Дифференциальные уравнения I и II порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Задача Коши

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется соотношение вида:

(1),

где - независимая переменная; - искомая функция переменной;

- производные искомой функции; - известная функция своих аргументов.

Считается, что производная на самом деле входит в выражение (1), а величины могут и не входить в него.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Пример.

- уравнение первого порядка;

- уравнение второго порядка;

- уравнение пятого порядка.

Определение 3. Всякая функция , которая, будучи подставленная вместо y в выражение (1), обращает это выражение в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1).

Если - решение, то по определению

(2)

Пример.

- решение, так как

У рассматриваемого уравнения есть еще такое решение:

где С - произвольная постоянная.

Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра (С).

Можно показать, что уравнение n-ого порядка имеет семейство решений, зависящих от произвольных независимых друг от друга постоянных.

Пример.

Уравнение имеет решение:

.

Определение 4. Процесс разыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение 5. Решение дифференциального уравнения (1), содержащее n независимых между собой произвольных постоянных, называется его общим решением.

,(3)

Замечание. Дифференциальное уравнение может иметь не одно, а несколько общих решений. Например, для уравнения функции и являются общими решениями, причем разными, так как первая из них обращается в нуль (С=0), а вторая - никогда в нуль не обращается.

Определение 6. Соотношение

,(4)

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и n произвольных постоянных, называется общим интегралом уравнения (1). Следовательно, в общем интеграле решение задано в неявном виде.

Пример.

Рассмотрим уравнение: . Отсюда или . Поэтому , где С - произвольная постоянная.

- общий интеграл; - общее решение.

Определение 7. Решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. Уравнение . Его общее решение . Положим С=2, тогда - частное решение.

Определение 8. Особым решением по отношению к данному общему решению называется такое решение, которое не может быть получено ни при каких значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение.

Пример. Уравнение имеет два общих решения:

1) 2)

Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению.

Определение 9. График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии есть уравнение (3) и (4) при фиксированных .

Таким образом, общее решение (или общий интеграл) определяет семейство интегральных кривых, каждая из которых соответствует определенному набору значений произвольных постоянных.

Рис. 1

Пример. . Общее решение .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области плоскости , содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям

а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;

б) имеет частную производную , ограниченную в области , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми. Именно, может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

Рассмотрим примеры.

1. . Здесь . В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при ), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).

2. . Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение является вся плоскость .

3. . Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости . Частная производная обращается в бесконечность при , т.е. на оси , так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси , например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.

2. Дифференциальные уравнения I порядка

Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную:

(1)

Обычно мы будем иметь дело с уравнениями, которые можно разрешить относительно производной

(2)

Если в (2) положить , то уравнение (2) можно записать в симметричной форме:

(3)

Здесь переменные x и y равноправны.

Иногда бывает выгодно рассматривать х как функцию y. В этом случае часто применяют форму записи (3).

Пример.

Задача Коши.

Рис. 2

дифференциальный уравнение лагранж вероятность

Пусть будет общим решением уравнения (2). Это общее решение определяет семейство интегральных кривых. Для того чтобы из этого семейства выделить какое-либо частное решение, необходимо задать еще дополнительные условия, в частности, частное решение можно выделить путем задания на плоскости точки , через которую проходит интересующая нас интегральная кривая. Следовательно, возникает задача отыскания такого решения уравнения , которое при заданном принимает заданное значение .

Это записывают так:

(4)

Такая задача называется задачей Коши.

Условие называется начальным условием. Начальные условия необходимы для определения соответствующего значения произвольной постоянной С. Покажем на примере как вычисляется С.

Пусть требуется среди решений уравнения

(5)

найти такое, которое при обращается в нуль, т.е.

.(6)

Общим решением служит функция

(7)

Так как требуется, чтобы выполнялось (6), то должно быть , а это возможно только при . Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условию (6), получается из общего решения при , т.е. . Это и есть решение задачи Коши.

