Задачи нелинейной теории. Типичные нелинейности
Основные задачи теории нелинейных систем, методы расчета их устойчивости. Анализ теории устойчивости движения. Изучение реальных характеристик автоматических устройств, выделение типичных нелинейностей. Понятие устойчивости невозмущенного движения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.02.2016 |
| Размер файла | 1,4 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задачи нелинейной теории. Типичные нелинейности
Задачи теории нелинейных систем
Все технические системы, как правило, нелинейны. Однако первый этап изучения реальных систем состоит в исследовании их линейных математических моделей, которые являются наиболее простыми из возможных.
Теория линейных систем, базирующаяся на линеаризованных уравнениях движения, является достаточно хорошо разработанной отраслью науки. Применение этой теории к анализу и синтезу систем носит двоякий характер. Во-первых, имеется возможность совершенно строго анализировать методами линейной теории устойчивость "в малом" (при малых колебаниях) широкого класса реальных систем благодаря теоремам Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Во-вторых, часто допускают, что отклонения характеристик системы от линейных малы и на основе этого применяют методы линейной теории для исследования поведения систем не только "в малом", но и "в большом". Полученные при таком допущении результаты могут быть подтверждены или опровергнуты практикой в зависимости от того, насколько значительно влияние отброшенных нелинейностей. Для детального и всестороннего изучения реальных систем линейные математические модели часто являются слишком упрощенными и грубыми, требуется рассмотрение нелинейных моделей.
Теория нелинейных автоматических систем, базирующаяся на нелинейных уравнениях движения, представляет собой значительно более широкую отрасль науки, нежели теория линейных систем. Вместе с тем, вследствие трудности исследования нелинейных моделей, теория нелинейных систем разработана не столь полно, хотя и здесь достигнуты фундаментальные результаты.
Одна из проблем нелинейной теории состоит в анализе динамического поведения нелинейных систем. Иными словами, первая задача Нелинейной теории - учесть наличие в уравнениях движения тех нелинейностей, которые присущи определенным звеньям реальной системы в силу их природы; выяснить, как эти нелинейности влияют на работу системы; найти пути компенсации вредного влияния и способы использования положительного влияния этих нелинейностей.
Другая проблема нелинейной теории состоит в синтезе таких нелинейных систем, которые наилучшим образом отвечали бы предъявляемым к ним требованиям. Иначе говоря, вторая задача теории нелинейных автоматических систем - выяснить, какие нелинейности должны быть специально введены в реальную систему, для того чтобы эта система была оптимальной с определенной точки зрения.
Вторая из указанных задач исторически возникла более поздно нежели первая. Она непосредственно связана с построением адаптивных и оптимальных систем, с синтезом нелинейных законов управления и др.
При построении нелинейных моделей автоматических систем обычно выделяют несколько, например одно или два, звеньев системы с нелинейными уравнениями, считая при этом уравнения остальных звеньев линейными. Таким образом учитываются наиболее "сильнo выраженные" нелинейности. Если движение остальных звеньев системы действительно достаточно точно описывается решениями лилейных уравнений, то при таком способе исследования можно получить результаты, хорошо согласующиеся с опытными данными. Во всяком случае, такая нелинейная модель более полно отражает свойства реальной системы, нежели линейная модель, и поэтому позволяет получить существенную дополнительную информацию о поведении системы.
Типичные нелинейности
Изучение реальных характеристик автоматических устройств позволяет выделить типичные нелинейности, которые встречаются наиболее часто.
В основе методов расчета устойчивости нелинейных систем лежит теория устойчивости движения, основанная А.М. Ляпуновым.
Рассмотрим определение устойчивости движения, данное А.М. Ляпуновым. Пусть движение САУ описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка
где - переменные, характеризующие поведение системы; - нелинейные функции своих аргументов.
Будем полагать, что в уравнениях (8.7) отсчет значений переменных ведется от значений этих переменных в исследуемом на устойчивость движении, где они равны нулю. Это исследуемое на
устойчивость движение называется невозмущенным движением (в частном случае невозмущенное движение будет просто состоянием равновесия). При указанном отсчете переменных уравнения (8.7) принято называть уравнениями возмущенного движения (по другой терминологии - уравнениями переходного процесса).
Невозмущенное движение описывается частным решением системы (8.7)
соответствующим нулевым начальным условиям (так называемое очевидное решение).
Если при хотя бы часть переменных имеет отличные от нуля значения
в теории устойчивости называемые возмущениями, то соответствующее этим возмущениям частное решение системы (8.7)
будет описывать движение, называемое возмущенным движением.
Определение. Невозмущенное движение, описываемое решением (8.8), называется устойчивым по Ляпунову относительно переменных если для любого заданного положительного числа как бы мало оно ни было, можно подобрать положительное число 6 такое, чтобы при возмущениях, удовлетворяющих неравенствам
соответствующее этим возмущениям решение (8.10) для любого удовлетворяло бы неравенствам
Если дополнительно соблюдаются равенства
то невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову асимптотически. Если же для какого-нибудь положительного названного числа не существует, невозмущенное движение называется по Ляпунову неустойчивым.
нелинейная теория типичная нелинейность
Эти определения не меняются, если имеется в виду частный случай невозмущенного движения - состояние равновесия.
