Числовые характеристики случайных величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Числовые характеристики случайных величин

Введение

Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Однако иногда можно охарактеризовать достаточно ярко случайную величину с помощью всего одного или нескольких чисел. Например, можно указать закон распределения количества осадков, выпадающих в данной местности за определенный месяц, но проще и нагляднее указать среднее количество осадков в данном месяце.

В большинстве руководств по теории вероятностей и математической статистике при рассмотрении вопроса о статистических аналогиях для характеристик случайных величин применяется терминология, несколько отличная от принятой в настоящей книге, а именно, статистическое среднее именуется «выборочным средним», статистическая дисперсия - «выборочной дисперсией» и т.д.

Происхождение этих терминов следующее. В статистике, особенно сельскохозяйственной и биологической, часто приходится исследовать распределение того или иного признака для весьма большой совокупности индивидуумов, образующих статистический коллектив (таким признаком может быть, например, содержание белка в зерне пшеницы, вес того же зерна, длина или вес тела какого-либо из группы животных и т.д.). Данный признак является случайной величиной, значение которой от индивидуума к индивидууму меняется. Однако, для того, чтобы составить представление о распределении этой случайной величины или об ее важнейших характеристиках, нет необходимости обследовать каждый индивидуум данной обширной совокупности; можно обследовать некоторую выборку достаточно большого объема для того, чтобы в ней были выявлены существенные черты изучаемого распределения. Та обширная совокупность, из которой производится выборка, носит в статистике название генеральной совокупности. При этом предполагается, что число членов (индивидуумов)  в генеральной совокупности весьма велико, а число членов  в выборке ограничено. При достаточно большом  оказывается, что свойства выборочных (статистических) распределений и характеристик практически не зависят от ; отсюда естественно вытекает математическая идеализация, состоящая в том, что генеральная совокупность, из которой осуществляется выбор, имеет бесконечный объем. При этом отличают точные характеристики (закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и т.д.), относящиеся к генеральной совокупности, от аналогичных им «выборочных» характеристик. Выборочные характеристики отличаются от соответствующих характеристик генеральной совокупности за счет ограниченности объема выборки ; при неограниченном увеличении , естественно, все выборочные характеристики приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим характеристикам генеральной совокупности. Часто возникает вопрос о том, каков должен быть объем выборки  для того, чтобы по выборочным характеристикам можно было с достаточной точностью судить о неизвестных характеристиках генеральной совокупности или о том, с какой степенью точности при заданном объеме выборки можно судить о характеристиках генеральной совокупности. Такой методический прием, состоящий в параллельном рассмотрении бесконечной генеральной совокупности, из которой осуществляется выбор, и ограниченной по объему выборки, является совершенно естественным в тех областях статистики, где фактически приходится осуществлять выбор из весьма многочисленных совокупностей индивидуумов. Для практических задач, связанных с вопросами стрельбы и вооружения, гораздо более характерно другое положение, когда над исследуемой случайной величиной (или системой случайных величин) производится ограниченное число опытов с целью определить те или иные характеристики этой величины, например, когда с целью исследования закона рассеивания при стрельбе производится некоторое количество выстрелов, или с целью исследования ошибки наводки производится серия опытов, в каждом из которых ошибка наводки регистрируется с помощью фогопулемета, и т.д. При этом ограниченное число опытов связано не с трудностью регистрации и обработки, а со сложностью и дороговизной каждого отдельного опыта. В этом случае с известной натяжкой можно также произведенные  опытов мысленно рассматривать как «выборку» из некоторой чисто условной «генеральной совокупности», состоящей из бесконечного числа возможных или мыслимых опытов, которые можно было бы произвести в данных условиях. Однако искусственное введение такой гипотетической «генеральной совокупности» при данной постановке вопроса не вызвано необходимостью и вносит в рассмотрение вопроса, по существу, излишний элемент идеализации, не вытекающий из непосредственной реальности задачи.

Поэтому мы в данном курсе не пользуемся терминами «выборочное среднее», «выборочная дисперсия», «выборочные характеристики» и т.д., заменяя их терминами «статистическое среднее», «статистическая дисперсия», «статистические характеристики».

Числа, назначение которых в сжатом виде характеризовать основные особенности распределений случайных величин, называются числовыми характеристиками. Рассмотрим некоторые из числовых характеристик и их основные свойства.

1. Математическое ожидание

Случайной величиной о называется действительная функция о = о (щ), щ принадлежит у, такую что при любом x {щ: о(щ) < x} принадлежит U

Дискретной случайной величиной (Д.С.В.) называют случайную величину, множество возможных значений которой - конечное или счетное множество (определение с пар) - ДСВ - если множества значений случайно величины не более чем счетно.