Основное свойство общего решения:

Общее решение дифференциального уравнения обладает тем свойством, что из него по любому заданному допустимому начальному условию может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этому условию. Это означает, что подставив в общее решение вместо и вместо , получаем уравнение относительно С: , из которого всегда может быть найдено значение и притом единственное. Функция служит искомым частным решением.

Замечания:

Сформулированное основное свойство общего решения справедливо при определенных требованиях, наложенных на функцию . Эти требования даются теоремой существования и единственности.

Допустимыми начальными условиями называются такие условия, когда точка , где D - область определения функции .

Пусть будет общим решением некоторого дифференциального уравнения.

Поставим вопрос: можно ли по известному общему решению «восстановить» то дифференциальное уравнение, для которого данное решение является общим?

На этот вопрос отвечает теорема:

Теорема. Для того, чтобы по известному общему решению восстановить дифференциальное уравнение, нужно исключить С из равенств:

Полученное соотношение и есть то дифференциальное уравнение, для которого служит общим решением. Эту теорему примем без доказательств.

Пример. Пусть дана функция , где С - произвольная постоянная. Требуется определить то дифференциальное уравнение, для которого она служит общим решением.

Решение. Используем теорему

Искомым дифференциальным уравнением будет .

Может случиться, что в равенстве исчезнет произвольное постоянное. Это значит, что это равенство и дает искомое дифференциальное уравнение.

Например, пусть дано общее решение . Дифференцируем -. Исчезло С. Следовательно, функция служит общим решением уравнения .

Если вместо общего решения задан общий интеграл, то уравнение восстанавливается аналогично.

Именно, надо исключить С из системы:

.

Перейдем к рассмотрению отдельных видов дифференциальных уравнений первого порядка.

3. Уравнения с разделяющимися переменными

Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.

А. Уравнение с разделенными переменными

Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

(1)

Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал. и - заданные функции.

Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение

.(2)

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. или - общий интеграл.

Теорема. Частным решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию будет функция, определенная из равенства

.(4)

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющего условию

Решение.

.

В. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

(5)

В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение . Тогда получим:

.(6)

Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение , именно

или .(7)

Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно . Его решением служат ,, … и т.д. Заметим, что константы служат решениями уравнения (5), т.к. и .

Общим интегралом (5) будет

.(8)

Если решения получаются из (8) при подходящем выборе С, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.

Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т.е. интегральные кривые - это прямые параллельные оси ОХ.

Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию будет функция , определенная уравнением:

.(9)

Пример. Для уравнения найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию .

Решение.

а) Общий интеграл. Делим на

..

Отсюда или - общий интеграл.

б) Частное решение.

Частное решение: .

с) Особое решение.



Рис. 3

Возможна потеря решений . Оба эти решения особые.

4. Размерно однородные уравнения

Определение. Уравнение (1) называется однородным, если может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е.

.(2)

Таким образом, однородное уравнение имеет вид:

(3)

Теорема. Однородное уравнение (3) имеет общий интеграл:

.(4)

Замечание 1. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что . Рассмотрим тот случай, когда . Здесь имеются две возможности.

а) Тогда и уравнение (3) принимает вид: .

Это уравнение с разделяющимися переменными и здесь никаких преобразований делать не нужно.

б) уравнение удовлетворяется лишь при определенных значениях . В этом случае могут быть потеряны решения . Интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало.

Пример. Решить уравнение

.

Решение. Уравнение однородное. Полагаем

..

Если , то . Отсюда

.

- общий интеграл.

Может быть потеряно решение или .

Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно есть особое решение.

Замечание 2. Формулу (4) запоминать не следует. Надо уметь ее выводить в каждом конкретном случае, как это сделано в примере.

Замечание 3. Для интегрирования уравнения более общего вида, чем (3)

.(6)

(обобщенное однородное) сначала делают замену неизвестной функции и независимой переменной по формулам ; выбирая и такими, чтобы исчезли свободные члены в числителе и знаменателе аргумента в (6), тогда (6) приводится к однородному уравнению.

