Методы математической статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Математическая статистика -- наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей позволяющую оценить надежность и точность выводов делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр. оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты свойства которых целиком известны. Предмет теории вероятностей -- свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).

Но часто эксперимент представляет собой черный ящик выдающий лишь некие результаты по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.

При этом возникают например следующие вопросы: Если мы наблюдаем одну случайную величину -- как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении? математический статистика дисперсия гистограмма

Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос набор экономических показателей или наконец последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты. Все вышеприведенные факторы обуславливают актуальность и значимость тематики работы на современном этапе направленной на глубокое и всестороннее изучение основных понятий математической статистики.

1. Предмет и метод математической статистики

В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел многомерный статистический анализ анализ функций (процессов) и временных рядов статистику объектов нечисловой природы. Существенная часть статистики математической основана на вероятностных моделях. Выделяют общие задачи описания данных оценивания и проверки гипотез. Рассматривают и более частные задачи связанные с проведением выборочных обследований восстановлением зависимостей построением и использованием классификаций (типологий) и др.

Для описания данных строят таблицы диаграммы иные наглядные представления например корреляционные поля. Вероятностные модели обычно не применяются. Некоторые методы описания данных опираются на продвинутую теорию и возможности современных компьютеров. К ним относятся в частности кластер-анализ нацеленный на выделение групп объектов похожих друг на друга и многомерное шкалирование позволяющее наглядно представить объекты на плоскости в наименьшей степени исказив расстояния между ними.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели порождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается что изучаемые объекты описываются функциями распределения зависящими от небольшого числа (1-4) числовых параметров. В непараметрических моделях функции распределения предполагаются произвольными непрерывными. В статистике математической оценивают параметры и характеристики распределения (математическое ожидание медиану дисперсию квантили и др.) плотности и функции распределения зависимости между переменными (на основе линейных и непараметрических коэффициентов корреляции а также параметрических или непараметрических оценок функций выражающих зависимости) и др. Используют точечные и интервальные (дающие границы для истинных значений) оценки.

В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов посвященных проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках) о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики связанный с проведением выборочных обследований со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов. В настоящее время наиболее актуальны методы поиска информативного подмножества переменных и непараметрические методы.

Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад когда К. Пирсон создал метод главных компонент. Позднее были разработаны факторный анализ[1] и многочисленные нелинейные обобщения.

Различные методы построения (кластер-анализ) анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без) автоматической классификации и др.

Математические методы в статистике основаны либо на использовании сумм (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей) или показателей различия (расстояний метрик) как в статистике объектов нечисловой природы. Строго обоснованы обычно лишь асимптотические результаты. В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчетов так и для имитационного моделирования (в частности в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

1.1 Основные понятия математической статистики

Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагогических явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную характеристи ку качественно однородной совокупности по определенному количественно му признаку. Нельзя, например, вычислить среднюю специальность или среднюю национальность студентов вуза, так как это качест венно разнородные явления. Зато можно и нужно определить в среднем числовую характеристику их успеваемости (средний балл), эффек тивности методических систем и приемов и т. д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, сред няя геометрическая, медиана, мода и другие. Наиболее распространенными являются средняя арифметическая, медиана и мода.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда между определяю щим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зави симость (например, при улучшении показателей работы учебной группы улучшаются показатели работы каждого ее члена).

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления сум мы величин на их число и вычисляется по формуле:

Размещено на http://www.allbest.ru/

где Х - средняя арифметическая; X1, X2, Х3 ... Хn - результаты отдельных наблюдений (приемов, действий),

n - количество наблюдений (приемов, действий),

- сумма результатов всех наблюдений (приемов, действий).

Медианой (Ме) называется мера среднего положения, характеризующая значение признака на упорядоченной (построенной по признаку возрастания или убывания) шкале, которое соответствует середине исследуемой совокупности. Медиана может быть определена для порядковых и количественных признаков. Место расположения этого значения определяется по формуле:

Место медианы = (n + 1) / 2

Например. По результатам исследования установлено, что:

- на “отлично” учатся - 5 человек из участвующих в эксперименте;

- на “хорошо” учатся - 18 человек;

- на “удовлетворительно” - 22 человека;

- на “неудовлетворительно” - 6 человек.