Математическим ожиданием случайной величины с заданной на вероятностном пространстве (у, U, P), называется число Мо= ? о(щ) P(dщ)

?

Математическим ожиданием Д.С.В. называется число M[X], определяемое равенством

если ряд абсолютно сходится.

Если ряд абсолютно не сходится, то говорят что мат. ожидание случайной величины о не существует.

Опр: начальный момент k-го порядка.

Математическим ожиданием Н.С.В. называется число M[X], определяемое равенством

Мо=?… ? о (u1, …, un) р (u1, …, un) du1…dun, если интеграл абсолютно сходится.

?

(Если не сходится то - не существует.)

Формула для вычисления мат. ожидания случайной величины по плотности распределения

Пример: Математическое ожидание суммы для дискретных случайных величин.

M (о+з)=?(xk+yl) pkl=?(xk+yl) P (о=xk, з= yl)= ?xk P (о= xk, з= yl)+ ? yl P (о= xk, з= yl)=

k, l k, l k, l k, l

=?xk ?P (о= xk, з= yl)+ ? yl ?P (о= xk, з= yl)=?xk P (о= xk)+ ? yl P (з= yl)=Mо+Mз

k l l k k l

Свойства математического ожидания:

1) Если С-постоянная, то МС=С

2) Если С-постоянная, то М(Со)= С Мо

3) Для любых величин о, | Мо |<=М|о|

4) Для любых величин о1 и о2, М (о1 + о2)= Мо1 + Мо2

5) Если случайные величины о1 и о2 независимы, то Мо1о2= Мо1*Мо2

2. Дисперсия

Дисперсией случайной величины X, D[X], называется число D[X] =--M (X -M[X]) 2.

По определению дисперсия - это второй центральный момент.

На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой

D[X] =--M[Ч2] ---(M[X]) 2

Среднеквадратическое отклонение случайной величины у= vD(x)

Формула для дисперсии суммы двух произвольных случайных величин:

D (о1 + о2)= Dо1 + Dо2+2 cov (о1, о2)

Она выводится из формул:

D (о1 + о2)= М[(о1 + о2) - М (о1 + о2)] 2= М[(о1 - M о1)+ (о2 - M о2)] 2= М[(о1 - M о1) 2+ (о2 - M о2) 2+2 (о1 - M о1) (о2 - M о2)]

И cov (о1, о2)=M[(о1-M о1) (о2-M о2)

Свойства дисперсии

1) Для любой случайной величины о имеем Dо>=0

2) Если c-постоянная, то Dc=0

3) Если c-постоянная, то D(cо)=c2Dо

4) Для любых величин о1 и о2, D (о1 + о2)= Dо1 + Dо2

3. Моменты случайных величин

Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени соответствующей центрированной величины.

Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, т.к.

Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.

Числовые характеристики системы случайных величин составляют числовые характеристики каждой из величин, входящих в систему, и числовые характеристики, дающие представление о характере связи между величинами. Числовые характеристики каждой из величин по отдельности определяются как числовые характеристики обычных случайных величин. Из числовых характеристик зависимости между величинами назовем лишь наиболее употребимую.

Корреляционным моментом или ковариацией случайных величин Х и У называется математическое ожидание произведения соответствующих центрированных величин

Если случайные величины независимы, то их ковариация равна нулю. Обратное утверждение верно не всегда. Равенство нулю ковариации независимых случайных величин следует из теоремы о математическом ожидании произведения независимых случайных величин

дисперсия корреляционный математический

часто силу зависимости между случайными величинами характеризуют безразмерным коэффициентом

Заключение

Таким образом, главное назначение числовых характеристик состоит в том, чтобы в сжатой форме выразить наиболее важные особенности распре-

деления исследуемой случайной величины. В теории вероятностей числовые характеристики и операции с ними играют огромную роль. С помощью числовых характеристик существенно удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. При этом весьма важную роль играет то обстоятельство, что когда в задаче фигурирует большое количество случайных величин, каждая из которых оказывает известное влияние на численный результат опыта, то закон распределения этого результата в значительной мере можно считать независимым от законов распределения отдельных случайных величин (возникает так называемый нормальный закон распределения). В этих случаях по существу задачи для исчерпывающего суждения о результирующем законе распределения не требуется знать законов распределения отдельных случайных величин, фигурирующих в задаче; достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих величин.

Размещено на Allbest.ru