5. Уравнения приводяшие к размерно однородным

Уравнением, приводящимся к однородному, называется дифференциальное уравнение вида

Заменой u = y ? y₀, v = x ? x₀ это уравнение приводится к однородному уравнению



Здесь x₀ и y₀ -- единственное решение линейной системы

Для того, чтобы определить, что дифференциальное уравнение приводится к однородному, нужно выделить две линейные формы: a₁ x + b₁ y + c₁, a₂ x + b₂ y + c₂, и выполнить замену: a₁ x + b₁ y + c₁ > t(a₁ x + b₁ y + c₁); a₂ x + b₂ y + c₂ > t(a₂ x + b₂ y + c₂) Если после преобразований t сократится, то это уравнение приводится к однородному.

6. Линейные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида:

(1),

где - неизвестная функция аргумента.

Уравнение (1) линейно относительно и .

Если , то уравнение (1) примет вид: (2), и называется линейным однородным. При этом уравнение (1) называется линейным неоднородным.

Уравнение (2) называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению (1).

А. Интегрирование линейного однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное уравнение

(2)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть , тогда

.(3)

Отсюда общий интеграл или

заменяем на

Но есть любое число, кроме нуля. Положим .

- произвольная постоянная (4). Это общее решение не содержит функции , которая является решением уравнения (2). Для того чтобы общее решение содержало бы все решения, его надо записать в виде:

(5),

где С - произвольная постоянная, принимающая любые значения.

Пример. Написать общее решение уравнения .

Решение. Имеем . Поэтому (произвольную постоянную можно считать = 0). И - общее решение.

В. Интегрирование линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

(1)

Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим

(6)

Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция - новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное по (6), в (1).

или .

Отсюда

Следовательно,

.(7)

Это и есть общее решение уравнения (1). Оно содержит все решения. Особых решений нет.

Рассмотрим вопрос об отношении частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию

.(8)

Теорема. Решением задачи Коши служит функция:

.(9)

Замечания:

Формулу (9) можно записать короче, если ввести под интеграл:

(10)

Если в формуле (10) считать произвольной постоянной (при этом значение безразлично какое), то формула (10) определит общее решение уравнения (1).

Запоминать формулу (10) не следует. Надо помнить способ получения формулы (7).

Примеры:

Найти общее решение уравнения

Решение. Здесь . Вычислим (С можно положить = 0).

Положим . Так как , то .

Подставляем в уравнение .

Отсюда .

Следовательно, общее решение будет

Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение.

Здесь .

Общее решение .

Найдем из начального условия: .

Частным решением, удовлетворяющим условию , будет

.

Теорема (о структуре решения линейного неоднородного уравнения)

Общее решение линейного неоднородного уравнения состоит из суммы: какого-либо частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.

7. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

,(1)

где n - любое число, не обязательно целое.

При уравнение Бернулли превращается в линейное неоднородное уравнение. При оно превращается в линейное однородное уравнение.

Таким образом, уравнение Бернулли служит некоторым обобщением линейных уравнений, в общем случае оно является нелинейным дифференциальным уравнением (при и ).

Однако во всех случаях его решение тесно связано с решением линейного уравнения.

Теорема. Пусть и . Тогда уравнение Бернулли (1) подстановкою сводится к решению линейного уравнения (для функции z).

Замечание. Уравнение Бернулли (1) может быть решено другим способом. Введем вместо неизвестной функции две неизвестные функции и , такие, что

.(7)

Подставляя это в уравнение (1), получим:

(8)

Из этого одного уравнения определить две функции u и v нельзя.

Для того, чтобы определить конкретные функции и , необходимо задать еще одну зависимость между и , причем вообще говоря, произвольную.

Но проще всего положить

.(9)

Тогда уравнение (8) примет вид: или, считая (или, что то же, )

.(10)

Так как есть решение однородного линейного уравнения (9), то его можно считать его известным:

.(11)

Здесь, при интегрировании уравнения (8), мы положили произвольную постоянную . Это можно делать, так как за функцию мы можем взять любое решение уравнения (9).