Так как всего в эксперименте принимало участие N = 54 человека, то середина выборки равна человек. Отсюда делается вывод, что больше половины обучающихся учатся ниже оценки “хорошо”, то есть медиана больше “удовлетворительно”, но меньше “хорошо”.

Мода (Мо) - наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений. Она соответствует классу с максимальной частотой. Этот класс называется модальным значением.

Например.

Если на вопрос анкеты: “укажите степень владения иностранным языком”, ответы распределились:

1 - владею свободно - 25

2 - владею в достаточной степени для общения - 54

3 - владею, но испытываю трудности при общении - 253

4 - понимаю с трудом - 173

5 - не владею - 28

Очевидно, что наиболее типичным значением здесь является - “владею, но испытываю трудности при общении”, которое и будет модальным. Таким образом, мода равна - 253.

Важное значение при использовании в психолого-педагогическом исследовании математических методов уделяется расчету дисперсии и среднеквадратических (стандартных) отклонений.

Дисперсия равна среднему квадрату отклонений значения варианты от среднего значения. Она выступает как одна из характеристик индивидуальных результатов разброса значений исследуемой переменной (например, оценок учащихся) вокруг среднего значения. Вычисление дисперсии осуществляется путем определения: отклонения от среднего значения; квадрата указанного отклонения; суммы квадратов отклонения и среднего значения квадрата отклонения.

Значение дисперсии используется в различных статистических расчетах, но не имеет непосредственного наблюдаемого характера. Величиной, непосредственно связанной с содержанием наблюдаемой переменной, является среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратичное отклонение подтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений признаков, из которых выводится средняя величина. Оно равно корню квадратному из дисперсии и определяется по формуле:

(2)Размещено на http://www.allbest.ru/

где: - средняя квадратическая. При малом числе наблюдения (действий) - менее 100 - в значении формулы следует ставить не “N”, а “N - 1”.

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются основны ми характеристиками полученных результатов в ходе исследования. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (программы) над другой.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение широко применяется как мера разброса для различных характеристик.

Оценивая результаты исследования важно определить рассеивание случайной величины около среднего значения. Это рассеивание описывается с помощью закона Гауса (закона нормального распределения вероятности случайной величины). Суть закона заключается в том, что при измерении некоторого признака в данной совокупности элементов всегда имеют место отклонения в обе стороны от нормы вследствие множества неконтролируемых причин, при этом, чем больше отклонения, тем реже они встречаются.

При дальнейшей обработке данных могут быть выявлены: коэффициент вариации (устойчивости) исследуемого явления, представляющий собой процентное отношение среднеквадратического отклонения к средней ариф метической; мера косости, показывающая, в какую сторону направлено преимущественное число отклонений; мера крутости, которая показывает степень скопления значений случайной величины около среднего и др. Все эти статистические данные помогают более полно выявить признаки изучаемых явлений.

Меры связи между переменными. Связи (зависимости) между двумя и более переменными в статистике называют корреляцией. Она оценивается с помощью значения коэффициента корреляции, который является мерой степени и величины этой связи.

Коэффициентов корреляции много. Рассмотрим лишь часть из них, которые учитывают наличие линейной связи между переменными. Их выбор зависит от шкал измерения переменных, зависимость между которыми необходимо оценить. Наиболее часто в психологии и педагогике применяются коэффициенты Пирсона и Спирмена.

1.2 Основные понятия выборочного метода

Пусть -- случайная величина наблюдаемая в случайном эксперименте. Предполагается что вероятностное пространство задано (и не будет нас интересовать).

Будем считать что проведя раз этот эксперимент в одинаковых условиях мы получили числа -- значения этой случайной величины в первом втором и т.д. экспериментах. Случайная величина имеет некоторое распределение которое нам частично или полностью неизвестно.

Рассмотрим подробнее набор называемый выборкой .

В серии уже произведенных экспериментов выборка -- это набор чисел. Но если эту серию экспериментов повторить еще раз то вместо этого набора мы получим новый набор чисел. Вместо числа появится другое число -- одно из значений случайной величины . То есть (и и и т.д.) -- переменная величина которая может принимать те же значения что и случайная величина и так же часто (с теми же вероятностями). Поэтому до опыта -- случайная величина одинаково распределенная с а после опыта -- число которое мы наблюдаем в данном первом эксперименте т.е. одно из возможных значений случайной величины .

