Моделирование фрактальных структур в природе и обществе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Предпосылки возникновения теории фракталов

2. Классификация фракталов

2.1 Геометрические фракталы

2.2 Алгебраические фракталы

2.3 Стохастические фракталы

3. Применение теории фракталов

4. Фрактальные свойства социальных процессов

Заключение

Список литературы

1. Предпосылки возникновения теории фракталов

Геометрия, которой пользуются в повседневной жизни, восходит к Эвклиду (примерно 300 лет до нашей эры). Треугольники, квадраты, круги, параллелограммы, параллелепипеды, пирамиды, шары, призмы - типичные объекты, рассматриваемые классической геометрией. Предметы, созданные руками человека, обычно включают эти фигуры или их фрагменты. Однако в природе они встречаются не так уж часто. Действительно, ни одно дерево не похоже на перечисленные объекты или их комбинацию. Легко заметить, что в отличие от форм Эвклида природные объекты не обладают гладкостью, их края изломаны, зазубрены, поверхности шероховаты, изъедены трещинами, ходами и отверстиями. Геометрию часто называют "сухой" наукой именно из-за ее неспособности описать форму природных объектов. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности.

В 1975 доктор математики Бенуа Мандельброт предложил модель для понимания языка неживой и живой природы, назвав ее теорией фракталов. Он создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, зазубренных объектов, которые долгое время были вне рассмотрения науки, по сравнению с более усредненными, сглаженными, отполированными, спрямленными объектами. Именно эти "неправильные" объекты составляют подавляющее число объектов в природе, в отличие от их частного случая - "правильных" объектов.

Термин "фрактал" также введен Бенуа Мандельбротом в 1977 году. Он писал, что придумал слово "фрактал", взяв за основу латинское прилагательное "fractus", означающее нерегулярный, рекурсивный, фрагментный", что отражает суть фрактала, как "изломанного", нерегулярного множества. Первое определение фракталам также дал Б. Мандельброт:

Фрактал - самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.

Простейшие фракталы обладают регулярной геометрически правильной структурой. Каждый фрагмент фрактала в точности повторяет всю конструкцию фрактала в целом.

Почти все природные образования имеют фрактальную структуру. Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части и т. п., то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково. Фракталы самоподобны - их форма воспроизводится на различных масштабах

А. Линденмеер придумал в 1968 году одну такую грамматику, названную им L-системой, которая, как он полагал, моделирует также рост живых организмов, в особенности образование кустов и веток у растений.

Для построения такой модели задают алфавит - произвольный набор символов. Выделяют одно, начальное слово, называемое аксиомой, - можно считать, что оно соответствует исходному состоянию организма - зародышу. А потом описывают правила замены каждого символа алфавита определенным набором символов, то есть задают закон развития зародыша. Действуют правила так: прочитываем по порядку каждый символ аксиомы и заменяем его на слово, указанное в правиле замены.

Пример L-системы

Таким образом, прочитав аксиому один раз, мы получаем новую строку символов, к которой снова применяем ту же процедуру. Шаг за шагом возникает все более длинная строка - каждый из таких шагов можно считать одной из последовательных стадий развития "организма". Ограничив число шагов, определяют, когда развития считается законченным.

Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации).

Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений (Рис 1.1).

Рис 1.1 Пример компьютерного моделирования фрактальных деревьев

2. Классификация фракталов

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

На сегодняшний день существует много различных математических моделей фракталов (треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Пеано, множество Мандельброта и лоренцевы аттракторы). Отличительная особенность каждой из них является то, что в их основе лежит какая-либо рекурсивная функция, например: x_i=f(x_i-1). С применением ЭВМ у исследователей появилась возможность получать графические изображения фракталов. Простейшие модели не требуют больших вычислений, тогда как иные модели более требовательны к мощности компьютера.

Для того чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов: геометрические, алгебраические и стохастические.