Итак, известно. Отсюда следует, что уравнение (10) для определения будет с разделяющимися переменными (считаем

).(12)

Отсюда получаем

: или (13)

Формулы (11) и (13) позволяют построить решение уравнения Бернулли

.

Такой способ решения годится и для и . В этом случае только формула (13) будет иметь другой вид, именно: ,где С - произвольная постоянная.

Пример. или .

Это уравнение Бернулли. Здесь .

Преобразуем уравнение, разделив его на :.

Положим , тогда .

Следовательно, или .

Отсюда .

и - особое решение.

8. ДУ 1 го порядка в полных дифференциалах

Определение уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

где C ? произвольная постоянная.

Необходимое и достаточное условие

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:



Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):

3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции ц(y):

5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию ц(y) и, следовательно, функцию u(x,y):

6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ш(x).

9. Геометрич трактовка ДУ 1 го порядка

Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интеральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: . Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называютсяизоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.

Для примера построим изоклины уравнения . Перебираем различные значения постоянной C, строим линии уровня функции , соответствующие этим значениям С (т.е. прямые ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С (, где - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох): - ось Оу; ; ; и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром).

10. Метод Эйлера

Пусть задано дифференциальное уравнение

Будем предполагать, что функция в окрестности точки удовлетворяет условиям теоремы существования. По теореме существования имеются отрезок и определенное на нем единственное решение уравнение (1), удовлетворяющее условию .

Для числа теорема дает оценку сверху

.

Метод Эйлера дает возможность приближенно выразить указанную функцию теоретически с любой наперед заданной точностью.

Пусть требуется вычислить приближенно , где для определенности . Разделим на равных частей точками . Длину отрезка , будем называть шагом вычисления. Приближенные значения решения в точках , обозначим через .

На вместо уравнения (1) будем рассматривать уравнение с начальным условием (задача Коши)

.

Решение этого уравнения имеет вид

. (2)

Эту функцию (линейную) мы и примем за приближенное решение уравнения (1) на отрезке . С геометрической точки зрения это значит, что мы искомую интегральную кривую заменили отрезком касательной к интегральной кривой в точке .

Из формулы (2) получаем

.

Дальше рассуждаем по индукции. Если приближенные значения решения известны, то на рассматриваем вместо уравнения (1) уравнение

.

Решение этого уравнения

 (3)

принимаем за приближенное решение уравнения (1) на .

Полагая в (3) , получим

. (4)

Формула (4) и определяет метод Эйлера.

Функция , определяемая на с помощью равенства (3), называется «ломаной Эйлера» (рис. 10). Можно доказать, что при условиях теоремы существования последовательность ломаных Эйлера равномерно сходится на к истинному решению задачи при .

Рис. 3

11. ДУ высших порядков допускающих пониж. порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде



где F ? заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде:

В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такиенеполные уравнения включают в себя 5 различных типов:

С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка. В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

· Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'';

· Функция F(x, y, y', y'') является точной производной функции первого порядка Ф(x, y, y').

Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно.

Случай 1. Уравнение вида y''= f (x)

Если дано уравнение y'' = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, чтоy' = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка



Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение

и получаем общее решение исходного уравнения.

Случай 2. Уравнение вида y''= f (y)

Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагаяy' = p(y). Тогда можно записать:

и уравнение принимает вид:

Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y' = p(y), то есть функцию y(x).

Случай 3. Уравнение вида y''= f (y' )

В данном случае для понижения порядка вводим функцию y' = p(x) и получаем уравнение

которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функцию y(x).

Случай 4. Уравнение вида y''= f (x,y' )

Используем подстановку y' = p(x), где p(x) ? новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка

Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка

и находим общее решение y(x).

Случай 5. Уравнение вида y''= f (y,y' )

Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению

В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка

Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка

и определяем общее решение y(x). Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4.

Случай 6. Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y''

Если левая часть дифференциального уравнения

удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого k справедливо соотношение

то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки

После нахождения функции z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле



где C₂ ? постоянная интегрирования.

