Функции многих переменных
Определение и графическое изображение области допустимых значений заданной функции. Вычисление частных производных первого порядка, полного приращения и дифференциала функции. Механизма и основные этапы расчета наибольшего и наименьшего значения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.02.2016 |
| Размер файла | 131,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Функции многих переменных
1. Нарисовать ОДЗ функции .
Решение:
ОДЗ:
- прямая отсекается по осям 0X и 0Y отрезками 2 и
или - ниже прямой
2. Нарисовать линию уровня для функции .
Решение:
производная дифференциал переменная
,
- линии уровня - линии на плоскости X0Y - проекции линий, которые получаются при пересечении поверхности с плоскостями
- окружность с радиусом 3
3. Найти частные производные первого порядка функции .
Решение:
,
Ответ:
4. Найти полное приращение и дифференциал функции в т. , . Вычислить эти величины при условии и .
Решение:
Полное приращение функции
в т. :
Приближено:
- дифференциал функции Z, который равен
дифференциалы и :
и
,
,
Ответ: ; .
5. Показать что функция удовлетворяет уравнению теплопроводности . - температура стержня в точке в момент t.
Решение:
Найдем частные производные и подставим в уравнение:
В уравнение:
равны, верно.
6. Найти касательную плоскость и нормальный вектор к графику функции в точке .
Решение:
Если функция задана явно , то касательную плоскость ищем в виде:
, а нормаль
Найдем частные производные, затем в т. Р и подставим их в эти формулы.
;
;
В
- уравнение искомой касательной плоскости (она параллельна оси 0X).
В - уравнение нормали.
Нормаль
7. Найти точки экстремума функции двух независимых переменных :
А)
Решение:
1). Необходимое условие экстремума.
Из второго уравнения y:
Точки - критическая на экстремум.
2). Достаточное условие
Итак, - экстремум есть
- min
Ответ: в т. - минимум функции.
Б) , .
1). Необходимое условие экстремума.
в первое:
Точки - критическая на экстремум.
2). Достаточное условие
(в любой точке)
- экстремум есть
- min
Ответ: в т. - минимум функции.
8. Вычислить в точке градиент и производную функции по направлению .
Решение:
grad и по направлению
Градиент в т. :
Производная по направлению:
и - направляющие косинусы вектора
т.е.
Найдем производные
(т.е. ; )
В
и в
Ответ: ; .
9. Найти дифференциал второго порядка функции .
Решение:
Дифференциал второго порядка
Найдем производные и подставим их в :
Ответ: .
10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .
Решение:
Наибольшее и наименьшее значения данной функции в области D будем искать среди экстремальных (или критических) ее значений:
1) внутри области
2) на ее границах
3) в узловых точках
Сравним их и выберем.
1). Необходимое условие экстремума:
, , ,
Точки и - критические на экстремум, обе .
2) На границах:
а)
- есть точка уже
б)
т.
в)
точка ;
г)
точка выше.
4). В «узлах»:
была
Сравним все значения Z в «рамочках» и ответ:
Наибольшее значение функции Z в области D: в точках и , наименьшее в точке .
11. Русла двух рек в пределах некоторой области приближенно представляют параболу и прямую . Требуется соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей длины. Через какие точки его провести?
Решение:
Прямолинейный канал - прамая АВ - перпендикулярн руслу реки - прямой CD и идет из точки А, лежащей на параболе (чтобы АВ было наименьшим).
Пусть , тогда , т.е. т. .
Расстояние .
От т. до прямой измеряем по формуле
,
т.е.
Производная очевидно квадрат растет быстрее а.
Итак в т. А - min
Это точка на параболе
А на параболе?
На прямой точка пересечения ее с перпендикуляром через т.
Для перпендикуляра
Решим систему
Точка пересечения (на данной прямой)
Ответ: канал надо провести через точки:
на параболе
на прямой .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Правило нахождения точек абсолютного или глобального экстремума дифференцируемой в ограниченной области функции. Составление и решение системы уравнений, определение всех критических точек функции, сравнение наибольшего и наименьшего ее значения.
практическая работа [62,7 K], добавлен 26.04.2010Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.
контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Вычисление пределов и устранение неопределенности. Поиск производных функций. Вычисление приближенного значения 8.051/3. Определение полного дифференциала функции z=3sin(2x+3y). Формула интегрирования по частям. Решение линейного однородного уравнения.
контрольная работа [439,6 K], добавлен 25.03.2014Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Определение периметра треугольника, наименьшего и наибольшего значений функции. Вычисление средней температуры. Проведение вычислений логарифмов. Нахождение угла между прямой и плоскостью. Вычисление объема конуса. Коэффициент теплового расширения.
контрольная работа [15,5 K], добавлен 27.12.2013Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010Определение годовых издержек пополнения и хранения запасов, приращения и дифференциала заданной функции, ее абсолютного и относительного отклонение. Выведение нормальных уравнений методом наименьших квадратов и формул Крамера для линейной функции.
контрольная работа [277,4 K], добавлен 29.01.2010Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Многие переменные, минимизация их функций. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции. Условия существования экстремумов функции многих переменных. Квадратичная форма, принимающая, как положительные, так и отрицательные значения.
реферат [70,2 K], добавлен 05.09.2010Определение частных производных первого и второго порядков заданной функции, эластичности спроса, основываясь на свойствах функции спроса. Выравнивание данных по прямой методом наименьших квадратов. Расчет параметров уравнения линейной парной регрессии.
контрольная работа [99,4 K], добавлен 22.07.2009Методы нахождения минимума функции одной переменной и функции многих переменных. Разработка программного обеспечения вычисления локального минимума функции Химмельблау методом покоординатного спуска. Поиск минимума функции методом золотого сечения.
курсовая работа [95,1 K], добавлен 12.10.2009Определение минимальной и максимальной точек для функции, имеющей на отрезке [a; b] конечное число критических точек. Ознакомление с примерами нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратической, кубической, логарифмической и иных функций.
презентация [355,9 K], добавлен 20.12.2011Нахождение наибольшего и наименьшего значения (экстремумы) функции в замкнутой ограниченной области. Геометрический и симплексный метод составления плана выпуска продукции, разложение в ряд Фурье по синусам непериодической функции, её график и сумма.
курсовая работа [282,7 K], добавлен 25.04.2011
