Метод релаксації змінних систем лінійних рівнянь
Загальна характеристика методів рішення систем лінійних рівнянь. Метод релаксації у його найпростішій формі. Використання метода релаксації змінних в системах лінійних рівнянь. Підставлення знайдених значень кореню у вихідні рівняння для контролю.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 17.01.2016 |
| Размер файла | 135,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru//
Размещено на http://www.allbest.ru//
Вступ
Бурхливий розвиток новітньої техніки й все більше впровадження сучасних розділів математики незмірно підвищили вимоги до математичної підготовки фахівців і вдосконалюванню техніки програмування. Програмістам, що займаються прикладним, системним або Web програмуванням необхідно чітко бачити алгоритм створюваного проекту, будь те текстовий процесор або серйозна операційна система. Математичне утворення дає програмістові можливість простіше й оптимальніше побудувати як сам алгоритм, так і програму.
Сьогодні серйозні компанії працюють над новими мовами програмування й засобами реалізації коду. Так, завдяки Б.Страуструпу було уведено об'єктно - орієнтоване програмування, створений їм мова C++ відкрив перед програмістами нові обрії. Але час не коштує на місці й C++ перестає бути популярним, на зміну йому приходить JAVA, що має винятково класову структуру, написані на ньому програми займають менший об'єм пам'яті й виконуються набагато швидше. Але деякі мови не мають об'єктно - орієнтованої структури еволюціонували й представляють саму перспективну галузь серед інших мов, такими мовами є Delphi (Остання версія якого - 2006), Visual Basic 2005(Visual Studio 2005).
У своєму проекті я буду використовувати Borland C++ версії 4.5, тому що вважаю його найбільш оптимальним для поставленої мною задачі.
Загальна характеристика методів рішення систем лінійних рівнянь
Способи вирішення систем лінійних рівнянь в основному розділяються на дві групи: 1) точні методи, що представляють собою кінцеві алгоритми для обчислення корінь системи ( до таких методів ставляться: правило Крамера, метод Гаусса, метод головних елементів, метод квадратних корінь і ін.), і 2) ітераційні методи, що дозволяють одержувати корінь системи із заданою точністю, шляхом збіжних нескінченних процесів (до їхнього числа належать метод ітерацій, метод Зейделя, метод релаксації і ін.).
Внаслідок неминучих округлень результати навіть точних методів є наближеними, причому оцінка погрішностей корінь у загальному випадку скрутна. При використанні ітераційних процесів, поверх того, додається погрішність методу.
Однак ефективне застосування ітераційних методів істотно залежить від вибору початкового наближення й швидкості збіжності процесу.
Метод релаксації змінних систем лінійних рівнянь
П.З.:
Дана система лінійних рівнянь, необхідно знайти та ін.
Нехай маємо наступну систему лінійних рівнянь:
(1)
Перетворимо цю систему в такий спосіб: перенесемо вільні члени ліворуч і розділимо перше рівняння на - б друге на - і т.д. Тоді одержимо систему, приготовлену до релаксації,
(2)
де
и.
Нехай початкове наближення рішення системи (2). Підставляючи ці значення в систему (2), одержимо нев'язання
(3)
Якщо однієї з невідомих дати приріст , то відповідне нев'язання зменшиться на величину , а всі інші нев'язання збільшаться на величини . Таким чином, щоб звернути чергове нев'язання в 0, досить величині дати приріст
і ми будемо мати:
и
при
релаксація лінійний рівняння
Метод релаксації (по-російському: ослаблення) у його найпростішій формі полягає в тім, що на кожному кроці перетворюють у нуль максимальну по модулі нев'язання шляхом зміни значень відповідного компонента наближення. Процес закінчується, коли всі нев'язання останньої перетвореної системи будуть рівні 0 із заданою точністю. Питання про збіжність цього процесу ми залишаємо без розгляду .
Використання метода релаксації змінних в системах лінійних рівнянь на прикладі
Приклад. Методом релаксації вирішити систему
(4)
роблячи обчислення із двома десятковими знаками.
Рішення. Приводимо систему (4) до виду, зручному для релаксації
Вибираючи як початкові наближення корінь нульові значення
Знаходимо відповідні їм нев'язку
Відповідно до загальної теорії думаємо:
Звідси одержуємо нев'язку
|
0 |
0,60 |
0 |
0,70 |
0 |
0,80 |
||
|
0,16 |
0,16 |
-0,80 |
|||||
|
0,76 |
0,86 |
0 |
|||||
|
0,17 |
0,86 |
-0,86 |
0,09 |
||||
|
0,93 |
0 |
0,09 |
|||||
|
0,93 |
-0,93 |
0,09 |
0,09 |
||||
|
0 |
0,09 |
0,18 |
0,18 |
||||
|
0,04 |
0,04 |
-0,18 |
|||||
|
0,04 |
0,13 |
0,13 |
0 |
||||
|
0,03 |
-0,13 |
0,01 |
|||||
|
0,07 |
0,07 |
0 |
0,01 |
||||
|
-0,07 |
0,01 |
0,01 |
|||||
|
0 |
0,01 |
0,02 |
0,02 |
||||
|
0 |
0 |
-0,02 |
|||||
|
0 |
|||||||
|
0 |
0,01 |
0,01 |
0 |
||||
|
0 |
-0,01 |
0 |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
|||||
|
1,00 |
1,00 |
1,00 |
Далі, думаємо
і т.д. Відповідні результати обчислень наведені в таблиці.
