Исследование законов, управляющих массами случайных явлений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Целью курсовой работы по дисциплине «Теория вероятности, вероятностные процессы и математическая статистика» является практическое закрепление теоретической части курса и приобретение навыков в реализации практических задач по расчетам элементов математической статистики.

В результате выполнения курсовой работы студенты должны приобрести следующие практические умения и навыки:

- формализация и алгоритмизация задач теории вероятности и математической статистики;

- обработка выборок, расчет статистических характеристик и подтверждения выдвинутых гипотез;

- проведение и анализ результатов вычислительных экспериментов;

- оформление программной документации в соответствии с ГОСТ и ЕСПД.

Для выполнения курсовой работы необходимы знания, которые получены при изучении дисциплин «Теория вероятности, вероятностные процессы и математическая статистика».

В любом опыте или явлении присутствуют в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Случайные величины часто подчиняются определенным законам распределения, свойства которых целиком известны.

Цель статистических методов - в том, чтобы, минуя слишком сложное (и зачастую практически невозможное) исследование отдельного случайного явления, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами таких явлений. Изучение этих законов позволяет не только осуществлять прогноз в области случайных явлений, но и целенаправленно влиять на ход этих явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, сужать ее влияние на практику.

В ходе исследования случайного явления (проведения опыта) наблюдатель получает набор числовых результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.

При этом возникают следующие вопросы:

1) Если мы наблюдаем одну случайную величину - как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении?

2) Если мы наблюдаем одновременно проявление двух (или более) признаков, т.е. имеем набор значений нескольких случайных величин - что можно сказать об их зависимости? Есть она или нет? А если есть, то какова эта зависимость?

3) С какой степенью доверия можно доверять проведенным расчетам? Какой объем выборки необходим, что бы принимать утверждения с заданным уровнем вероятности?

Ответ на эти вопросы позволяет более точно изучить рассматриваемый процесс или явления, позволяет производить его дальнейшее моделирование и изучение.

В данной курсовой работе были использован следующий метод:

Критерий Пирсона - служит для оценки выдвинутой гипотезы закона распределения случайной величины. Для такой оценки вычисляется значение «хи квадрат» и по таблице критических значений «хи квадрат» выбирается необходимое, затем эти две величины сравниваются, если полученное значение меньше, чем критическое, то гипотеза принимается, в противном случае отклоняется.



1. Обработка одномерной выборки

1.1 Первичная обработка выборки

По условию задана генеральная выборка одномерной случайной величины (СВ) Х объемом N=130(инд.задание в приложение 1).Для обработки выборки СВ Х строим вариационный ряд из выбранных значений (x₁, x₂ … x₁₃₀) случайной величины Х. Для построения вариационного ряда отсортируем выборку (x₁, x₂, , x₁₃₀) по возрастанию(смотреть слева-направо) в результате чего получим ряд :

Построив вариационный ряд, найдем min и max данной выборки:

min=-1,02424; max=5,46628.

размах вариации. (1.1)

6,49052;

Сумма всех элементов выборки = =205,7577Используя формулу 1.2, найдем количество интервалов и при помощи формулы нахождения шага 1.3 разобьем выборку на полученное количество интервалов. Результат разбиения занесем в таблицу 1.

; (1.2)

(+ в Excel используется ОКРУГЛВНИЗ);

Используя формулу(1.1) и (1.2)

(1.3);

0,811315; 0,4056575;

Таблица 1.1

Найдем интервалы для будущего статистического ряда:

min+h/2(1.4);

1 значение+h(1.5 и т.д.);

2 значение+h;

3 значение+h;

4 значение+h;

5 значение+h;

6 значение+h;

7 значение+h;

8 значение+h;

Найдем количество частот(значений выборки), входящих в каждый из выбранных интервалов и строим статистический ряд по полученным данным в виде таблицы.