Случай 7. Функция F(x, y, y', y'') является точной производной

Если удается найти такую функцию Ф(x, y, y'), не содержащую второй производной y'' и удовлетворяющую равенству

то решение исходного уравнения представляется интегралом

Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка. В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель.

14. Общие сведения о линейных ДУ

Определение 1

Дифференциальное уравнение порядка n вида

y(n)(х) + p1(x) y(n-1)(х) +… +pn-1(x) y'(х) + pn(x) y(х) = f(x), (1)

где коэффициенты уравнения pi(x)(i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) - заданные функции, а у(х) - неизвестная функция, называется линейным.

Линейное уравнение (1) называется однородным, если f(x) є 0, и неоднородным в противном случае.

Для линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) вопрос о существовании и единственности задачи Коши, легко решается на основании следующей теоремы Пикара.

Теорема 1

Если в линейном дифференциальном уравнении (1) все коэффициенты pi(x) (i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) непрерывны в интервале (а, b), то при любомх0 О (a, b) существует единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

у(х0) = у0, уў(х0) = у01, ..., у(n-1)(х0) = у0(n-1). (2)

Обозначим левую часть уравнения (1) через Ln[y(x)], тогда это уравнение можно записать в виде

Ln[y(x)] = f(x), (3)

а в случае однородного уравнения

Ln[y(x)] = 0. (4)

Это не просто сокращенная запись линейного дифференциального уравнения (1): Ln[y(x)] называется линейным дифференциальным оператором (ЛДО) и задает однозначное соответствие между множеством n раз дифференцируемых функций и множеством непрерывных функций в случае, если ЛДУ удовлетворяет теореме 1. Название «линейный» обусловлено тем, что Ln[y(x)] удовлетворяет двум свойствам:

1) Ln[y(x)+h(x)] = Ln[y(x)] + Ln[h(x)],

2) Ln[c y(x)] = c Ln[y(x)] (с- const).

Свойства вытекают из соответствующих правил дифференцирования функций.

Из определения решения дифференциального уравнения и смысла линейного оператора имеем: если функция у = f (х) - решение неоднородного уравнения (3), то Ln[f(x)] є f(x), а если f (х) - решение соответствующего однородного уравнения (4), то Ln[f(x)] є 0. Таким образом, результат действия ЛДО на функцию совпадает с правой частью соответствующего уравнения тогда и только тогда, когда эта функция является решением данного уравнения.

Линейный диф оператор

Примеры дифференциальных операторов

Дифференциальные операторы представляют собой обобщение операции дифференцирования. Простейший дифференциальный оператор D, действуя на функцию y, "возвращает" первую производную этой функции:

Двукратное применение операции D позволяет получить вторую производную функции y(x):

Аналогично, n-ая степень оператора D приводит к n-ой производной:

Здесь мы предполагаем, что функция y(x) является n раз дифференцируемой и определенной на множестве действительных чисел. Сама функция y(x) может принимать комплексные значения. Дифференциальные операторы могут иметь и более сложный вид ? в зависимости от образующих их дифференциальных выражений. Так например, в векторном анализе часто встречается дифференциальный оператор набла, определяемый как

где ? единичные векторы вдоль координатных осей 0x, 0y, 0z. В результате действия оператора ? на скалярное поле F, мы получаем градиент поля F:

Вектор градиента указывает направление наибольшего возрастания функции F, а его длина показывает скорость возрастания функции в данном направлении. Скалярное произведение вектора ? и векторного поля известно как дивергенция вектора :

В результате векторного произведения векторов ? и мы получаем ротор вектора :



Скалярное произведение ?·? = ?² соответствует скалярному дифференциальному оператору, называемомуоператором Лапласа или лапласианом. Он обозначается также символом Д:

Упомянем еще один дифференциальный оператор второго порядка ? оператор Д'Аламбера. Этот оператор обозначается в виде квадрата и используется в теории относительности, электромагнетизме и других областях физики. В четырехмерном пространстве-времени (t, x, y, z) он представляется дифференциальным выражением

где Д ? оператор Лапласа. Введение дифференциальных операторов позволяет исследовать дифференциальные уравнения в терминахтеории операторов и функционального анализа. Такой обобщенный подход оказывается мощным и эффективным. В частности, в приложении к линейным дифференциальным уравнением n-го порядка мы получаем компактный способ записи уравнений, а в некоторых случаях ? возможность их быстрого решения.

