Размещено на http://www.allbest.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ

• Введение
• 1. История становления понятия вещественного числа
• 1.1 Наивная теория вещественных чисел
• 1.2 Создание строгой теории
• 2. Конструктивные способы определения вещественного числа
• 2.1 Теория фундаментальных последовательностей Кантора
• 2.2 Теория бесконечных десятичных дробей
• 2.3 Теория сечений в области рациональных чисел
• 3. Аксиоматический подход
• 3.1 Аксиоматика вещественных чисел
• 3.1.2 Аксиомы порядка
• 3.1.3 Аксиомы непрерывности
• 3.2 Другие системы аксиом вещественных чисел
• 4. Свойства
• 4.1 Связь с рациональными числами
• 4.2 Теоретико-множественные свойства
• 4.3 Обобщение вещественных чисел
• Выводы
• Литература


ВВЕДЕНИЕ

Вещественное, или действительное число -- математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.

Числовая прямая

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные -- из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Понятие вещественного (действительного) числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), что современной терминологии означает -- чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была сделана попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. Далее, на протяжении более двух тысячилетий, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере была создана строгая теория вещественных чисел. вещественный число аксиома

Если рассматривать с точки зрения современной математики, множество вещественных чисел -- непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартизованное обозначение -- R.



1. ИСТОРИЯ СТАНОВЛЕНИЯ ПОНЯТИЯ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА

1.1 Наивная теория вещественных чисел

В Древней Греции была построена первая развитая числовая система, которая включала в себе только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании -- рациональные числа). Но вскоре выяснилось, что для целей решения задач геометрии и астрономии этого недостаточно: примером есть отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны которое не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом.

Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса -- это геометрическая модель вещественных чисел. С точки зрения нашего времени, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин -- например, исследуемой и единичного эталона. Следует обратить внимание, что Евдокс остался верен прежней традиции -- он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам очень схожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях -- например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др.

В первые века н. э. данная ситуация начала меняться. Уже Диофант Александрийский, не смотря на прежние традиции, рассматривает дроби как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» излагает об одном результате: «Число оказывается не рациональным». После падения античной науки на первый план вышли индийские и исламские математики, для последних любой результат измерения или вычисления считался числом.

Данные теоретические взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе, где изначально делили на рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с работами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью».

Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символики десятичных дробей, которые с этого момента начинают постепенно заменять неудобные шестидесятеричные.

Спустя один век Ньютон в своей «Универсальной арифметике» даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу».

Это прикладное определение, долгое время, считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало. В результате, большое количество теорем содержали ошибки, расплывчатые или чрезмерно широкие формулировки.

Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не особо изменилось, ввиду того, что теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал много ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.

1.2 Создание строгой теории

Впервые совершил попытку заполнить пробел в основаниях математики Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между произвольными двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит как минимум один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет полноценной системы вещественных чисел, хотя уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, вышеупомянутая может быть строго доказана. Позднее в своем труде Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой канторовой теории множеств. При жизни автора этот его труд остался неопубликованным, свет увидел только в 1851 году. Взгляды Больцано сильно опередили своё время и не привлекли к себе должного внимания математической социума.

Теория вещественных чисел настоящего времени была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили отличающиеся друг от друга, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и бесповоротно отделили это понятие от геометрии и механики.



2. КОНСТРУКТИВНЫЕ СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА

При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел ), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в обозначенном смысле, показывают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Значительная разница между действительными числами и данными построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не определены строгим математическим понятием.

Вышеуказанные объекты и называют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.

Конструктивные определения были первыми в истории строгими определениями вещественного числа. Три работы были опубликованы одновременно (в 1872 году): теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте -- теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда.

2.1 Теория фундаментальных последовательностей Кантора

В этом подходе вещественное число рассматривается математиками как предел последовательности рациональных чисел. Для схождения последовательности рациональных чисел, на неё накладывается условие Коши:



Члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга - в этом утверждении заключается весь смысл теории. Если последовательность, удовлетворяет условию Коши, ее называют фундаментальной.

Через обозначим вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел .

Два вещественных числа и , определённые соответственно фундаментальными последовательностями и , называются равными, если

Суммой и произведением двох вещественных числел и называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей и :

Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число по определению больше числа , то есть , если

Способ построения множества вещественных чисел при помощи фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.



2.2 Теория бесконечных десятичных дробей

Действительное число также определяется как бесконечная десятичная дробь, и тогда выражение вида , где есть один из символов или , называемый знаком числа, -- целое неотрицательное число, -- последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества .

Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между рациональными точками вида

и для всех

Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа

Если , то ; если то . В случае равенства переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если , то после конечного числа шагов встретится первый разряд , такой что . Если , то ; если то .

Однако, при сравнении бесконечных десятичных дробей необходимо учитывать, что число . В таком случае, если запись одного из чисел, которые мы сравниваем, начиная с некоторого разряда, представляет собой периодическую десятичную дробь, у которой в периоде стоит 9, то её следует заменить на эквивалентную запись, с нулём в периоде.

Арифметические операции над бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[14] соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:

Аналогичным способом определяется операция умножения на множестве бесконечных десятичных дробей.

В большинстве случаев точное частное в виде десятичной дроби не может быть получено, как бы далеко ни продолжалось деление.

Пример 1:

и т.д.

Пример 2.

Дробь превращается в чистую периодическую десятичную, так как 27 не делится ни на 2, ни на 5. Дробь превращается в смешанную периодическую, так как 12 делится на 2.

Действительно



Пример 3.

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Решение

Как известно, рациональные числа выражаются десятичными дробями, которые имеют период начиная с некоторого знака. Исходя из этого, достаточно доказать, что данная дробь не является периодической ни с какого знака. Положим, что это не так, и некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби, начиная с m-го знака после запятой. В таком случае, что среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра. Это значит, что начиная с m-ой цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. Но в десятичной записи данной дроби должна присутствовать десятичная запись числа 100...0 = 10^k, где k > m и k > n. Понятно, что эта запись встретится правее m-ой цифры и содержит более n нулей подряд. Таким образом, мы имеем противоречие, завершающее доказательство.

Пример 4.

Дана бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂... . Докажите, что цифры в ее десятичной записи можно переставить так, чтобы полученная дробь выражала рациональное число.

Решение

Дробь выражает рациональное число в том и только том случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс - те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр. Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса - каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут предшествовать периоду в дробной части десятичной дроби. Далее, запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Полученную комбинацию назовем периодом и будем повторять ее бесконечное число раз. Таким способом, мы выписали искомую периодическую дробь, выражающую некоторое рациональное число.

Пример 5.

Доказать, что в каждой бесконечной десятичной дроби существует последовательность десятичных знаков произвольной длины, которая в разложении дроби встречается бесконечно много раз.

Решение

Пусть m - произвольно заданное натуральное число. Разобьем данную бесконечную десятичную дробь на отрезки, по m цифр в каждом. Таких отрезков будет бесконечно много. С другой стороны, различных систем, состоящих из m цифр, существует только 10^m, т. е. конечное число. Следовательно, хотя бы одна из этих систем должна повторяться здесь бесконечно много раз.

Замечание. Для иррациональных чисел v2, р или е мы даже не знаем, какая цифра повторяется бесконечно много раз в представляющих их бесконечных десятичных дробях, хотя каждое из этих чисел, как легко можно доказать, содержит по крайней мере две различные такие цифры.

Пример 6.

Проверьте делением столбиком, что

Таким образом, все рациональные числа содержатся среди бесконечных десятичных дробей как периодические десятичные дроби.

Действительными числами называют бесконечные десятичные дроби со знаком плюс или минус, и в случае периодичности дроби такое действительное число называют рациональными, в противном случае - иррациональным.

Пример 7.

Число а = 0.1010010001... как непериодическая бесконечная десятичная дробь есть число иррациональное.

Сравнительно просто определять в отношение равенства и порядка ("больше") Пусть a = ₀, ₁, ₂ ...b = ₀, ₁, ₂ ...

действительные числа. Будем считать их равными, если они одного знака и k = 0, 1, 2, ... : _k = _k .

