Решение уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ ГУМАНИТАРНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Контрольная работа

Биробиджан 2015г.

Задача 1

1) решить уравнение по формулам Крамера;

2) решить уравнение с помощью обратной матрицы;

3) решить уравнение методом Гаусса:

Решение:

1) решить уравнение по формулам Крамера:

1. Подсчитаем сначала главный определитель системы.

уравнение матрица вектор орт

Так как , то делаем вывод, что система имеет единственное решение.

2. Теперь вычислим вспомогательные определители:



3. Используя формулы Крамера, находим неизвестные , и :

Ответ: , , .

2) решить уравнение с помощью обратной матрицы:

1. Обозначим через - матрицу коэффициентов при неизвестных, - матрицу-столбец неизвестных, - матрицу-столбец свободных членов:

, ,

Тогда система линейных уравнений в матричном виде запишется:

Если матрица невырожденная, то она имеет обратную матрицу .Для нахождения решения системы уравнений нам надо найти обратную матрицу для . Вычислим определитель и алгебраические дополнения элементов матрицы .

Главный определитель:

Так как , то матрица - невырожденная и имеет обратную матрицу .

2. Теперь определяем и обратную матрицу .

Найдем (в матрице вычеркиваем 1 строку и 1 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 1 строку и 2 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 1 строку и 3 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 2 строку и 1 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 2 строку и 2 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 2 строку и 3 столбец):

Найдем (вматрице вычеркиваем 3 строку и 1 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 3 строку и 2 столбец):

Найдем (в матрице вычеркиваем 3 строку и 3 столбец):

3. Найдем обратную матрицу:

По формуле находим решение данной системы в матричной форме:

4. Ответ: , , .

3) решить уравнение методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу системы, выделив в ней основную с помощью тождественных преобразований, найдем ранг этих матриц:

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 5; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 3



2-ую строку делим на -9

от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2; к 3 строке добавляем 2 строку, умноженную на 7

3-ую строку делим на 3

от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 2

, , .

Ответ: , , .

Задача 2

Даны координаты вершин треугольника ABC: А(-10; 5), В(2; -4), С(0; 10). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол B в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой CD - диаметр; 6) уравнение медианы АF и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 7) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 8) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.

Решение:

1) длину стороны АВ

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты

Прямая AB:

Угловой коэффициент

Прямая BC:

Угловой коэффициент

3) угол B в радианах с точностью до двух знаков

Найдем тангенс угла Bмежду прямыми и по формуле:

4) уравнение высоты CD и ее длину

Т.к. CDперпендикулярнаAB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. связаны формулой ,

тогда

Уравнение прямой CD, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент можно записать в виде:

Если задано уравнение прямой AB: , то расстояние CD от точки до прямой AB можно найти, используя следующую формулу:

5) уравнение окружности, для которой CD - диаметр

Найдем координаты точки D - это пересечение прямыхCD и AB:



, т.е.

Найдем координаты середины отрезка CD, который является центром окружности:

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом r (:

6) уравнение медианы АF и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD

Медиана AF проходит через точкуА(-10; 5)и середину F отрезка ВС

Уравнение прямойAF:

ПрямаяAF пересекается с CD в точке :

7) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ

Т.к. прямаяPK параллельна AB, то их угловые коэффициенты равны:

Уравнение прямой KP, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент можно записать в виде:

8) координаты точки M, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD

Точка симметрична точке относительно прямой . Поскольку прямая перпендикулярна прямой , а точка - точка пересечения этих прямых, то, следовательно, точки и принадлежат прямой и - есть середина отрезка .

Ответ:

1) длина стороны АВ=15;

2) уравнения стороны АВ:

, угловой коэффициент

уравнения стороны ВС:

, угловой коэффициент

3)

4) уравнение высоты CD , ее длина - 10

5) уравнение окружности, для которой CD - диаметр

6) уравнение медианы АF и координаты точки Kпересечения этой медианы с высотой CD:

,

7) уравнение прямой KP, проходящей через точку К параллельно стороне АВ

8) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD ,

Задача 3

Привести уравнение к каноническому виду, построить кривую

Решение:

В уравнении кривой коэффициент при слагаемыхx²и xy равен нулю, значит данное уравнение описывает параболу ,

Приведем исходное уравнение к видууравнения параболы:

ветви параболы направлены влево, вершина расположена в точке (x₀, y₀), т.е. в точке (2;0)

параметр ,

Координаты фокуса:

Уравнение директрисы:



Задача 4

Привести уравнение к каноническому виду, построить кривую

Решение

Приведем данное уравнение к простейшему виду:

Это есть каноническое уравнение гиперболы с центром в точке , оси гиперболы будут:

где и - действительная и мнимая полуось гиперболы.

В общем виде , т.е. в системе координат, смещенной на вектор (-2;-2)

, - эксцентриситет гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:



Задача 5

даны координаты вершин пирамиды :

Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти их длины;

2) найти угол между векторами ;

3) найти проекцию вектора на вектор

4) найти площадь грани ;

5) найти объем пирамиды .

Решение:

1) записать векторы в системе орт и найти их длины;

Найдем координаты векторов, отняв из координат концов векторов одноименные координаты начала.

Запишем полученные векторы в виде линейной комбинации векторов

По формуле найдем длины векторов:

2) найти угол между векторами ;

Определим косинус угла между двумя векторами:

3) найти проекцию вектора на вектор

Найдем проекцию вектора на вектор , как скалярное произведение этих векторов, деленное на длину вектора .

4) найти площадь грани ;

Вычислим площадь треугольника . Она будет равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т. е. половине модуля векторного произведения этих векторов.

5) найти объем пирамиды .

Объём пирамиды равен

, т. е.

Задача 6

Найти:

1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки A,B и C;

2) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М, перпендикулярно плоскости Q;

3) точки пересечения прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, xOz, yOz;

4) расстояние от точки М до плоскости Q.

Решение:

1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки A,B и C;

Уравнение плоскости, проходящей через три точки , , , имеет вид:

Подставим координаты точек , , . В результате получим

2) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М, перпендикулярно плоскости Q;

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:



где , , - координаты точки, через которую проходит прямая; , , - координаты направляющего вектора этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости , имеет вид:

3) точки пересечения прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, xOz, yOz;

Для того, чтобы найти точки пересечения прямой с плоскостью , запишем сначала уравнение прямой в параметрическом виде, т. е.

где - некоторый параметр. Тогда

После подстановки данных этих равенств в уравнение плоскости , получим значение :

Отсюда имеем Таким образом, точка - есть точка пересечения прямой с плоскостью .

Найдем точку пересечения прямой в каноническом виде с координатной плоскостью . Уравнение плоскости: . При получаем ; ;

Найдем точку пересечения прямой в каноническом виде с координатной плоскостью . Уравнение плоскости: . При получаем ; ;

Найдем точку пересечения прямой в каноническом виде с координатной плоскостью . Уравнение плоскости: . При получаем ; ;

4) расстояние от точки М до плоскости Q.

Так как точка лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости и пересекается с ней в точке , то для нахождения расстояния от точки до плоскости достаточно найти расстояние между точками и :

Размещено на Allbest.ru

...