2.1 Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Геометрические фракталы были открыты в начале ХХ века. В этот период математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М. Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую (Рис 2.1-2.2):

Рис 2.1 Снежинка Коха

Рис 2.2 Построение кривой Коха

Триадная кривая Коха обладает рядом свойств, отличающих ее от ранее известных прямых. Во-первых, эта кривая не имеет длины, т.е. с числом поколений ее длина стремится к бесконечности. Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную - каждая ее точка является точкой перегиба, в которой производная не существует, - эта кривая негладкая.

Длина и гладкость - фундаментальные свойства кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и геометрией Лобачевского. К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы. Именно с этого времени ученые начали сомневаться в универсальности традиционной геометрии.

Еще один пример простого самоподобного фрактала - ковер Серпинского (Рис 3.1-3.2), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. В способе построения мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти:

Рис 3.1 Ковер Серпинского

Рис 3.2 Построение ковра Серпинского

Ковер Серпинского может быть построен как для равностороннего треугольника, так и для квадрата. В данной курсовой работе представлено еще несколько геометрических фракталов (Рис 4.1-4.3):

Рис 4.1 Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций

Рис 4.2 Дерево после 5-ти итераций

фрактал геометрический алгебраический стохастический

.

Рис 4.3 Квадрат Госпера после 2-х итераций

2.2 Алгебраические фракталы

Геометрические фракталы являются статическими фигурами. Подобный подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных двигателей. В этих случаях один единственный фрактал соответствует моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.

Многие хаотические динамические системы, описывающие феномены окружающего нас мира, устроены очень сложно и не могут быть представлены традиционными методами математического анализа. По-видимому, нет никакой возможности получить математические выражения для решений в замкнутом виде, даже если использовать бесконечные ряды или специальные функции. В таких случаях применяются модели алгебраических фракталов.

Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что стоит за термином "хаотическая динамика". Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере. Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое. Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий - основной чертой, присущей хаотической динамике.

Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье "Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?", опубликованной в 1979 году. Графическое изображение аттрактора Лоренца, который является алгебраическим фракталом, представлено на Рис 5.1:

Рис 5.1 Аттрактор Лоренца

Алгебраические фракталы - это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций (повторения одной и той же математической процедуры), зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Сам Бенуа Мандельброт предложил модель алгебраического фрактала, которая уже стала классической. Математическое описание модели следующее: на комплексной плоскости в некоем интервале для каждой точки с вычисляется рекурсивная функция Z=Z²+c. После N повторений данной процедуры вычисления координат точек, на комплексной плоскости появляется удивительно красивая фигура, чем-то напоминающая грушу (Рис 6.1).

Рис 6.1 Множество Мандельброта

2.3 Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе хаотически менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

Кривая Коха, как бы ни была похожа на границу берега, не может выступать в качестве её модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, слишком "правильна". Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. К этому классу фракталов относится и фрактальная монотипия, или стохатипия. Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".

Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

3. Применение теории фракталов

Как стало ясно в последние десятилетия (в связи с развитием теории самоорганизации), самоподобие встречается в самых разных предметах и явлениях. Например, самоподобие можно наблюдать в ветках деревьев и кустарников, при делении оплодотворенной зиготы, снежинках, кристаллах льда, при развитии экономических систем, в строении горных систем, облаков.

Все перечисленные объекты и другие, подобные им по своей структуре являются фрактальными. То есть они обладают свойствами самоподобия, или масштабной инвариантности. А это значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба. И в природе, и в обществе на достаточно больших масштабах происходит самоповторение. Так, облако повторяет свою клочковатую структуру от 10⁴ м (10 км) до 10^-4 м (0,1 мм). Ветвистость повторяется у деревьев от 10^-2 до 10² м. Разрушающиеся материалы, порождающие трещины, также повторяют свое самоподобие на нескольких масштабах. Снежинка, упавшая на руку, тает. В период таяния, перехода от одной фазы к другой снежинка-капля также - фрактал.

