Анализ и синтез линейной непрерывной системы автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: «Теория автоматического управления»

Тема: «Анализ и синтез линейной непрерывной системы автоматического управления»

Новосибирск 2015

Исходные данные

Уравнения связей структурной схемы САУ:

x3= v - y	x4= y3 - y4	x2= y4	x1= y2 - f

н - задающее воздействие ; ? - возмущающее воздействие ; x_i - входная переменная i - звена ; y_i - выходная переменная i - звена ; у = у₁ выходная (управляемая ) переменная САУ.

Параметры динамических звеньев исходной САУ:

k1	1	T1	k01	k2	ф2	T2	k02	k3	T3
1,2	1,0	0,6	0,0	1,5	0,4	0,0	1,0	1,4	0,1

k4	ф4	T4
1	0,0	0,0

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику звеньев исходной САУ:

T ₁ +=k₁ (ф₁ +k₀₁ x₁), (1)

T₂ + =k₂ (ф₂ +k₀₂ x₂ ), (2)

T₃ + y₃ = k₃ x₃ , (3)

T₄ + y₄ = k₄ (ф₄ + x₄ ), (4)



1. Анализ линейной непрерывной системы автоматического управления

1.1 Уравнения в операторной форме в общем виде

T₁ s² y₁ + s y₁ = k₁ (ф₁ s x₁ + k₀₁ x₁)

T₂ s² y₂ + s y₂ = k₂ (ф₂ s x₂ + k₀₂ x₂)

T₃ s y₃ +y₃ = k₃ x₃

T₄ s y₄ +y₄ =k₄ (ф₄ s x₄ +x₄ )

после упрощения получим :

(T₁s² + s) y₁ =k₁ x₁(ф₁ s + k₀₁ )

(T₂ s²+ s) y₂ =k₂ x₂ (ф ₂s + k₀₂ )

(T₃ s + 1) y₃ = k₃ x₃

(T₄ s + 1) y₄ = k₄ x₄(ф₄ s + 1)

уравнение в операторной форме с учетом численных значений:

(0,6s² + s) y₁ = 1,2sx₁

s y₂ = 1,5sx₂

(0,1s+1)y₃= 1,4 x₃

y₄= x₄

1.2 Передаточные функции элементов

= W₁(s) = = =

= W₂(s)=2,1

= W₃(s) =

= W₄(s) = k₄=1

1.3 Структурная схема

По уравнениям связи строим структурную схему исходной нескорректированной САУ:

1.4 Структурные преобразования

Заменим звено охваченное отрицательной обратной связью, одним звеном W₅(s) по правилам структурных преобразований :

y₄ = x₄(s)?W₄(s)

x₄= y₃- y₄

y₄ = y₃ - x₄(s)?W₄(s)

y₄=[y₃- x₄(s)?W₄(s)]?W₄(s)

Решая эти уравнения совместно получим:

W₅ = = = =0,5; k₅=0,5

Заменим контур W₃ (s), W₅ (s), W₂(s) одним звеном W₆(s)

По правилам структурных преобразований:

y₂₌ x₂(s)W₂(s);

x₂=y₅;

y₅ =x₅(s)?W₅(s);

x₅= y₃; y₃= x₃(s)?W₃(s)

y₂ = W₃(s)?W₅(s)?W₂(s)?x₃(s);

= W₆(s) =W₃(s)?W₅(s)?W₂(s); W₆(s)==

Передаточная функция разомкнутой системы :

Коэффициент передачи:

K_раз = k_{1 ?} k₆ =1,76

W_раз(s) = W₆(s) ?W₁(s) =

1.5 Передаточная функция замкнутой САУ

Передаточная функция замкнутой САУ по задающему воздействию v

W _VY = = =



1.6 Передаточная функция по ошибке

W_e (s) = =

1.7 Критерии устойчивости

1.7.1 Формулировка критерия Гурвица

Для того, чтобы линейная САУ была устойчива , необходимо и достаточно, чтобы главный определитель матрицы Гурвица и все его n-1 диагональные миноры были положительными.