Иными словами, невозмущенное движение будет устойчивым; если при достаточно малом начальном отклонении любое возмущенное (отклоненное) движение будет достаточно близким к невозмущенному (неотклоненному). Примером устойчивого по Ляпунову движения может служить скатывание шарика по желобу, примером неустойчивого движения - скатывание того же шарика по ребру пирамиды.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Задача исследования устойчивости нелинейной динамической системы. Аппроксимации функций с использованием обобщений полиномов Бернштейна. Анализ скорости сходимости и эффективности итерационной формулы, сравнение с классическими численными методами.
дипломная работа [1002,2 K], добавлен 23.06.2011Основные понятия теории марковских цепей, их использование в теории массового обслуживания для расчета распределения вероятностей числа занятых приборов в системе. Методика решения задачи о наилучшем выборе. Понятие возвратных и невозвратных состояний.
курсовая работа [107,2 K], добавлен 06.11.2011Применение метода абсолютной устойчивости для исследования устойчивости нелинейных систем. Критерий абсолютной устойчивости Попова. Исследование абсолютной устойчивости при неустойчивой линейной части. Круговой критерий Воронова, робастная устойчивость.
реферат [914,5 K], добавлен 20.08.2015Появление понятия функций Ляпунова. Развитие теории устойчивости движения. Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений. Методы построения функций Ляпунова, продолжимость решений уравнений третьего порядка.
дипломная работа [543,4 K], добавлен 29.01.2010Принципы и этапы построения математической модели движения неуправляемого двухколесного велосипеда. Условия устойчивого движения. Вопрос гироскопической стабилизации движения. Модель движения велосипеда с гиростабилизатором в системе Matlab (simulink).
статья [924,5 K], добавлен 30.10.2015Сущность и основные понятия теории графов, примеры и сферы ее использования. Формирование следствий из данных теорий и примеры их приложений. Методы разрешения задачи о кратчайшем пути, о нахождении максимального потока. Графическое изображение задачи.
курсовая работа [577,1 K], добавлен 14.11.2009Основные формулы, используемые в исследовании. Определение стохастической устойчивости и структура соответствующих уравнений. Применение второго метода Ляпунова. Скалярные уравнения n-го порядка. Анализ устойчивости по вероятности движений спутника.
курсовая работа [235,6 K], добавлен 21.02.2016Особенности использования теории вероятностей в сфере транспорта. Сравнительный анализ вероятностей катастрофы летательного аппарата: постановка задачи и ее математическая интерпретация. Определение надежности элементов системы энергоснабжения самолета.
контрольная работа [130,6 K], добавлен 11.09.2014Исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем. Понятие разомкнутой системы – системы, в которой отсутствует обратная связь между входом и выходом, то есть управляемая величина (выходная) не контролируется. Логарифмический частотный критерий.
реферат [189,7 K], добавлен 30.01.2011Сущность и предмет теории вероятностей, отражающей закономерности, присущие случайным явлениям массового характера. Изучение ею закономерностей массовых однородных случайных явлений. Описание наиболее популярных в теории вероятностей экспериментов.
презентация [474,2 K], добавлен 17.08.2015Понятие и специфика Аддитивной теории чисел, ее содержание и значение. Описание основных проблем Аддитивной теории чисел: Варинга, Гольдбаха, Титчмарша. Методы решения данных проблем: редукция к производящим функциям, исследование структуры множеств.
курсовая работа [150,0 K], добавлен 18.12.2010Определение случайного процесса и его характеристики. Основные понятия теории массового обслуживания. Понятие марковского случайного процесса. Потоки событий. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний. Процессы гибели и размножения.
реферат [402,0 K], добавлен 08.01.2013Понятие и классификация систем, их типы и методика управления. Сущность и методология математического моделирования. Системы, описываемые дифференциальными уравнениями. Некоторые задачи теории графов: о Кенигсбергских мостах, о выходе из лабиринта.
презентация [640,6 K], добавлен 23.06.2013Расчет наступления определенного события с использованием положений теории вероятности. Определение функции распределения дискретной случайной величины, среднеквадратичного отклонения. Нахождение эмпирической функции и построение полигона по выборке.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 14.11.2010Особенности применения функций Ляпунова для исследования устойчивости различных дифференциальных уравнений и систем. Алгоритм и листинг программы определения устойчивости матрицы на основе использования метода Раусса-Гурвица в среде моделирования Matlab.
реферат [403,7 K], добавлен 23.10.2014Краткая биография английского математика Дж. Сильвестра. Устойчивость равновесия консервативной системы с конечным числом степеней свободы. Функции Ляпунова и критерий Сильвестра. Пример определения условия устойчивости равновесного положения системы.
реферат [3,0 M], добавлен 09.11.2010Алгебра логики, булева алгебра. Алгебра Жегалкина, педикаты и логические операции над ними. Термины и понятия формальных теорий, теорема о дедукции, автоматическое доказательство теорем. Элементы теории алгоритмов, алгоритмически неразрешимые задачи.
курс лекций [652,4 K], добавлен 29.11.2009Изучение вопросов применения теории множеств, их отношений и свойств и теории графов, а также математических методов конечно-разностных аппроксимаций для описания конструкций РЭА (радиоэлектронной аппаратуры) и моделирования протекающих в них процессов.
реферат [206,9 K], добавлен 26.09.2010Случайные события, их классификация. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Аксиоматическое и геометрическое определение вероятности. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
реферат [1,4 M], добавлен 18.02.2014Теорема Бернулли как простейшая форма закона больших чисел. Предельные теоремы теории вероятностей и объяснение природы устойчивости частоты появлений события. Качественные и количественные утверждения закона больших чисел, его практическое применение.
курсовая работа [75,2 K], добавлен 17.12.2009
