных случайных величин

Предположим, что для непрерывной случайной величины Х ее функция распределения F(x) имеет непрерывную производную

F'(x)= ц(x).

Функцию ц(x) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальной функцией.

Так как плотность вероятности ц(x) является производной неубывающей функции F(x), то она неотрицательна: ц(x)?0. В отличие от функции распределения, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие значения.

Так как F(x) является первообразной для ц(x), то на основании формулы Ньютона-Лейбница имеем

P(a ? X ? b) =



5. Плотность распределения для непрерывных случайных величин

Непрерывную случайную величину можно задать плотностью распределения вероятностей - функцией (аналог ряда распределения для дискретной случайной величины). Плотность распределения неотрицательна и площадь под графиком этой функции равна 1

Что касается вероятностей, то по определению

.

Функция распределения непрерывной случайной величины определяется соотношением

.

Функция распределения возрастает от 0 до 1.

Плотность распределения и функция распределения случайной величины связаны между собой соотношениями

????????? ????? ???????????

.

Вот так могут выглядеть графики плотности распределения и функции распределения случайной величины:

Рис. 1. Слева график плотности, справа функции распределения



6. Попадание величины в заданный интервал

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некотором интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом ин-тервале;

P(a ? X ?b) = F (b) - F (а).

При рассмотрении функции распределения, числовой промежуток записывается так же в виде [x₁; x₂], тогда вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в этом интервале равна:

p(x₁? x ? x₂) = F (x₂) - F (x₁).

Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.



7. Численные характеристики непрерывных величин

Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания и не требуется. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.

1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).

2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение у(х)).

3. Характеристики формы кривой y = ц(x) (асимметрия As, эксцесс Ех).

Рассмотрим подробнее каждую из указанных характеристик.

7.1 Математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:

Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределения ц(x) математическим ожиданием называется следующий интеграл:



Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует. Свойства математического ожидания:

1. М(С) = C, где С = const;

2. M(C•Х) = С•М(Х);

3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y - любые случайные величины;

4. М(Х•Y)=М(Х)•М(Y),

где X и Y - независимые случайные величины.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

7.2 Дисперсия

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания

D(X) = M(X -М(Х))2.

Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле:

а) для дискретной величины

б) для непрерывной случайной величины

j(х)dx - [M(X)]2

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. D(C) = 0, где С = const;

2. D(CЧX) = C2•D(X);

3. D(X±Y) = D(X) + D(Y), если X и Y независимые случайные величины.

7.3 Среднеквадратическое отклонение

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е.

у(X) =.



8. Общие понятия проверки статистических гипотез

Сущность и виды проверки статистических гипотез

В процессе статистического анализа иногда бывает необходимо сформулировать и проверить предположения (гипотезы) относительно величины независимых параметров или закона распределения изучаемой генеральной совокупности (совокупностей).

Например, исследователь выдвигает гипотезу о том, что «выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности» или «генеральные средние двух анализируемых совокупностей равны». Такие предположения называются статистическими гипотезами.

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.

Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

Иными словами, статистической гипотезой называется предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на данные выборки. Обозначается гипотеза буквой Н. Так, может быть выдвинута гипотеза о том, что средняя в генеральной совокупности равна некоторой величине.

Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую гипотезу с минимальным рисков ошибки. Эта проверка осуществляется по определенным правилам.

Гипотезы в свою очередь классифицируются на:

- простые и сложные;

- параметрические и непараметрические;

- основные (высказанные) и альтернативные (конкурирующие).

Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой.

Гипотезы о параметрах генеральной совокупности называются параметрическими, о распределениях - непараметрическими.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Ее принято обозначать Н0. При этом предполагается, что действительное различие сравниваемых величин равно нулю, а выявленное по данным отличие от нуля носит случайный характер. Нулевая гипотеза отвергается тогда, когда по выборке получается результат, который при истинности выдвинутой нулевой гипотезы маловероятен.