Пусть a, b одного знака " + ". Число a больше числа b ( a b ), если существует k = 0, 1, 2, ... , что _i = _i для i = 1, 2, ... , k - 1 и _{k k}

Пример 8.

a = 3,2001(0) 3,1999(0) = b здесь k = 1.

2.3 Теория сечений в области рациональных чисел

В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.

Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса -- нижний и верхний , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:

Если существует число , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то число разделяет множества и : числа нижнего и числа верхнего классов лежат по разные стороны от числа . Также говорят, что рациональное число выполняет данное сечение множества рациональных чисел.

В случае, когда в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем -- минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и . В таком случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для любого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект -- иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:

Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством действительных чисел, а его элементы -- действительными числами.

Над действительными числами определяются арифметические операции, как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Пример, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , которое удовлетворяет следующему условию:

Два действительных числа называются противоположными, если все соответствующие цифры в их записи одинаковы: отличие только в знаке. Два положительных действительных числа считаются равными: х = у, если а₀ = b_о, а₁ = b₁, а₂ = b₂, а₃= b₃…и т.д. Два отрицательных действительных числа равны, если равны противоположные им числа. Из двух положительных действительных чисел , число х больше числа у (или у меньше х):

х > у (или у < х), если а₀ > b_о либо а₀ = b_о, но а₁ > b₁,, либо если а₀ = b_о и а₁ = b₁, а₂>b₂ и т.д.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого противоположное (положительное) число меньше. Положительное число больше нуля и любого отрицательного числа. Нуль больше любого отрицательного числа.

Исходя из определений, любое произвольное действительное число х имеет верным только одно из соотношений: х = у, х > у, х < у.

Пример 9.

Сравнить числа -2,7 и -2, (7).

Решение.

Так как: -2,7 = -2,700 .... -2,(7) = -2,777 ...и 2,700 ... < 2,777 ..., то -2,7 > -2,(7).

Каждое действительное число, заданное бесконечной десятичной дробью можно приближенно заменить конечной десятичной дробью.

Пример 10.

Для числа 1,2(34) конечные десятичные дроби 1,2; 1,23; 1,234; 1,2343; 1,23434; ... являются приближением этого числа с недостатком. Дроби 1,3; 1,24; 1,235; 1,2344; 1,23435;... дают приближение числа 1,2(34) с избытком.

Для числа -0,1234567 . . . конечные десятичные дроби -0,1; -0,12; -0,123; -0,1234; -0,12345;... являются приближением этого числа с избытком. Дроби: -0,2; -0,13; -0,124, -0,1235; -0,12346; ... дают приближение числа -0,1234567 ... с недостатком.

Определение. Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозначается [х].

Пример 11.

[27,2] = 27,

[0,54] = 0,

[-3] = -3,

[-4,6] = -5.

Если х - целое число, то [х] = х. Если х - не целое число, то [х] < х; в этом случае число х заключено между двумя последовательными целыми числами: [х] < х < [х] + 1. Таким образом, при любом х верно неравенство [х] < х < [х] +1.

Определение. Дробной частью действительного числа х называется разность между числом х и его целой частью. Дробная часть числа х обозначается {х}. Таким образом, {х} = x- [х].

Пример 12.

{27,2} = 27,2 - [27,2] = 0,2;

{0,54} = 0,54 - [0,54] = 0,54;

{-3} = -3 - [-3] = 0;

{-4,6} = - 4,6 - [- 4,6] = - 4,6 - (-5) = 0,4.

Так как [х] ?х < [х] + 1, то 0 ?x? - [х] < 1, т.е. при любом x верно неравенство 0 ?{х} < 1. Дробная часть числа есть неотрицательное число меньшее ^ 1.

Согласно определению дробной части числа {х} = х - [х]. Отсюда х = [х] + {х}, т.е. любое число можно представить в виде суммы его целой и дробной частей.

Пример 13.

27,2 = 27+0,2;

0,54 = 0 + 0,54;

-3 =-3 + 0;

-4,6 = -5+0,4.



3. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Множество вещественных чисел можно построить различными способами. Если брать теорию Кантора, то вещественные числа это классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, а теории Вейерштрасса -- бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда мы видим представление вещественного числа в виде сечения в области рациональных чисел. Но в каждом из этих подходов, в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), которым присущи определённые свойства: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Больше того, так как установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.

В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.

Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить -- о трёх фруктах или о трёх домах, и их качество или цвет значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio -- отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх фруктов и трёх домов -- количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три фрукта и три дома -- две конкретные реализации модели абстрактного понятия «число три».

Таким же образом классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел есть лишь конкретные реализации, модели вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Так как их уже установили, определено и понятие вещественного числа.

В этом месте будет уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:

«Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках»- Давид Гильберт.^[15]

3.1 Аксиоматика вещественных чисел

Множество называется множеством вещественных чисел, а его элементы -- вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

3.1.1 Аксиомы поля

На множестве определено отображение (операция сложения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент из того же множества , называемый суммой и ( эквивалентная запись элемента множества ).

Также, на множестве определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из некоторый элемент , называемый произведением и .

При этом имеют место следующие свойства.

Коммутативность сложения. Для любых

Ассоциативность сложения. Для любых

Существование нуля. Существует элемент , называемый нулём, такой, что для любого

Существование противоположного элемента. Для любого существует элемент , называемый противоположным к , такой, что

Коммутативность умножения. Для любых

Ассоциативность умножения. Для любых

Существование единицы. Существует элемент , называемый единицей, такой, что для любого

Существование обратного элемента. Для любого существует элемент , обозначаемый также и называемый обратным к , такой, что

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Для любых

Нетривиальность поля. Единица и ноль -- различные элементы :

3.1.2 Аксиомы порядка

Между элементами определено отношение , то есть для любой упорядоченной пары элементов из установлено, выполняется соотношение или нет. При этом имеют место следующие свойства.

Рефлексивность. Для любого ,

Антисимметричность. Для любых ,

Транзитивность. Для любых ,

Линейная упорядоченность. Для любых ,

Связь сложения и порядка. Для любых ,

Связь умножения и порядка. Для любых ,

3.1.3 Аксиомы непрерывности

Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такое число , что для всех и имеет место соотношение

Вышеуказанных аксиом вполне достаточно, для того, чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел^[16].

Выражаясь языком современной алгебры аксиомы первой группы обозначают, что множество является полем. Аксиомы второй группы -- что множество является линейно упорядоченным множеством ( -- ), и кроме того, отношение порядка согласовано со структурой поля -- ., Упорядоченными полями называются множества, которые удовлетворяют аксиомам первой и второй группы. И вот, последняя группа, которая состоит из одной аксиомы, показывает, что множество вещественных чисел обладает свойством непрерывности. Свойство непрерывности также называют полнотой. Резюмируя, мы можем дать эквивалентное определение множества вещественных чисел - множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле.



3.2 Другие системы аксиом вещественных чисел

Также имеют место и иные способы аксиоматизации вещественных чисел. Например, аксиому непрерывности мы можем заменить другим эквивалентным ей условием, или группой условий. Вот например, в системе аксиом, которую предложил Гильберт, аксиомы групп и , по существу, те же, что и в приведённые выше, а вместо аксиомы используются следующие два условия:

Аксиома Архимеда. Пусть ^[17] и . В таком случае элемент можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла :

Аксиома полноты (в смысле Гильберта). Систему невозможно расширить ни до какой системы , так чтобы при сохранении прежних соотношений между элементами , для выполнялись бы все аксиомы --, .

Исходя из вышеизложенного, мы можем дать следующее эквивалентное определение - множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле.

Мы теперь видим, что если X и Y -- два непустых множества вещественных чисел такие, что любойэлемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число. Для рациональных чисел эта аксиома не выполняется.

Пример 14.

Рассмотрим положительные рациональные числа и отнесём к множеству X те числа, квадрат которых меньше 2, а прочие -- к Y. Тогда между X и Y нельзя вставить рациональное число ( не является рациональным числом).

Эта ключевая аксиома обеспечивает полноту и тем самым делает возможным построение математического анализа. Для наглядности её значения укажем на два фундаментальных следствия из неё.