Матрица Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения системы по определенным правилам.

Характеристическое уравнение заданной системы

В критерии Гурвица характеристическое уравнение задается в виде операторного полинома :

D(p) = a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 + …+a_n-1 p+ a_{n ,}

Чтобы получить характеристическое уравнение заданной системы , приравниваем к нулю знаменатель заданной САУ :

0,06s³

Обозначим коэффициенты и найдем их значения:

a₀ = 0,06 0 ,

a₁ = 0,7 0 ,

a₂ = 2,76 0,

a₃ = 1,76

все коэффициенты характеристического уравнения положительны - необходимое условие устойчивости выполняется.

Составляем матрицу Гурвица:

=

Условия устойчивости :

= = 0,7

= - = 1,83 0.

По условию Гурвица система является устойчивой.

1.7.2 Критерий Михайлова

Формулировка критерия:

для устойчивости системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы вектор описываемый кривую ( годограф ) Михайлова при изменении щ от 0 до огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно в положительном направлении n квадрантов, где n- порядок системы.

При этом изменения аргумента arg D ( jщ ) равно n .

Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости.

Характеристическое уравнение системы :

+ +…+ s + .

Делаем подстановку (s =

получим комплексный полином :

( jщ )ⁿ + ( jщ )^n-1 +…+ = X(щ) + j Y(щ) = D (щ)e ^jц(щ) ,

0,06(j щ)³+ 0,7(j щ)²+2,76(j+1,76=X(щ)+j Y(щ).

Выделим вещественную и мнимую часть:

X(щ)= 1,76- 0,7щ²,

Y(щ)= 2,76щ - 0,06щ³

Составим таблицу значений:

щ с-1	0	2	3	5	7	10
X(щ)	1,26	-1,04	-4,54	-15,7	-32,5	-68,2
Y(щ)	0	5,04	6,66	6,3	-1,3	-32,4

Построим по полученным значениям годограф Михайлова

По графику видно , что критерий Михайлова выполняется так как годограф проходит n=3 квадрантов и на 3 квадранте уходит в бесконечность. Система устойчива!

управление автоматический гурвиц критерий

1.7.3 Критерий Найквиста

Этот критерий называется точечным критерием. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы W_s (jщ)

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно , чтобы годограф Найквиста не охватывал критическую точку (-1,0)

Условие выполняется!

1.8 Построение АЧХ, АФЧХ, ЛАХ, ЛАФЧХ и годографа в среде MatLab

Частотные характеристики

=



1.9 Показатели качества переходных процессов при моделировании на ЭВМ

Переходный процесс отклоняется от нуля



При подаче на вход импульса процесс стабилизируется , не отклоняясь от нуля.



2. Синтез последовательного корректирующего устройства на основании метода желаемой ЛАЧХ

2.1 Построение асимптотической ЛАЧХ нескорректированной системы.

W_нес =

При построении ЛАЧХ системы , состоящей из последовательных типовых звеньев учитывается , что логарифм произведения есть сумма логарифмов ,поэтому для каждого звена можно построить ЛАЧХ , а затем просуммировать и получить ЛАЧХ всей системы.

Для построения L_сн (щ) рассчитываем параметры:

1) 20 lg k_раз = 20 lg( k₁ k₅) = 20 lg (1,76) = 4,9 дБ

2) Частоты сопряжения системы:

=1/ ф₂ = 1/ 0,4 =2,5 рад/ сек

=1/ T₁ = 1/0,6=1,66 рад/сек

=1/T₃ = 1/0,1 = 10 рад/сек

по оси абсцисс возьмем логарифмический масштаб (lg щ). Пересчитаем частоты сопряжений в десятичных логарифмах частоты:

lg = lg (2,5) = 0,397 дек

lg = lg (1,66) = 0,22дек

lg = lg (10) =1дек

в координатной плоскости [ L (w), lg w] при частоте w=1 ( lg 1= 0 дек) отложим ординату 20 lg k и логарифмы частот сопряжений.