Фрактал - это объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий вблизи рассмотреть не меньше деталей, чем издалека. Классический пример тому - Земля. Из космоса она выглядит как шар. Приближаясь к ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Позднее взору предстанут более мелкие детали: кусочек земли на поверхности горы, столь же сложный и неровный, как сама гора. Потом покажутся крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом

Фрактал является нелинейной структурой, сохраняющей самоподобие при бесконечном увеличении или уменьшении масштаба. Только на малых длинах нелинейность переходит в линейность. Это особенно ярко проявляется в математической процедуре дифференцирования.

Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. В математическом смысле нелинейность - это определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. То есть, когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное. И мы можем предсказать его, зная прошлое объекта (исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие.

Когда говорят о детерминированности некой системы, имеют в виду, что ее поведение характеризуется однозначной причинно-следственной связью. То есть, зная начальные условия и закон движения системы, можно точно предсказать ее будущее. Именно такое представление о движении во Вселенной характерно для классической, ньютоновской динамики. Хаос же, напротив, подразумевает беспорядочный, случайный процесс, когда ход событий нельзя ни предсказать, ни воспроизвести.

Хаос порождается собственной динамикой нелинейной системы - ее свойством экспоненциально быстро разводить сколь угодно близкие траектории. В результате форма траекторий очень сильно зависит от начальных условий. При исследовании систем, которые, на первый взгляд, развиваются хаотически, часто пользуются теорией фракталов, т.к. именно этот подход позволяет увидеть некую закономерность в возникновении "случайных" отклонений в развитии системы.

Изучение естественных фрактальных структур дает нам возможность глубже понять процессы самоорганизации и развития нелинейных систем. Мы уже выяснили, что естественные фракталы самых различных, извилистых линий встречаются повсюду вокруг нас. Это берег моря, деревья, облака, разряд молнии, структура металла, нервная или сосудистая система человека. Эти замысловатые линии и шероховатые поверхности оказались в поле зрения научных исследований, потому что природа демонстрировала нам совершенно другой уровень сложности, нежели в идеальных геометрических системах. Изучаемые структуры в пространственно-временном отношении оказались самоподобными. Они бесконечно самовоспроизводились и повторяли себя в различных масштабах длин и времени. Любой нелинейный процесс в конечном итоге приводит к развилке. Система в таком случае, в точке ветвления, выбирает тот или иной путь. Траектория развития системы будет выглядеть в виде фрактала, то есть ломаной линии, форма которой может быть описана в виде ветвистого, запутанного пути, имеющего свою логику и закономерность.

Ветвление системы можно сравнить с ветвлением дерева, где каждая ветвь соответствует трети всей системы. Ветвление позволяет линейной структуре заполнить объемное пространство или, говоря точнее: фрактальная структура согласовывает различные пространства. Фрактал может расти, заполняя окружающее пространство, так же, как растет кристалл в пересыщенном растворе. При этом характер ветвления будет связан не со случайностью, а с определенной закономерностью.

Фрактальная структура самоподобно повторяется и на других уровнях, на более высоком уровне организации жизни человека, например на уровне самоорганизации коллектива или команды. Самоорганизация сетей и форм переходит с микроуровня на макроуровень. В совокупности они представляют собой целостное единство, где по части можно судить о целом. В данной курсовой работе как пример рассматриваются фрактальные свойства социальных процессов, что говорит об универсальности теории фракталов и ее лояльности к разным областям науки.

Делается вывод, что фрактал - это способ организованного взаимодействия пространств различной размерности и природы. К вышесказанному следует добавить, что не только пространственного, но и временного. Тогда даже человеческий мозг и нейронные сети будут представлять собой фрактальную структуру.

Природа очень любит фрактальные формы. Фрактальный объект обладает расползающейся, разряженной структурой. При наблюдении таких объектов с возрастающим увеличением можно видеть, что они проявляют повторяющийся на разных уровнях рисунок. Мы уже говорили о том, что фрактальный объект может выглядеть совершенно одинаково независимо от того, наблюдаем ли мы его в метровом, миллиметровом или микронном (1:1 000 000 доли метра масштабе). Свойство симметрии фрактальных объектов проявляется в инвариантности по отношению к масштабу. Фракталы симметричны относительно центра растяжения или изменения масштаба так же, как круглые тела симметричны относительно оси вращения.