Статистическим распределением выборки(в нашем случае) называют перечень вариант Xsr вариационного ряда и соответствующих частот Nk(сумма всех частот равна объему выборки N) или относительных частот Pi(сумма всех относительных частот равна 1):

Таблица 1.2

где Nk -частота, количество чисел выборки, входящих в избранный интервал(частоту ищем в диапазоне всего вариационного ряда выборки, на границах указанного интервала );

-среднее арифметическое концов интервала; (1.6)

- относительные частоты Nk/N, как отношения абсолютных частот к объему выборки (1.7).

Для того чтобы графически представить закон распределения случайной величины, при построении гистограммы по оси ординат откладываем значение плотности вероятности W, которое рассчитывается по формуле W=Pi/h, используя формулу(1.8) и (1.3). Это позволяет привести гистограмму и график закона распределения случайной величины в одном масштабе. одномерный выборка распределение совокупность

График распределения СВ - эмпирическая функция распределения- это функция , определенная для всех х от -- ? до + ?; таких, что:

1) = 0, для всех x < x^*₁;.

2) (n₁^*/n)+(n₂^*/n)+…+(n_k^*/n)

для всех x удовлетворяющих условию:

х_k^*? x < х^*_k+1;

3) = 1, для всех x ? x^*_m;.

Для построения функции заполним таблиц, в колонку  будем записывать накопленные относительные частоты (см. табл.2):

= Pi1; (1.8)  =Pi1+Pi2;(1.9 и т.д.)

= Pi1+Pi2+Pi3;

= Pi1+Pi2+Pi3+Pi4; = Pi1+Pi2+Pi3+Pi4+Pi5;

= Pi1+Pi2+Pi3+Pi4+Pi5+Pi6;

= Pi1+Pi2+Pi3+Pi4+Pi5+Pi6+Pi7.

График 1.1



2. Расчет основных характеристик случайной величины по сгруппированным данным

Основной задачей математической статистики является определение закона распределения случайной величины. Для проверки гипотезы о законе распределения СВ необходимо определить числовые характеристики статистического распределения используя групповые средние Xsr.

Для расчета рекомендуется применять формулы из таблицы 1(приложение 2).

Найдем (промежуточные) Xsr*Nk , (Xsr-Mx)^2*Nk, Xsr^2*Nk, Xsr^3*Nk, Xsr^2*Nk для каждого интервала и их общую сумму:

Таблица 2.1

математическое ожидание - сумма произведений всех случайных величин возможных значений на их вероятности. (2.1)

Dx = - дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. (2.2)

Dx =;

у = - среднеквадратичное отклонение - есть корень квадратный из дисперсии. (2.3)

у = =1,225065193;

= начальный момент второго порядка. (2.4)

=5,574941186;

= начальный момент третьего порядка. (2.5)

=16,97338392

= начальный момент четвертого порядка(2.6)

=58,562812;

y =0,95 - доверительная вероятность (дано по условию);

Пусть заданное распределение в виде последовательности интервалов () и соответствующих им частот Nk(Nk - сумма частот, которые попали в i-й интервал, см. таблица 1) - эмпирическое распределение.

Используя критерий Пирсона, проверим гипотезы о нормальном и равномерном распределении.



3. Проверка гипотез распределения случайной величины Х

3.1 Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности

Используя критерий Пирсона, проверим гипотезу о том, что генеральная совокупность X распределена нормально.

По правилу о том, что для того чтобы при уровне значимости б=0,05 проверим гипотезу о нормальном распределении:

1. Вычислим выборочное среднее Xsr и выборочное среднее квадратичное отклонение у(см. стр.7).

2. Пронормируем X , т.е. перейдем к случайной величине

, и вычислить концы интервалов:

Z1= (3.1.1), Z2=(3.1.2).

3. Вычислим вероятность попадания X в интервалы ():

,

где - функция Лапласа. Функция =НОРМСТРАСП ( ) позволяет вычислить в Excel интегральную функцию нормального распределения Pi, т.е.(3.1.3).