Дифференциальный оператор L(D)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка:

Используя оператор дифференцирования D, это уравнение можно записать в виде

где L(D) ? дифференциальный многочлен, равный

Другими словами, оператор с представляет собой алгебраический многочлен, в котором роль переменной играет дифференциальный оператор D. Рассмотрим некоторые свойства введенного оператора L(D). 1) Оператор L(D) является линейным:

В случае нескольких операторов L(D), M(D) и N(D) (степень этих дифференциальных многочленов может быть различной) справедливы также следующие свойства: 2) Коммутативный закон сложения:

3) Ассоциативный закон сложения:



Для операторов L(D) и M(D) можно ввести также и операцию умножения:

Важно отметить, что операция умножения обладает коммутативностью лишь для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, т.е. для операторов вида

где a₁,..., a_n ? постоянные числа. Для таких операторов выполняются свойства 4-6: 4) Коммутативный закон умножения:

5) Ассоциативный закон умножения:

6) Дистрибутивный закон умножения относительно сложения:

Отметим также еще одно полезное свойство оператора D:

7) D^mDⁿ = D^m+n.

Как видно, дифференциальные операторы L(D) с постоянными коэффициентами обладают такими же свойствами, что и обычные алгебраические многочлены. Следовательно, также как и алгебраические многочлены, дифференциальные операторы L(D) с постоянными коэффициентами можно умножать, разлагать на множители или делить. Указанные свойства лежат в основе операторного метода решений дифференциальных уравнений.

15. Линейные однородные

Используя свойства линейного дифференциального оператора, сформулируем свойство решений линейного дифференциального уравнения (4), которое дает ключ к пониманию структуры (устройства) общего решения.

Если h(x) и g(x) - решения линейного однородного уравнения (4), то для любых констант С1 и С2 функция j(х) = С1h(x) + С2g(x) - решение уравнения (4).

Известно, что общее решение уравнения n-го порядка содержит n произвольных констант. В связи с этим возникают следующие вопросы. Можно ли найти такие nрешений j1(х), j2(х), ..., jn(х), что функция

j(х) = ,Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(5)

где Сi (i = 1, 2, ..., n) - константы, будет общим решением линейного однородного уравнения (4)? Какими свойствами должны обладать функции ji(х), чтобы составленная из них по формуле (5) функция являлась общим решением?

На основании свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений можно сделать вывод, что множество всех решений данного уравнения образует линейное пространство. Известно, что в любом линейном пространстве каждый элемент является линейной комбинацией базиса.

Введем понятия линейной зависимой и линейной независимой системы функций.

Определение 2

Система функций y1(х), y2(х), ..., ym(х) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если на этом интервале выполняется тождество:

a1y1(х) + a2 y2(х) + ...+ am ym(х) є 0, (6)

в котором, по крайней мере, один из коэффициентов ai (i = 1, 2, ..., m) отличен от нуля (a12 + a22 + ... + am2 № 0).

Определение 3

Система функций y1(х), y2(х), ..., ym(х) называется линейно независимой на интервале (a, b), если на этом интервале тождество (6) выполняется только в том случае, когда все коэффициенты ai(i = 1, 2, ..., m) равны нулю

(a12 + a22 + ... + am2 = 0).

Пример 2. Исследовать на линейную зависимость системы функций:

а) у1(х) = х, у2(х) = 3х; б) у1(х) = sinх, у2(х) = cosх.

Решение. В случае (а) тождество a1y1(х) + a2 y2(х) є 0 выполняется при a1 = -3 и a2 = 1 для всех х, т. е. по определению 2 эта система функций линейно зависима на всей числовой прямой.