Каждая неубывающая, ограниченная сверху последовательность в имеет предел. Если непрерывное отображение f(x) на концах интервала имеет значения разного знака, то уравнение f(x) = 0 внутри интервала имеет вещественное решение. Следствия аксиом - непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, такие как единственность нуля, единственность противоположного и обратного элементов.



4. СВОЙСТВА

4.1 Связь с рациональными числами

Видно, что на числовой прямой рациональные числа размещаются вперемешку с вещественными, к тому же множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, как часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, построенные, в основном, на аксиоме Архимеда.

Лемма 1. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами.

Данная лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.

Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.

Очевидным следствием этой леммы мы видим то, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами имется целое бесконечное множество рациональных. Также, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.

Лемма 3. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.

Рассмотренные леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это показывает лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.

Пример 14.

Докажите, что

а) число v7;

б) число lg 80;

в) число v2 + ³v3;

является иррациональным.

Решение

а) Допустим, что число v7 рациональное. Тогда, существуют такие взаимно простые p и q, что v7 = p/q, откуда получаем p² = 7q². Так как p и q взаимно простые, то p², а значит и p делится на 7. Тогда р = 7k, где k - некоторое натуральное число. Отсюда q² = 7k² = pk, что противоречит тому, что p и q взаимно просты.

Методом доказательства от противного мы показали, что, число v7 иррациональное.

б) Допустим, что число lg 80 рациональное. Тогда существуют такие натуральные p и q, что lg 80 = p/q, или 10^p = 80^q, откуда получаем 2^p-4q = 5^q-p. Учитывая, что числа 2 и 5 взаимно простые, получаем, что последнее равенство возможно только при p-4q = 0 и q-p = 0. Откуда p = q = 0, что невозможно, так как p и q выбраны натуральными.

Таким же образом, мы видим, что, предположение ложно, значит, число lg 80 иррациональное.

в) Обозначим данное число через х.

Тогда (х - v2)³ = 3, или х³ + 6х - 3 = v2·(3х² + 2). После возведения этого уравнения в квадрат получаем, что х должен удовлетворять уравнению

х⁶ - 6х⁴ - 6х³ + 12х² - 36х + 1 = 0.

Его рациональными корнями могут быть только числа 1 и -1. Проверка же показывает, что 1 и -1 не являются корнями.

И в данном случае, данное число v2 + ³v3 является иррациональным.

4.2 Теоретико-множественные свойства

Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных, именно у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, то есть не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Для того, чтобы наглядно показать несчётность всего множества вещественных чисел, нам достаточно показать несчётность интервала .^[18]

Допустим, что все числа указанного промежутка уже занумерованы, некоторым образом. Тогда мы их можем выписать в следующем виде:



Здесь -- -я цифра -ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, тогда и только тогда, когда в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.

Далее предлагается рассмотреть следующее число:

Пусть каждая цифра этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:

·

·

·

Это число действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Кроме этого, интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел , выписанных выше, ведь иначе -я цифра числа совпала бы с -ой цифрой числа . Мы получили противоречие, которое заключается в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер.^[18]Это подтверждает тот факт, что множество вещественных чисел не является счётным. Мощность множества вещественных чисел называется мощностью континуума.

4.3 Обобщение вещественных чисел

Поле вещественных чисел постоянно служило в математике источником обобщений, причём в различных практически важных направлениях. Непосредственно к полю примыкают следующие варианты обобщённых числовых систем. Комплексные числа. Особенно плодотворны в алгебре и анализе. Интервальные числа. Используются преимущественно в теории приближённых вычислений и в теории вероятностей. Нестандартный анализ, который добавляет к вещественным числам бесконечно малые и бесконечно большие числа (разных порядков).

Натуральные числа: .

Целые числа: .

Рациональные числа: Q = { m/n, где m - целое число, а n - натуральное}.

Можно также считать, что рациональные числа - это бесконечные периодические десятичные дроби.

Иррациональные числа - это числа, не представимые в виде обыкновенной дроби, т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби. Например: р = 3,1416…, е = 2,7182…; =1,4142…

Все эти числа называют действительными числами - R.

Пример 15. Сократить дробь .