Сегодня разработки в рамках теории фракталов ведутся в любой частной науке - физике, социологии, психологии, лингвистике и т.п. Тогда и общество, и социальные институты, и язык, и даже мысль - фракталы.

Современная наука достаточно успешно адаптировала теорию фракталов для разных областей знания. Так, в экономике теория фракталов используется при техническом анализе финансовых рынков, которые существуют в развитых странах мира уже не одну сотню лет. Впервые возможность прогнозировать дальнейшее поведение цены на акции, если известно ее направление за какой-то последний период, заметил Ч. Доу. В девяностых годах XIX в, опубликовав ряд статей, Доу заметил, что цены на акции подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует продолжительное падение, потом опять рост и падение.

В середине XX века, когда весь научный мир увлекался только что появившейся теорией фракталов, другой известный американский финансист Р. Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции, которая была основана на использовании теории фракталов. Эллиот исходил из того, что геометрия фракталов имеет место быть не только в живой природе, но и в общественных процессах. К общественным процессам он относил и торговлю акциями на бирже.

Основой теории служит так называемая волновая диаграмма. Эта теория позволяет прогнозировать дальнейшее поведение тренда цены, основываясь на знании предыстории его поведения и следуя правилам развития массового психологического поведения.

Теория фракталов нашла применение и в биологии. Фрактальную природу, некоторое ее подобие, имеют многие, если не все, биологические структуры и системы растений, животных и человека: нервная система, система легких, кровеносная и лимфатическая системы и т.д. Появились данные, что развитие злокачественной опухоли так же идет по фрактальному принципу. Для фрактальных объектов так же характерна такая особенность, как проявление комплементарности. Комплементарность в биохимии - взаимное соответствие в химическом строении двух макромолекул, обеспечивающее их взаимодействие - спаривание двух нитей ДНК, соединение фермента с субстратом, антигена с антителом. Комплементарные структуры подходят друг к другу как ключ к замку. Этим свойством обладают полинуклеотидные цепи ДНК.

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во-первых, это фрактальное сжатие изображений, и во-вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. При этом для сжатия, записи информации необходимо самоподобное уменьшение фрактала, а для ее считывания соответственно - самоподобное увеличение.

Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. Но процесс сжатия занимает продолжительное время и иногда длится часами. Алгоритм фрактальной упаковки с потерей качества позволяет задать степень сжатия, аналогично формату jpeg. В основе алгоритма лежит поиск больших частей изображения подобных некоторым маленьким частям. И в выходной файл записывается только информация о подобии одной части другой. При сжатии обычно используют квадратную сетку, что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.

4. Фрактальные свойства социальных процессов

В обществе, как и в природе, многие системы построены по принципу фракталов: из малых элементов образуются некоторые комплексы, они в свою очередь служат элементами для более крупных комплексов и т. д. Так, например, организованы жизнеспособные экономические и производственные структуры. Если рассмотреть две крайние позиции: крупные транснациональные компании и "мелкий бизнес", то каждая из них в отдельности окажется нежизнеспособна. Большие компании, обладая огромной экономической мощью, малоподвижны и не могут быстро реагировать на изменения в окружающей экономической среде, а "малый бизнес" не способен решать крупные задачи, обеспечивать развитие инфраструктуры. Напрашивается вывод, что равновесие обеспечивают средние по размеру предприятия. Но это не совсем так. Устойчивая экономическая инфраструктура обеспечивается совокупностью разномасштабных экономических объектов, образующих пирамиду. У основания ее находится множество мелких компаний и фирм, выше по пирамиде размер предприятий постепенно увеличивается, а их число, соответственно, сокращается, и, наконец, наверху находятся самые крупные компании. Подобная организация очень напоминает по структуре классический фрактал. При этом мелкие предприятия наиболее мобильны: они часто рождаются и умирают, являясь основными поставщиками новых идей и технологий. Нововведения, получившие достаточное развитие, позволяют ряду предприятий вырасти до следующего уровня либо передать (продать) накопленные инновации более крупным компаниям. При достаточной восприимчивости среды такой механизм способен создать новые отрасли промышленности и экономики за несколько лет.