4. Вычислим практическую вероятность попадания данных частот Nk в интервалы (): (3.1.4).

5. При проверке гипотез будем использовать критерий Пирсона, который вычисляется по формуле:

(3.1.5).

Таблица 3.1.1

147,6264334

6. По заданному уровню значимости б=0,05 (в статистике величину называют статистически значимой, если мала вероятность чисто случайного возникновения её или ещё более крайних величин)

и числу степеней свободы , где s=8(количество интервалов выборки), т.е. найдем критическую точку правосторонней критической области.

Критическую точку распределения Пирсона (хи-квадрат) можно вычислить в Excel по формуле =ХИ2ОБР(б; k), т.е.

x_крит^2 =ХИ2ОБР(0,05; 5)=11,07049769 (3.1.6).

7. Сравним и для проверки гипотезы:

, т.е. гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем; другими словами эмпирические и теоретические частоты отличаются значимо.

Это означает, что данные наблюдения не согласуются с гипотезой о нормальном распределении.

8. Построим график отображения нормального закона распределения, исходя из определения, что нормальным называют распределение вероятностей СВ X , плотность которого имеет вид

,

где Mx- найденное ранее математическое ожидание (см. стр.7, (2.1)),

у - среднее квадратическое отклонение X(см. стр.7, (2.3)).

Упростим себе задачу, зная, что значения плотности нормального распределения для конкретного числового значения x можно вычислить в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;Mx;у;0), т.е.

плотность нормального распределения по средним значениям равна

(3.1.7).

(Смотреть таблицу 3.1.1 выше)

График 3.1.1

3.2 Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности

Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X, т.е. по закону

(3.2.1)

1. Оценим параметры a и b - концы интервалов, в которых наблюдались возможные значения Xsr, по формулам (через a и b обозначены оценки параметров):

*у (3.2.2) , *у (3.2.3) .

2. Найдем плотности вероятности предполагаемого распределения , в которых наблюдались возможные значения Xsr:

). (3.2.4)

3. Найдем теоретические частоты:

(3.2.5); (3.2.6 и т.д.); (3.2.7);

Таблица 3.2.1

4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона, приняв число степеней свободы k=s-3=8-3=5.

- критерий Пирсона (3.2.8) ,

где Nk - эмпирические частоты (смотреть таблицу 3.2.1)

Из расчетной таблицы получаем 144,6573685.

5. По заданному уровню значимости б=0,05 (в статистике величину называют статистически значимой, если мала вероятность чисто случайного возникновения её или ещё более крайних величин)

и числу степеней свободы k=s-3, где s=8(количество интервалов выборки), т.е. k=8-3=5 найдем критическую точку правосторонней критической области.

Критическую точку распределения Пирсона (хи-квадрат) можно вычислить в Excel по формуле =ХИ2ОБР(б; k), т.е.

1,145476226. (3.2.9)

6. Сравним 1,145476226 и 144,6573685 для проверки гипотезы:

Т.к. - есть основания отвергнуть гипотезу о равномерном распределении X; другими словами эмпирические и теоретические частоты отличаются значимо.

7. Построим график отображения равномерного закона распределения, исходя из определения, что равномерным называют распределение вероятностей СВ X, если на интервале(a,b) , которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно соответствует формуле (3.2.1).

График 3.2.1



Список литературы

1) Теория вероятности и математическая статистика. Учебн. Пособие для вузов/. В.Е. Гмурман - 9-е изд.,стер.-М.:Высш.шк.,2003-479с., ил.

2) Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. Учебн. Пособие для вузов/. В.Е. Гмурман - 9-е изд.,стер.-М.:Высш.шк.,2003-479с., ил.

3) http://natalymath.ru/theory_of_ver2.html .

4) http://on-line-teaching.com/excel/lsn021.html .

Размещено на Allbest.ru

...