По отношению к высказанной (основной) гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей. Альтернативную (конкурирующую) гипотезу принято обозначать Н1.

В качестве нулевой гипотезы Н0 принято выдвигать простую гипотезу, так как обычно бывает удобнее проверять более строгое утверждение.

По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на несколько основных типов:

- гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины;

- гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности;

- гипотезы об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;

- гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками; и др.

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, т.е. ограниченного ряда наблюдений, решения относительно нулевой гипотезы Н0 имеют вероятностный характер. Другими словами, такое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя возможно и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.

Так, в какой-то небольшой доле случаев а нулевая гипотеза Н0 может оказаться отвергнутой, в то время как в действительности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода, а ее вероятность - уровнем значимости и обозначают.?

При фиксированном объеме выборки можно выбрать по своему усмотрению величину вероятности только одной из ошибок. Увеличение вероятности одной из них приводит к снижению другой.

Правильное решение относительно нулевой гипотезы Н0 также может быть двух видов:

- будет принята нулевая гипотеза Н0, когда в генеральной совокупности верна нулевая гипотеза Н0; вероятность такого решения 1;

- нулевая гипотеза Н0 будет отклонена в пользу альтернативной Н1, когда в генеральной совокупности нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу альтернативной Н1;

В отношении свойств генеральной совокупности могут выдвигаться некоторые гипотезы о величине средней, дисперсии, характере распределения, форме и тесноте связи между переменными.

Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления согласованности эмпирических данных с гипотетическими (теоретическими). Если расхождение между сравниваемыми величинами не выходит за пределы случайных ошибок, гипотезу принимают. При этом не делается никаких заключений о правильности самой гипотезы, речь идет лишь о согласованности сравниваемых данных.

Основой проверки статистических гипотез являются данные случайных выборок, При этом безразлично, оцениваются ли гипотезы в отношении реальной или гипотетической генеральной совокупности. Последнее открывает путь применения этого метода за пределами собственно выборки: при анализе результатов эксперимента, данных сплошного наблюдения, но малой численности. В этом случае рекомендуется проверить, не вызвана ли установленная закономерность стечением случайных обстоятельств, насколько она характерна для того комплекса условий, в которых находится изучаемая совокупность.

Особенно часто процедура проверки статистических гипотез проводится для оценки существенности расхождений сводных характеристик отдельных совокупностей (групп): средних, относительных величин. Такого рода задачи, как правило, возникают в социальной статистике. Трудоемкость статистико-социологических исследований приводит к тому, что почти все они строятся на несплошном учете. Поэтому проблема доказательности выводов в социальной статистике стоит особенно остро. Применяя процедуру проверки статистических гипотез, следует помнить, что она может гарантировать результаты с определенной вероятностью лишь по «беспристрастным» выборкам, на основе объективных данных.

Выбор критериев для проверки статистических гипотез

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющегося функцией от результатов наблюдения.

Статистический критерий - это правило (формула), по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н0.

Как уже отмечалось выше, следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер, так как принимаемые вывод основываются на изучении свойств распределения случайной переменной по данным выборки, а потому всегда существует риск допустить ошибку. Однако с помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятия ложного решения. Если вероятность последнего невелика, то можно считать, что применяемый критерий обеспечивает малый риск ошибки.

При проведении проверки статистических гипотез в первую очередь приходится решать задачи статистической проверки гипотез о:

1) принадлежности «выделяющихся» единиц исследуемой выборочной совокупности генеральной совокупности;

2) виде распределения изучаемых признаков;

3) величине средней арифметической и доли;

4) наличии и тесноте связи между изучаемыми признаками;

5) о форме корреляционной связи.

При проверке гипотез имеется возможность совершить ошибку двоякого рода:

а) ошибка первого рода - проверяемая гипотеза (нулевая гипотеза Н0) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от нее;

б) ошибка второго рода - проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к принятию.

