Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Иркутска

Лицей №3

Научно-исследовательская работа

На тему: «Цепные дроби»

Автор: Мелкий Владислав

Руководитель: Ерлыкова Татьяна Станиславовна

Иркутск 2015

Содержание

Введение

1. Историческая справка

2. Непрерывная дробь

3. Разложение в цепную дробь

4. Подходящие дроби

5. Теория календаря

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Дробь. Это понятие становится нам известно ещё в 4 классе, и уже в 7 классе мы знаем понятия правильных и неправильных дробей, обыкновенной и десятичной дроби. Но нам мало что известно о Непрерывных дробях, аликвотных дробях. Сегодня я хочу рассказать о непрерывных (цепных) дробях.

В вычислительной практике действительные числа заменяют рациональными, при этом рациональное число выбирают максимально простым в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или обыкновенной дробью с небольшим знаменателем. В вопросах приближённого представления действительных чисел рациональными дробями большое значение имеют непрерывные цепные дроби. Вместо обыкновенной дроби, с числителем и знаменателем, числа можно представлять в виде дробей цепных. Таких, у которых знаменатель сам содержит другую дробь, знаменатель которой - тоже дробь и так далее.

1. Историческая справка

По некоторым сведениям цепные дроби применялись уже математиками Древней Греции.

· Например: алгоритм Евклида (III в. до н.э.) тесно связан с цепными дробями.

· Возможно, что при нахождении приближения к числу Архимед пользовался методом, близкому к разложению в цепную дробь.

· Известно, что китайский астроном Цзу Чун-чжи (V в. н.э.) показал, что р заключено между 3,1415926 и 3,1415927. он указал в качестве рационального приближения к р величину .

· Из средневековых математиков близко подошёл к цепным дробям Омар Хайям. Он положил их в основу своей идеи реформы календаря. Продолжительность года по его приближениям составляла суток и составляла погрешность всего 19 секунд в год

· Но впервые цепные дроби как таковые появляются в «Алгебре» итальянского математика Рафаэль Бомбелли. В 1572 г. Бомбелли пришёл к цепным дробям, изучая извлечение квадратного корня из чисел.

2. Непрерывная дробь

Непрерывная дробь или цепная дробь -- это конечное или бесконечное математическое выражение вида

Где есть целое число, а все остальные -- натуральные числа. Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной).

· Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.

Рациональное число- число представляемое обыкновенной дробью

· Иррациональное числом -- не может быть представлено в виде конечной цепной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Главное назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики, Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.

3. Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью

где обозначает целую часть числа.

Это формула разложения числа в цепную дробь

Для рационального числа это разложение оборвётся по достижении нулевого для некоторого n . В этом случае представляется конечной цепной дробью

Эффективным алгоритмом для преобразования обычной дроби в цепную является алгоритм Евклида.

Давайте разложим в цепную дробь какое-либо число. 5 января 2016-го года мой возраст будет составлять

То есть 13,75 лет. Давайте разложим это рациональное число в цепную дробь по формуле разложения числа в цепную дробь:

Х= 13,75

= 13

Х₀ = 0,75

=1

x =0.25

a=4

x=0

получается: [13; 1,3]

дробью:

Если последовательность состоит из бесконечно повторяющегося набора одних и тех же чисел (периода), то цепная дробь называется периодической.

4. Подходящие дроби

Подходящей дробью для цепной бесконечной и не периодической дроби

называется конечная цепная дробь

значение которой есть некоторое рациональное число .

Подходящие дроби с чётными номерами-n образуют возрастающую последовательность, предел которой равен . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами-n образуют убывающую последовательность, предел которой также равен . Таким образом, значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей.

Эйлер вывел формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

Та же самая дробь 13.75 подберём по формуле подходящие дроби.

Р1 = А1 P1-1+P1-2

P1= 1* 13+ 1 = 14

q1= А1*q1+q1-2

q1= 1*1+0=1

Если продолжать подбирать подходящие дроби то не четные будут уменьшаться от 14 ( и далее стремясь к значению дроби13.75, а чётные 13 2/3 наоборот увеличиваться в сторону 13.75

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

цепной дробь числитель знаменатель

Первая дробь означает, что один раз в 4 года надо добавлять лишний день. Этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Вторая дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском -- за 3280 лет). Очень точный вариант с третью дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет)

Заключение

1. Познакомился с историей развития цепных дробей

2. Узнал что Любое вещественное число может быть представлено в виде (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью

Несмотря на сделанные выводы тему исследовательской работы нельзя считать полностью исчерпанной. Считаю что данное исследование возможно продолжить, расширить и углубить.

1. Алгебра 7 класс, Ю. Н. Макарычев Москва 2008

2. Арнольд В. И. Цепные дроби. -- М.: МЦНМО, 2000.

3. Бескин Н. М. Цепные дроби // Квант. -- 1970

4. https://ru.wikipedia.org/wiki

5. http://intelmath.narod.ru/cepnye-drobi.html