В случае (б) предположим, что a1 sinх + a2 cosх є 0 и один из коэффициентов, допустим a1, отличен от нуля. Тогда показывает, что это невозможно, так как выражение слева зависит от х, а справа - константа. Таким образом, функции sinx и сosx являются линейно независимой системой на (-Ґ, Ґ).

Анализируя решение примера 2, можно сформулировать утверждение общего характера: система, состоящая из двух функций, линейно зависима тогда и только тогда, когда их отношение является константой.

Для того чтобы сформулировать условия линейной зависимости системы функций, нам потребуется понятие определителя Вронского (вронскиана).

Линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами записывается в виде

где a₁(x) и a₂(x) являются непрерывными функциями на отрезке [a,b].

Линейная независимость функций. Определитель Вронского

Функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называются линейно зависимыми на отрезке [a,b], если существуют постоянныеб₁, б₂, ..., б_n, одновременное не равные нулю, такие, что для всех значений x из этого отрезка справедливо тождество



Если же это тождество выполняется лишь при б₁ = б₁ = ... = б_n = 0, то указанные функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)называются линейно независимыми на отрезке [a,b]. Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функцииy₁(x), y₂(x) будут линейно независимыми на отрезке [a,b], если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной:

В противном случае, при , эти функции будут линейно зависимыми. Пусть n функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) имеют производные (n ? 1) порядка. Определитель

называется определителем Вронского или вронскианом для указанной системы функций. Теорема. Если система функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейна зависима на отрезке [a,b], то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке. Отсюда следует, что если определитель отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a,b], то функцииy₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) будут линейно независимыми. Это свойство определителя Вронского позволяет выяснить, являются ли найденные решения однородного дифференциального уравнения линейно независимыми.

16. Рассмотрим на [a; b] линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Ц(x, C₁,..., C_n ), зависящая от n произвольных постоянных C₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям :

? при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = Ц(x, C₁,..., C_n ) является решением уравнения на [a; b] ;

? какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y_1,0 ,..., y_{n ? 1,0} ) , x₀? [a;b] , существуют такие значения C₁ =C₁₀ , ..., C_n = C_n0 , что функция y = Ц(x, C₁₀ , ..., C_n0)удовлетворяет начальным условиям y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y_1,0 ,..., y^{(n ? 1)} (x₀) = y_{n? 1,0} .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x)образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C_n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + ... + C_n y_n(x),

где C₁,...,C_n -- произвольные постоянные.

17. Линейные 2 порядка

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q ? постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ ? произвольные действительные числа.

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:



3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = б + вi, k₁ = б ? вi. Общее решение записывается в виде

Формула Лиувилля-Остроградского -- формула, связывающая определитель Вронского (Вронскиамн) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

y(n) + P1(x)y(n ? 1) + P2y(n ? 2) + ... + Pny = 0,

тогда

где W(x) -- определитель Вронского

Правило дифференцирования определителя

Производная определителя

по переменной х имеет вид

Доказательство

Пусть в уравнении y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 функции p(x),q(x) непрерывны на [a;b], а

y1 = y1(x),y2 = y2(x) -- решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского получим

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

y1'' = ? py1' ? qy1

y2'' = ? py2' ? qy2

во второе слагаемое и домножив первую строку на q получим

Сложив строки, получим

решения линейно независимы, поэтому

-- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

Распишем Вронскиан:

поэтому

приняв C = 1,B = 0, получим

Пример

Пусть в уравнении y'' ? tanxy' + 2y = 0 известно частное решение y1 = sinx. Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

Тогда общее решение однородного уравнения

18. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентамизаписывается в виде

где a₁, a₂,..., a_n ? постоянные числа, которые могут быть действительными или комплексными. Используя линейный дифференциальный оператор L(D), данное уравнение можно представить в виде

Для каждого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами можно ввестихарактеристический многочлен

Алгебраическое уравнение

называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения. Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их кратности. При этом корни уравнения могут быть как действительными, так и комплексными (даже если все коэффициентыa₁, a₂,..., a_n действительные). Рассмотрим более детально различные случаи корней характеристического уравнения и соответствующие формулы общего решения дифференциального уравнения.