В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверки практически любых гипотез. Притом основные принципы их построения и применения являются общими. Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:

1) сформулировать проверяемую гипотезу Н0. Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая (альтернативная) гипотеза;

2) выбрать уровень значимости, контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода;

3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область;

4) принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значений критерия.

Проверка статистических гипотез складывается из следующих этапов:

- формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования;

- выбирается статистическая характеристика гипотезы;

- выбираются испытуемая и альтернативная гипотезы на основе анализа возможных ошибочных решений и их последствий;

- определяются область допустимых значений, критическая область, а также критическое значение статистического критерия (t, F) по соответствующей таблице;

- вычисляется фактическое значение статистического критерия;

- проверяется испытуемая гипотеза на основе сравнения фактического и критического значений критерия, и в зависимости от результатов проверки гипотеза либо отклоняется, либо не отклоняется.

Уровнем значимости будет называться такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Исходя из величины уровня значимости, можно определить критическую область, под которой понимается такая область значений выборочной характеристики, попадая в которую они будут свидетельствовать о том, что проверяемая гипотеза должна быть отвергнута. К критической области относятся те значения, появление которых при условии верности гипотезы было бы маловероятным.

Допустим, что рассчитанное по эмпирическим данным значение критерия попало в критическую область, тогда при условии верности проверяемой гипотезы Н0 вероятность этого события будет не больше уровня значимости. Поскольку выбирается достаточно малым, то такое событие является маловероятным и, следовательно, проверяемая гипотеза Н0 может быть отвергнута.

Если же наблюдаемое значение характеристики не принадлежит к критической области и, следовательно, находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза Н0 не отвергается. Вероятность попадания критерия в область допустимых значений при справедливости проверяемой гипотезы Н0 равна 1.

Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность браковать проверяемую гипотезу, когда она верна, т.е. меньше вероятность совершить ошибку первого рода. Но при этом расширяется область допустимых значений и, значит, увеличивается вероятность совершения ошибки второго рода.

Все значения рассматриваемой характеристики, не принадлежащие к критической области образуют так называемую область допустимых значений. Если наблюдаемое значение характеристики находится в области допустимых значений, то проверяемая гипотеза принимается с вероятностью.

Выбор критерия для проверки статистических гипотез может осуществляться на основании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить критерий, наиболее мощный среди всех возможных критериев. Суть его сводится к выбору такого критерия К с известной функцией плотности f(k) при условии справедливости гипотезы Н0, чтобы при заданном условии значимости можно было бы найти критическую точку Ккр распределения f(k), которая распределила бы область допустимых значений, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят наиболее правдоподобными, и критическую область, в которой результаты выборочного наблюдения выглядят менее правдоподобными в отношении нулевой гипотезы Н0.

Если такой критерий К выбран, и известна плотность его распределения, то задача проверки статистической гипотезы сводится к тому, чтобы при заданном уровне значимости рассчитать по выборочным данным наблюдаемое значение критерия Кнабл и определить, является ли оно наиболее или наименее правдоподобным в отношении нулевой гипотезы Н0.

Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным в каждом конкретном случае.

Как уже отмечалось ранее, проверка статистических гипотез применяется в разных областях для изучения массовых явлений. Изучение массовых явлений, как правило, осуществляется по неполной информации. В составе собранных данных могут встречаться единичные наблюдения, у которых отдельные значения изучаемых признаков заметно отличаются от общей тенденции изменения большинства значений. Причины таких отличий могут быть разными:

1) из-за ошибок наблюдения;

2) вследствие случайного стечения различных обстоятельств, каждый из которых в отдельности несущественный, но совокупное их влияние привело к таким резко выделяющимся от общей картины значениям признаков;

3) как следствие нарушения однородности изучаемой совокупности.