В социальной области также существуют фракталы. Здесь под фракталом мы имеем ввиду структуру определенного рода, которая повторяет сама себя. Так, любое общество состоит из семей, которые можно рассматривать обобщенно - как союз активного и пассивного начала, брак между индивидами, системами, существами, рождающий подобные же существа. На минимально социальном уровне это обычная семья, состоящая из мужчины и женщины. Следующим уровнем семьи является племя или шире - народ. В нем можно выделить активные и пассивные социальные слои, взаимодействующие друг с другом и "рождающие" такие же социальные группы, т.е. воспроизводящие сами себя. Наиболее крупной семьей является человечество. В нем можно выделить большие культурные центры, например, Восток и Запад.

Заключение

Применение теории фракталов позволяет намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования, описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.

Сегодня исследование математических аспектов фрактальной теории, а также методов описания природных процессов и явлений с использованием идей теории фракталов - новая самостоятельная область науки. Уже сейчас она столь широка, что намечается разделение ее на несколько более узких областей. Теория фракталов стала междисциплинарной. Интерес к исследованию процессов, обуславливающих фрактальную геометрию природы, привел к рождению новых научных направлений в физике, биологии, материаловедении и т.д. Такое объединение различных научных направлений на основе единого структурного подхода не случайно, а является следствием универсальных свойств фрактальных структур.

В данной курсовой работе был приведён ряд примеров, показывающих, что многие явления в неживой и живой природе обладают свойством повторения в пространстве и во времени. Без масштабной сетки довольно трудно определить размеры фьорда в береговой линии Норвегии, кровеносную или нервную систему человека, а так же его многочисленные временные ритмы. Все они имеют весьма схожий вид при увеличении или уменьшении в определенное число раз. Вполне вероятно, что весь мир действительно построен на самоподобных структурах.

В свое время французский математик и астроном Пьер Симон Лаплас сказал: "Дайте мне начальные условия, и я вычислю будущее вселенной". Научная картина мира того времени представляла все процессы, происходящие в окружающем мире однозначно и четко детерминированными прошлым. Причинно-следственные связи виделись ученым того времени "законами неба". Подобный подход считался классическим вплоть до середины прошлого века. Возникновение теории фракталов позволило понять, насколько значимыми могут малейшие отклонения от начальных условий, и как сложно однозначно ответить на вопрос о будущем природных и социальных систем. Фракталы как модели структурируют и организуют хаос, не поддававшийся до этого никакому научному описанию и, тем более, прогнозированию.

В природе существует множество различных масштабов природных объектов. Красота фракталов сочетает в себе красоту симметричных объектов с красотой "живых" природных объектов, привлекательных именно своей неправильностью, асимметричностью. Именно фрактальная геометрия природы, по Мандельброту, самая настоящая геометрия, которая отвечает реальному миру. Именно она, в отличие от Евклидовой, описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений.

Список литературы

1. Богатых Б.А. "Принципы фрактальной геометрии и проблемы эволюционного процесса" // "Системный подход к современной науке: к 100-летию Людвига фон Берталанфи". - М.: Процесс-традиция, 2004. С. 509-520

2. Данилов Ю.А. "Прекрасный мир науки [сборник]" // Ю.А. Данилов; - М.: Прогресс-Традиция, 2008. С. 180-224

3. Мандельброт Бенуа "Фрактальная геометрия природы" // Бенуа Мандельброт; пер. с англ. А.Р. Логунова; науч. ред. А.Д. Морозова. - М.: Институт компьют. исслед., 2002.

4. Белокопытов Ю.Н. "Фрактально-синергетический образ нелинейного мира" // "Мир психологии: научно-методический журнал" // Рос. Академия образования, Московский психол. - соц. Институт. - М.; Воронеж 2003 г. №4

5. http://www.textreferat.com

6. http://multifractal.narod.ru

Размещено на Allbest.ru