Підсумовуючи всі прирости , одержимо значення корінь
Для контролю підставляємо знайдені значення корінь у вихідні рівняння; у цьому випадку система вирішена точно.
Висновки
Я навчився розв'язувати системи лінійних рівнянь методом релаксації змінних, та закріпив отримані навички розробкою програми на мові Borland C++ 4.5.
Додаток А
Вирішити систему лінійних рівнянь методом релаксації змінних.
Лістинг програми 1.1:
#include<iostream.h>
#include<math.h>
int maximal(int n,double R0[]);
void main(){
int i,j,n,f,k,iter;
double S,det;
cout<<"Введите размерность матрицы(матрица должна быть квадратной)= ";cin>>n;
double *x=new double [n];
double **b=new double *[n];
for(i=0;i<n;i++)
b[i]=new double[n+1];
double **a=new double *[n];
for(i=0;i<n;i++)
a[i]=new double[n+1];
cout<<"Введите количество итераций:";
cin>>iter;
cout<<"Введите расширенную матрицу:\n";
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<=n;j++)
cin>>b[i][j];
}
cout<<"Подготавливаю матрицу к релаксации...\n";
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++)
a[i][j]=-b[i][j]/b[i][i];
a[i][n]=b[i][n]/b[i][i];
}
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n+1;j++)
cout<<" "<<a[i][j]<<" || ";
cout<<"\n";
}
double *x0=new double [n];
for(i=0;i<n;i++)
x[i]=0.0;
double *R0=new double [n];
cout<<"Введите значения начальных приближений:\n";
for(i=0;i<n;i++)
cin>>x0[i];
S=0.0;
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++)
S=S+a[i][j]*x0[i];
}
for(i=0;i<n;i++){
R0[i]=a[i][n]-x0[i]+S;
cout<<"R("<<i<<")="<<R0[i]<<" | ";
}
f=maximal(n,R0);
det=R0[f];
for(k=0;k<iter;k++){
cout<<"det{"<<k<<"}="<<det<<"\n";
for(i=0;i<n;i++){
if(i!=f) R0[i]=R0[i]+a[i][f]*det;
else R0[i]=R0[i]-det;
}
for(i=0;i<n;i++)
cout<<"R["<<i+1<<"]="<<R0[i]<<" ";
x[f]=x[f]+det;
f=maximal(n,R0);
det=R0[f];
}
cout<<"\n";
for(i=0;i<n;i++)
cout<<"X{"<<i+1<<"}="<<x[i]<<"\n";
delete []x;
delete []R0;
delete []x0;
delete []a;
}
int maximal(int n,double R0[]){
int i,f;
f=0.0;
for(i=0;i<n-1;i++){
if(R0[i+1]>R0[i]) f=i+1;
}
return f;
}
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Поняття математичного моделювання. Форми завдання моделей: інваріантна; алгоритмічна; графічна (схематична); аналітична. Метод ітерацій для розв’язку систем лінійних рівнянь, блок-схема. Інструкція до користування програмою, контрольні приклади.
курсовая работа [128,6 K], добавлен 24.04.2011Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.
курсовая работа [879,9 K], добавлен 02.10.2010Рішення основних систем лінійних рівнянь. Визначники другого та третього порядку. Властивості визначників, теорема розкладання. Теорема Крамера для систем рівнянь. Доцільність рішення задачі автоматизованим способом. Ймовірність допущення помилок.
курсовая работа [386,2 K], добавлен 18.12.2010Умова існування цілих розв’язків лінійних діофантових рівнянь, алгоритм Евкліда. Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними в цілих числах. Методика вивчення діофантових рівнянь в загальноосвітніх школах. Діофантові рівняння вищих порядків.
курсовая работа [758,4 K], добавлен 15.05.2019Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.
курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008Метод простої ітерації Якобі і метод Зейделя. Необхідна і достатня умова збіжності методу простої ітерації для розв’язання системи лінейних рівнянь. Оцінка похибки. Діагональне домінування матриці як умова збіжності ітерації. Основні переваги цих методів.
презентация [79,9 K], добавлен 06.02.2014Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами. Теоретичне дослідження основних теорій інваріантних тороїдальних многовидів для зліченних систем лінійних і нелінійних різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних та нескінченновимірних торах.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 18.12.2013Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.
курсовая работа [33,0 K], добавлен 29.08.2010Ознайомлення з нестандартними методами рішення рівнянь і нерівностей. Відомості з історії математики про рішення рівнянь. Розгляд та застосування на практиці методів рішення рівнянь і нерівностей, заснованих на використанні властивостей функції.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 26.01.2011Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром. Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами. Лінійні та квадратні нерівності. Застосування графічних методів паралельного переносу в розв’язанні задач з параметрами.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 16.06.2013Стандартні ірраціональні рівняння й методи їхнього рішення. Застосування основних властивостей функції: області визначення рівняння, значень, монотонності та обмеженості функції. Застосування похідної. Методи рішення змішаних ірраціональних рівнянь.
курсовая работа [406,7 K], добавлен 14.01.2011Основні поняття чисельних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосуванням елементарних перетворень. Зворотній хід методу Жордана-Гаусса. Метод оберненої матриці.
курсовая работа [165,1 K], добавлен 18.06.2015