Выборка объема -- это набор из независимых и одинаково распределенных случайных величин («копий ») имеющих как и распределение .

Что значит «по выборке сделать вывод о распределении»? Распределение характеризуется функцией распределения плотностью или таблицей набором числовых характеристик -- и т.д. По выборке нужно уметь строить приближения для всех этих характеристик.

1.3 Выборочное распределение

Рассмотрим реализацию выборки на одном элементарном исходе -- набор чисел . На подходящем вероятностном пространстве введем случайную величину принимающую значения с вероятностями по (если какие-то из значений совпали сложим вероятности соответствующее число раз).

Распределение величины называют эмпирическим или выборочным распределением. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины и введем обозначения для этих величин:

Точно так же вычислим и момент порядка

В общем случае обозначим через величину

Если при построении всех введенных нами характеристик считать выборку набором случайных величин то и сами эти характеристики -- -- станут величинами случайными. Эти характеристики выборочного распределения используют для оценки (приближения) соответствующих неизвестных характеристик истинного распределения.

Причина использования характеристик распределения для оценки характеристик истинного распределения (или ) -- в близости этих распределений при больших .

Рассмотрим для примера подбрасываний правильного кубика. Пусть -- количество очков выпавших при -м броске . Предположим что единица в выборке встретится раз двойка -- раз и т.д. Тогда случайная величина будет принимать значения 1 6 с вероятностями соответственно. Но эти пропорции с ростом приближаются к согласно закону больших чисел. То есть распределение величины в некотором смысле сближается с истинным распределением числа очков выпадающих при подбрасывании правильного кубика.

1.4 Эмпирическая функция распределения гистограмма

Поскольку неизвестное распределение можно описать например его функцией распределения построим по выборке «оценку» для этой функции.

Определение 1. Эмпирической функцией распределения построенной по выборке объема называется случайная функция при каждом равная

Напоминание: Случайная функция

называется индикатором события . При каждом это -- случайная величина имеющая распределение Бернулли с параметром

.

Иначе говоря, при любом значение равное истинной вероятности случайной величине быть меньше оценивается долей элементов выборки меньших .

Если элементы выборки упорядочить по возрастанию (на каждом элементарном исходе) получится новый набор случайных величин называемый вариационным рядом :

Здесь

Элемент называется -м членом вариационного ряда или -й порядковой статистикой .

Пример 1.

Эмпирическая функция распределения имеет скачки в точках выборки величина скачка в точке равна где -- количество элементов выборки совпадающих с .

Можно построить эмпирическую функцию распределения по вариационному ряду:

Другой характеристикой распределения является таблица (для дискретных распределений) или плотность (для абсолютно непрерывных). Эмпирическим или выборочным аналогом таблицы или плотности является так называемая гистограмма. Гистограмма строится по группированным данным. Предполагаемую область значений случайной величины (или область выборочных данных) делят независимо от выборки на некоторое количество интервалов (не обязательно одинаковых). Пусть -- интервалы на прямой называемые интервалами группировки . Обозначим для через число элементов выборки попавших в интервал :

На каждом из интервалов строят прямоугольник площадь которого пропорциональна . Общая площадь всех прямоугольников должна равняться единице. Пусть -- длина интервала . Высота прямоугольника над равна

Полученная фигура называется гистограммой.

Разобьем отрезок на 4 равных отрезка. В отрезок попали 4 элемента выборки в -- 6 в -- 3 и в отрезок попали 2 элемента выборки. Строим гистограмму (рис. 2). На рис. 3 -- тоже гистограмма для той же выборки но при разбиении области на 5 равных отрезков.

В курсе «Эконометрика» утверждается, что наилучшим числом интервалов группировки («формула Стерджесса») является

.

Здесь -- десятичный логарифм, поэтому

т.е. при увеличении выборки вдвое число интервалов группировки увеличивается на 1. Заметим что чем больше интервалов группировки, тем лучше. Но если брать число интервалов скажем порядка ,то с ростом гистограмма не будет приближаться к плотности.

Справедливо следующее утверждение:

Если плотность распределения элементов выборки является непрерывной функцией, то при так что имеет место поточечная сходимость по вероятности гистограммы к плотности.

Так что выбор логарифма разумен, но не является единственно возможным.

Размещено на Allbest.ru