Решение:

В соответствии с основным свойством дроби .

Ответ: .

Пример 16.

Вычислите .

Решение:

.



Ответ: 2,8.

Пример 17.

Вычислите |-9,6|+|-7,4|-2.

Решение:

На основании определения модуля

|-9,6|+|-7,4|-2 = 9,6 + 7,4 - 2 = 15.

Ответ: 15.

Пример 18.

Найти х, если .

Решение:

;

22,5: (- 0,5 ) = - 225 : 5 = - 45; 15 • х = - 45; х = - 45 : 15 = - 3.

Ответ: - 3.



ВЫВОДЫ

В истории математики всегда новые воззрения в математическом анализе не приживались гладко. Жестко критиковал учение Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно абсолютно точно назвать травлей. Но время лучший судья, и оно доказало правильность выбранного курса. Привычный нам вид математического здания во многом зависел от действий таким ученным как Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд, и создан только благодаря их упорству и труду.

Построение вещественного числа было завершающей деталью фундамента для математического анализа. Вопрос аксиоматического построения анализа был практически завершен: все, что оставалось сделать - это построить аксиоматику целых и рациональных чисел. Но и эта задача была завершена, завершил ее Ж. Пеано в 1889 году. Но, построение вещественного числа не является узкоспециальным вопросом математики, как, например, Великая теорема ферма. Благодаря работам Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда в обращение вошли актуально бесконечные объекты: вещественное число, стало фактически первым таким объектом. Строгие построения, основанные на аксиоматике, содействовали переходу математиков от «чувственного», «интуитивного» к абстрактному и строгому. Обобщенные методы построения вещественного числа стали впоследствии основой для теории множеств, функционального анализа, интеграла Лебега. Теперь, видя результат, мы с уверенностью можем сказать, что ни один человек не может стать математиком, если он не знаком с работами трех великих творцов математики XIX века.

Математическая модель вещественных чисел постоянно применяется в науке и технике для измерения непрерывно меняющихся величин. И это не главное её применение, потому что реально измеренные величины всегда имеют конечное число десятичных знаков, то есть являются рациональными числами. Главное назначение этой модели -- служить основой для аналитических методов исследования. Колоссальный успех этих методов за последние три века показал, что модель вещественных чисел во многих случаях достаточно четко отображает структуру непрерывных физических величин. Все вышеизложенное, не означает, что вещественная числовая прямая это точный образ реальной непрерывной величины. Вот, например, даже современная наука пока не установила, дискретны ли пространство и время или делимы неограниченно; но даже если это так модель вещественных чисел для этих величин должна рассматриваться как приближённая, так как понятия точки пространства и момента времени представляют собой идеализации, не имеющие реального аналога. Этот фундаментальный вопрос широко обсуждается в науке, начиная с апорий Зенона. Приближённой эта модель является и в применении к величинам, которые в классической физике рассматривались как непрерывные, но в действительности оказались дискретными (квантуемыми). Существует еще множество нерешенных задач и возможностей, для математиков.



ЛИТЕРАТУРА

1. Бернард Больцано. Парадоксы бесконечного. [11]

2. Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. -- С. 146.[2], С. 147.[4], С. 150-151.[6], С. 154.[9]

3. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. -- С. 287-289.[3]

4. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. -- Т. 1.[15] , Т. 1. -- С. 35-36.[2]

5. История математики. -- Т. I. -- С. 96-101.[5] , Т. I. -- С. 190-191, 304-305.[7], Т. II. -- С. 35.[8]

6. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х.. Глава 2. Вещественные числа Рид К. Гильберт. -- С. 79.[14]

7. Рыбников К. А. История математики. -- Т. 2. -- С. 196.[13]

8. Рыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515--532.[12]

9. Тихонов А. Н.. Под ред. //Математический анализ / -- 3-е изд., перераб. и доп. --М.: Проспект, 2006. -- Т. 1. -- С. 44 -- 45, 63 -- 64. -- 672 с. [16] Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (СПбГУ) -- вещественное число. [1]

10. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. -- М.: Просвещение, 1977. -- С. 171-178. -- 224 с.[10]

Размещено на Allbest.ru

...