Случай 1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные

Предположим, что характеристическое уравнение L(л) = 0 имеет n корней л₁, л₂,..., л_n. В этом случае общее решение дифференциального уравнения записывается в простом виде:

где C₁, C₂,..., C_n ? постоянные, зависящие от начальных условий.

Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные

Пусть характеристическое уравнение L(л) = 0 степени n имеет m корней л₁, л₂,..., л_m, кратность которых, соответственно, равна k₁, k₂,..., k_m. Ясно, что выполняется условие

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

Видно, что в формуле общего решения каждому корню л_i кратности k_i соответствует ровно k_i членов, которые образуются умножением x в определенной степени на экспоненциальную функцию exp(л_i x). Степень x изменяется в интервале от 0 до k_i ? 1, где k_i ? кратность корня л_i.

Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексные и различные

Если коэффициенты дифференциального уравнения являются действительными числами, то комплексные корни характеристического уравнения будут представляться в виде пар комплексно-сопряженных чисел:

В этом случае общее решение записывается как

Случай 4. Корни характеристического уравнения комплексные и кратные

Здесь каждой паре комплексно-сопряженных корней б ± iв кратности k соответствует 2k частных решений

Тогда часть общего решения дифференциального уравнения, соответствующая данной паре комплексно-сопряженных корней, конструируется следующим образом:

В общем случае, когда характеристическое уравнение имеет как действительные, так и комплексные корни произвольной кратности, общее решение строится в виде суммы рассмотренных выше решений вида 1-4.

Структура общего решения

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q ? постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x)соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y₀ ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных. Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C₁ и C₂ будем рассматривать вспомогательные функции C₁(x) и C₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x). Неизвестные функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы двух уравнений:

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

где Pn(x) и Qm(x) ? многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения. В случае 1, если число б в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s ? кратность корня б в характеристическом уравнении.

В случае 2, если число б + вi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x. Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Принцип суперпозиции

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида

то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

19. Метод Лагранжа

Уравнение Лагранжа

Дифференциальное уравнение вида

где ц(y') и ш(y') ? известные функции, дифференцируемые на некотором интервале, называется уравнением Лагранжа. Полагая y' = p и дифференцируя по переменной x, получаем общее решение уравнения в параметрической форме:

при условии, что

где p ? параметр.

Уравнение Лагранжа может также иметь особое решение, если нарушается условие ц(p) ? p ? 0. Особое решение определяется функцией

где c ? корень уравнения ц(p) ? p = 0.

Уравнения Лагранжа второго рода

Рассмотрим механическую систему, имеющую s степеней свободы, на которую наложены стационарные, идеальные, голономные связи.

В этом случае положение системы определяется s обобщенными координатами q₁, q₂,...q_s. Кинетическая энергия такой системы является функцией обобщенных координат q₁, q₂,...q_s, обобщенных скоростей

и времени

Для такой системы можно записать уравнений, которые называются уравнениями Лагранжа второго рода или дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах:

где Q_j - обобщенная сила.

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть обобщены на случай связей, осуществляемых с трением, хотя они и не являются идеальными. Для этого следует силу трения перенести из группы сил реакции в группу активных сил, тогда связь с трением можно формально считать идеальной.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q₁, q₂,...q_s. Дважды интегрируя эти уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получим систему уравнений движения в обобщенных координатах:

q_i = q_i(t), j ч s .

20. Неоднородные 2 порядка

Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть,

Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: . Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять .

Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = Pn(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Qn(x) - многочлен степени n, а r - количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как - частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Qn(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства .

2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Qn(x) - многочлен n-ой степени, r - число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Qn(x)определяются из равенства .

3 .Если функция f(x) имеет вид , где А1 и В1 - числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В - неопределенные коэффициенты, r - число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства .

4. Если , то , где r - число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , Pn(x),Qk(x), Lm(x) и Nm(x) - многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов Lm(x) и Nm(x) находятся из равенства .

...