В общем случае все значения изучаемых признаков фиксируются по известным единицам совокупности по их части, отобранной с учетом всех требований. Следовательно, первичные статистические данные, включая и резко «выделяющемся», соответствуют конкретным случаям проявления изучаемого явления. Следовательно, субъективное отбрасывание «выделяющихся» единиц недопустимо.

Основные принципы расчета критериев для проверки статистических гипотез

Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью соответствующего критерия, являющегося наиболее мощным для в каждом конкретном случае. Например, проверка гипотезы о виде закона распределения случайной величины может быть осуществлена с помощью критерия согласия Пирсона 2; проверка гипотезы о равенстве неизвестных значений дисперсий двух генеральных совокупностей - с помощью критерия Фишера F; ряд гипотез о неизвестных значениях параметров генеральных совокупностей проверяется с помощью критерия Z - нормальной распределенной случайной величины и критерия t-Стьюдента и т. д.

Значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия (Кнабл.).

Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений (наиболее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н0) и критическую область (область значений, менее правдоподобных в отношении нулевой гипотезы Н0), определяемые на заданном уровне значимости а по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве критерия, называются критическими точками (Ккр).

Областью допустимых значений (областью принятия нулевой гипотезы Н0) называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н0 не отклоняется.

Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Если конкурирующая гипотеза - правосторонняя, например, Н1: а > а0, то и критическая область правосторонняя . При правосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка (К кр.п) принимает положительные значения.

Если конкурирующая гипотеза - левосторонняя, например, Н1: а < а0, то и критическая область - левосторонняя . При левосторонней конкурирующей гипотезе критическая точка принимает отрицательные значения (Ккр.л).

Если конкурирующая гипотеза - двусторонняя, например, Н1: а=а0, то и критическая область - двусторонняя. При двусторонней конкурирующей гипотезе определяются 2 критические точки (Ккр.л и Ккр.п).

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

- если наблюдаемое значение критерия (Кнабл) принадлежит критической области, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей;

- если наблюдаемое значение критерия (Кнабл) принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить.

Можно принять решение относительно нулевой гипотезы Н0 путем сравнения наблюдаемого (Кнабл) и критического значений критерия (Ккр).

При правосторонней конкурирующей гипотезе:

- если Кнабл < Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;

- если Кнабл > Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.

При левосторонней конкурирующей гипотезе:

- если Кнабл >- Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;

- если Кнабл < - Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.

При двусторонней конкурирующей гипотезе:

- если - Ккр < Кнабл < Ккр, то нулевую гипотезу Н0 нельзя отклонить;

- если Кнабл > Ккр или Кнабл < -Ккр, то нулевая гипотеза Н0 отклоняется в пользу конкурирующей Н1.



Заключение

Теория вероятностей является мощным инструментом исследования, и поэтому она находит большое число самых разнообразных применений в различных областях. Области ее применения непрерывно расширяются. В прошлом веке теория вероятностей получила применение в теории измерений, в теории стрельбы и в физике. В нашем веке она постепенно проникла в аэродинамику и гидродинамику, радиотехнику, теорию управления, динамику полета, теорию связи, строительную механику, теорию механизмов и машин, теорию волнения моря и качки кораблей, метеорологию и во многие другие области знания. Сейчас трудно назвать отрасль науки, которая не пользовалась бы вероятностными методами. Вся теория современных сложных систем и процессов управления основана на применении статистических методов. Этот процесс непрерывного расширения областей применения теории вероятностей вполне естествен и легко объясняется. Теория вероятностей во всех таких случаях неизменно дает новую теорию, более точно описывающую изучаемые явления и обеспечивающую совпадение результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными. Особенность вероятностных методов состоит в том, что они рассматривают исследуемое явление в целом, изучают результаты совокупного действия всех причинных связей, которые невозможно проследить по отдельности.



Список используемой литературы

1) Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа, 2012.

2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 2004.

3) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 2003.

4) Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. М., Изд. МГУ, 2012.

5) Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М, Высшая школа,2009.

6) Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1978.

7) Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под ред. А.А.Свешникова. М.,Наука, 1970.



Приложение

Задача .

Случайные величины X и Y заданы законами распределений. Определить математическое ожидание, дисперcию и среднее квадратическое отклонение величин X и Y. Составить законы распределения случайных величин Z=X+Y, V=XY. Построить многоугольник распределения случайной величины Z. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины W=2X-4Y

75.

X	3	7	8
P	0,4	P2	0,4

Y	-5	7
q	0,3	0,7

=1-(+)=1-(0,4+0,4)=1-0,8=0,2

M(x)==3*0,4+7*0,2+8*0,4=1,2+1,4+3,2=5,8

M()=9*0,4+49*0,2+64*0,4=3,6+9,8+25,6=39

D(x)=M()-(x)=39-33,64=2.36

(x)===1.5

M(y)==(-5)*0,3+7*0,7=-1,5+4,9=3,4

M(=25*0,3+49*0,7=7,5+34,3=41,8

D(y)==41,8-11,56=30,24

(y)===5,5

Z=x+y	-2	10	2	14	15	3
p*q	0,12	0,21	0,06	0,14	0,28	0,12

V=x*y	-15	21	-35	49	56	-40
p*q	0,12	0,21	0,06	0,14	0,28	0,12

W=2x-4y

M(W)=M(2x-4y)=M(2x)+M(-4y)=M(2x)-M(4y)=2*5,8-4*3,4=11,6-13-6=2

D(W)=D(2x-4y)=D(2x)+D(-4y)=D(2x)-D(4y)=4D(x)-16D(y)=4*2,36-14*30,24=9,44-423,36=-413,92

Задача

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти:

1) Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a; b)

2) Плотность распределения f(x)

3) математическое ожидание, дисперcию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X

4) построить графики функций F(x), f(x)

95.



1) P(a<x<b)=

2)

3)M(x)=

D(x)=

4)



3. НСВ X задана дифференциальной функцией f(x):

а) Найти функцию распределения СВ X: F(x).

б) Построить графики F(x) и f(x).

в) Найти вероятность попадания СВ X в интервал ().

Решение:

А)



Б)

В)

2часть

Задание 2.1

По имеющимся данным построить закон распределения заданной случайной величины (см. варианты задания). Необходимо:

1. Построить вариационный (или интервальный) ряд исследуемой случайной величины.

2. Произвести группировку данных вариационного ряда на 6 - 10 интервалов (разрядов, групп), построить таблицу частот, вычислить и представить графически эмпирические функции распределения исследуемой случайной величины.

3. Определить основные характеристики выборочной совокупности для исследуемой случайной величины.

4. Построить доверительные интервалы для среднего и дисперсии заданной случайной величины (выбрать б = 0,05; 0,01; 0,1 самостоятельно).

Урожайность пшеницы (ц/га): 21.3; 21.4; 20.6; 20.8; 22.4; 23.8; 19.3; 17.4; 18.9; 21.4; 22.8; 22.6; 23.1; 22.9; 19.4; 19.5; 20.5; 20.6; 20.7; 21.0; 22.0; 21.8; 20.9; 20.0; 21.4; 23.0.



Задание 2.2

Задача 1.

По двум выборкам нормальных законов распределения проверить гипотезу о равенстве дисперсий (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости 0,1. Определить:

1) дисперсию первой выборки;

2) дисперсию второй выборки;

3) вычисленное значение критерия;

4) теоретическое значение критерия;

5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Решение:

Первая выборка: 26.6 29.0 27.6 36.4 27.6 40.0 40.3 31.1 31.9 31.5

Вторая выборка: 44.3 60.5 13.0 29.3 24.7 40.0 39.8 64.4 31.3 14.5 50.0

В MS Excel по формуле ДИСП нашла .

Уровень значимости б = 0,1. Проверим нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе: H₁: D (X) D (Y).