В низкочастотной области асимптотическая L_нс (w)- прямая линия проходящая под наклоном - 20 дБ/ Дек через точку с координатами ( 20 lgk, 0)

Таким образом асимптотическая L_HC (w) представляет собой ломанную с наклонами -20, -40, -20 и -40 дБ/дек.

2.2 Построение асимптотической желаемой ЛАЧХ - L_ж

Построение низкочастотной зоны L_жел (щ) начинаем с определения требуемого коэффициента

K_тр = 1/y_доп ( =1/0,005 = 200 20 lg k_тр = 46

Через точку 20 lg k_тр проводим прямую линию под наклоном -20 дБ/дек.

Эта линия соответствует низкочастотной зоне желаемой ЛАЧХ.

Для определения СЧЗ необходимо определить частоту среза W_c желаемой ЛАЧХ и ординаты начала и конца зоны.

При заданном _{мах.доп} = 25 определяем P _{мах ,} T_peг f (P_мах)

Находим время регулирования

T_peг =

При заданном значении допустимом времени регулирования

T_{рег.доп} =1,5 с частоту среза найдем по формуле:

_с = = = 6,07 рад/с

Lg_c =0,78

Среднечастотная асимптота проводится под наклоном - 20 дБ/дек

через точку lg_c

начальная и конечная ординаты 16 дБ.

Высокочастотная зона L_жел (щ) строится параллельно ЛАЧХ исходной САУ ее наклон -20 дБ/дек или -40 дБ/дек.

Определим ЛАЧХ последовательно корректирующего устройства L_ку(щ) графическим вычитанием ординат L_HC (щ) из ординат L _жел (щ)

2.3 Определение передаточной функции и параметров корректирующего устройства

Передаточная функция корректирующего устройства :

W_ку (s) = k_ку .

Найдем численные значения времени T₄, T₅, T₆ :

T₄ = 1/_ср4 ; lg щ_cp4=0,055 дек, щ_ср4=1,135 рад/с Т₄=0,88 с

T₅ = 1/щ_ср5; lg щ_cp5=1,705 дек , щ_ср5=50,6 рад/с Т₅=0,02 с

T₆ = 1/щ_ср6 ; lg щ_cp6 =1,365 дек, щ_ср6=0,043 рад/с Т₆=23,26 с

Коэффициент передачи регулятора определяется по формуле:

K_ку = = = 113,6

2.4 Структурная схема синтезированной САУ

Включаем корректирующий элемент в структурную схему



2.5 Запас устойчивости по фазе скорректированной САУ

Считаем запас устойчивости по передаточной функции:

W_жел (s) = k _тр ?

(= - -(_c), при A(= 1

Для форсирующего звена : (_с) = arctg (T_{4 c})

Для апериодических звеньев: (_с) = - arctg (T_{5 c})

(_c) = - arctg ( T_{6 c})

Для интегрирующего звена : (_с) = -

() = -180 - [ arctg (T_{4 c}) - arctg (T_{6 c})- arctg (T_{5 c})- 90] / = 73,3

2.6 Проверка результатов синтеза методом цифрового моделирования

после ввода корректирующего звена процесс стабилизации занимает больше времени, чем при исходной нескорректированной САУ.

Переходная характеристика скорректированной САУ имеет вид:

При подаче на вход импульса:

Частотные характеристики:



Вывод

Оценка показателей качества переходного процесса и статической ошибки регулирования

Скорректированной САУ при единичном ступенчатом воздействии

Время регулирования увеличелось по сравнению с исходной T_рег. = Т _{рег. доп} = 1,8с

Перерегулирование не превышает заданных значений.

Статистическая ошибка регулирования: _у(щ) = 1 в отличии от исходной САУ.

Размещено на Allbest.ru

...