F_набл =.

По таблице критических точек распределения Фишера--Снедекора по уровню значимости б/2 (вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы k₁ и k₂ (k₁ = n₁ - 1 и k₂ = n₂ - 1.) найти критическую точку F_кр (б/2; k₁, k₂).

Если F_набл < F_кр--нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если F_набл > F_кр --нулевую гипотезу отвергают.

F_кр найдем при помощи формулы «=FРАСПОБР» Критическая область - односторонняя. Вычислим наблюдаемое значение критерия(отношение больше дисперсии к меньшей) :

=3,18

Следовательно, отвергаем нулевую гипотезу.

Задача 2.

По данным двух выборок нормального закона распределения проверить гипотезу о равенстве генеральных средних (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости б.

В ответе привести:

1) выборочное среднее для первой выборки;

2) выборочное среднее для второй выборки;

3) вычисленное значение критерия;

4) табличное значение;

5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Имеются независимые выборки значений нормально распределенных случайных величин:

Выборка 1: -52.3 36.1 -15.8 23.2 9.5 66.7 15.9 -13.7 -15.9 70.0

Выборка 2: 74.9 17.9 27.9 37.1 33.8 26.1 32.0 12.3 24.8 5.6 73.9 27.4 43.0 16.8 54.4

Для уровня значимости б = 0,050 при условии равенства генеральных дисперсий нулевую проверить гипотезу Н_о: М (Х) = М (Y) при конкурирующей гипотезе Н₁: М (Х) ? М (Y).

Решение:

Объемы выборок n₁ =10 , n₂ =15 . Вычислим выборочные средние и исправленные выборочные дисперсии: Вычислим выборочные средние и исправленные выборочные дисперсии:

Найдем наблюдаемое значение критерия:

Критическая область - двусторонняя, t_{двуст.кр.}(0,050; 23) = 2,0687.

|T_набл | < t_{двуст.кр.}, следовательно, отвергаем нулевую гипотезу. Среднее генеральных совокупностей неравны.

Задача 3.

По данным двух выборок нормального закона распределения (первая - с дисперсией S₁², вторая - с дисперсией S₂²) проверить гипотезу о равенстве средних значений при уровне значимости б (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве). В ответе привести:

1) выборочное среднее для первой выборки;

2) выборочное среднее для второй выборки;

3) вычисленное значение критерия;

4) критическое значение;

5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

S₁ = 23, S₂ = 33, б = 0.030

Выборка 1:

44.7 48.4 52.0 22.6 46.7 34.0 70.4 38.4 64.3 33.6 38.2 4.6 78.8 50.7 45.1 55.3 82.0 47.9 9.0 13.7 45.5 68.1 43.8 39.4 35.1 29.6 55.9 40.8 100.8 46.3

24.4 51.2 39.7 63.8 3.2 40.3 19.9 36.1 43.6 66.8 48.0 23.9 12.9 73.8 51.5 60.2 2.6 73.8 71.5 73.6 51.6 47.1 57.6 17.2 68.8 7.6 21.4 21.9 49.5 12.7

22.8 40.2 62.5 53.9 91.6 47.2 75.7 58.6 47.0 26.8 22.7 67.4 48.9 21.2 3.5 69.0 26.4 53.4 39.7 49.7 22.3 49.7 20.6 -4.5 51.9 72.5 39.9 -18.1 56.8 51.2

47.1 16.2 82.4 23.8 40.8 47.8 104.9 82.7 30.7 65.6

Выборка 2:

-28.0 42.9 27.9 80.4 55.7 48.0 77.0 42.8 67.7 43.4 58.5 43.8 26.1 45.8 101.9 60.4 35.2 49.8 12.8 128.8 36.7 42.9 -4.5 62.0 87.1 87.4 73.3 24.4 51.3 72.8 56.8 -3.3 29.3 26.4 107.1 53.8 72.7 14.0 29.9 58.5 50.3 16.5 89.6 42.0 51.5 -10.0 18.3 35.0 68.8 120.7 46.7 70.6 -10.8 72.2 50.3 50.1 88.8 -4.4 43.4 31.7 6.6 -17.4 45.0 38.7 16.4 23.2 58.6 51.2 46.5 76.9 -16.3 54.7 2.7 30.0 30.3 54.3 91.1 64.2 12.7 43.0 20.9 53.5 50.1 16.6 1.7 93.0 111.9 10.3 37.7 44.6 43.3 10.4 22.0 65.4 14.4 48.6 70.8 50.7 65.6 55.9

Решение:

Имеются две независимые выборки большого объема, извлеченные из генеральных совокупностей, законы распределения и дисперсии которых неизвестны. При этом для объема выборки, не меньшего 30, можно считать, что выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий (следовательно, считаем известными приближенные значения генеральных дисперсий):

=44,54: с помощью формулы «=СРЗНАЧ»

=44,85: с помощью формулы «=СРЗНАЧ».

= S₁ = 23

= S₂ = 33

Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Но: М (Х) = М (У) о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁: М(Х)?М(У), надо вычислить наблюденное значение критерия Z_набл и по таблице функции Лапласа найти критическую точку по равенству Ф_zкр =(1--б)/2.

Ц(Z_кр)=()/2=0,485

Z_кр=0,12

Так как Z'_набл <Z_кр , следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу - можно считать, что математические ожидания генеральных совокупностей равны.

Задача 4.

При проведении n₁ испытаний в первой серии число благоприятных исходов равнялось m₁. Во второй серии из n₂ испытаний число благоприятных исходов равнялось m₂. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей благоприятного исхода в двух сериях (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости б. В ответе привести:

1) вычисленное значение критерия;

2) критическое значение;

3) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

n_{1 =} 1000, m₁ = 376, n₂ = 200, m₂ = 65, б = 0.050

Решение:

Вычисленное значение критерия:

Так как конкурирующая гипотеза Н₁: р₁ ? р₂ то, U_кр определяется из неравенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством |U| > U_кр Ф(U_кр)

По таблице функции Лапласа находим U_кр= 0.60

|U| >U_кр 36,43>0,60.

Следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность благоприятных исходов в обеих сериях испытаний одинакова.

Задача 5.

По данным выборки выбрать гипотезу о виде закона распределения и проверить ее, используя критерий Пирсона при уровне значимости б. В ответе привести:

1) выбранную гипотезу о виде закона распределения;

2) вычисленное значение критерия;

3) критическое значение;

4) вывод о принятии или не принятии гипотезы

Условие:

Номер интервала	Границы интервала	Эмпирические частоты
1	55-57,2	4
2	57,2-59,4	20
3	59,4-61,6	23
4	61,6-63,8	9
5	63,8-66	9
6	66-68,2	16
7	68,2-70,4	13
8	70,4-72-6	6

Объем выборки n= 100 б = 0.025

Решение:

Найдем = 63,8 s = 5,41

Теоретические частоты для нормального распределения:

Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения = п • Р_i, где п - объем выборки, x_i и x_{i + 1} - левая и правая границы i-го интервала, - выборочное среднее, s - исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n - 3;

=100*0,06=6

=100*0,96=96

=100*0,13=13

=100*0,15=15

=100*0,15=15

=100*0,13=13

=100*0,96=96

=100*0,06=6

С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности. Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты , и в качестве критерия выбирается случайная величина , имеющая закон распределения ч² с числом степеней свободы k = s - 1 - r, где s - число частичных интервалов выборки, r - число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости б находится по таблице критических точек распределения ч².

i	ni	n'i
1	4	6
2	20	96
3	23	13
4	9	15
5	9	15
6	16	13
7	13	96
8	6	6

Критическая точка:

Так как гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается.

Размещено на Allbest.ru

...