Дослідження математичних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Загальні відомості про функцію

Відображення, яка кожному елементу з множини Х відносить один елемент з множини Y називається функцією (відображенням), визначеною на множині Х із значеннями в множині Y і позначається .

· Монотонні функції

За певними ознаками функції поділяються на певні класи, так збереження відношення між певними функціями є характерною ознакою для виділення класів монотонних функцій, серед яких виділяють: зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні, а також сталі функції.

Функція називається зростаючою на множині Х, що належить одному проміжку області визначення D(f), якщо для довільних є Х і є Х таких, що <, справджується нерівність .

Функція називається спадною на множині Х, що належить одному проміжку області визначення D(f), якщо для довільних є Х і є Х таких, що <, справджується нерівність .

Функція називається неспадною на множині Х, що належить одному проміжку області визначення D(f), якщо для довільних є Х і є Х таких, що <, справджується нерівність.

Функція називається незростаючою на множині Х, що належить одному проміжку області визначення D(f), якщо для довільних є Х і є Х таких, що <, справджується нерівність .

Функція називається сталою на множині Х, що належить одному проміжку області визначення D(f), якщо для довільних є Х і є Х справджується нерівність .

Приклад 1. Дослідити на монотонність функцію:

а) ;

б) , .

Розв'язання

а) Функція зростає на всій області визначення. Дійсно,

. Нехай , тоді , отже .

б) Функція , спадає. Дійсно, нехай . Маємо

, отже, .

2. Властивості функцій та арифметичні операції над монотонними функціями

арифметичний функція теорема монотонний

Теорема 1

Якщо функції та визначенні і монотонно зростають на множині Х, то їх сума є зростаюча функція.

Доведення

Нехай функції та визначенні і монотонно зростають на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівності: та

Додавши ці дві нерівності отримаємо:

Отже, за означення є зростаючою, що й потрібно було довести.

Приклад 1

Розглянемо 2 зростаючі функції та то сума також є зростаючою.

Рисунок 1

Теорема 2

Якщо функції та визначенні і монотонно спадають на множині Х, то їх сума є спадна функція.

Доведення

Нехай функції та визначенні і монотонно спадають на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівності: та

Додавши ці дві нерівності отримаємо:

Отже, за означення є спадаючою, що й потрібно було довести.

Приклад 2

Розглянемо 2 спадаючі функції та то сума також буде спадною.



Рисунок 2

Теорема 3

Якщо функції визначена і монотонно зростає, а визначена і монотонно спадає на множині Х то сума буде функцією зростаючою.

Доведення

Нехай функції та визначенні і монотонно зростають на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівності: та

Помножимо другу нерівність на -1 і додамо їх. У результаті отримаємо:

Отже, за означенням ми отримуємо, що це зростаюча функція, що і треба було довести.

Приклад 3

Візьмемо 2 функції та . Як бачимо сумою даних функцій буде функція зростаюча.



Рисунок 3

Зауваження

Якщо функції та зростають(спадають) на множині Х, то функція не завжди буде зростаючою(спадною) на множині Х.

Візьмемо для прикладу 2 функції та . Тоді за теоремою їхня сума має бути зростаючою функцією, але ми отримали спадну функцію

Рисунок 4



Теорема 4

Якщо функція визначена і монотонно зростаюча на множині Х, то тоді функція буде спадною на цій множині.

Доведення

Нехай функції визначена і монотонно зростає на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівність:

Отже, за означенням це спадна функція, що й потрібно було довести.

Приклад 5

Візьмемо функцію тоді отримаємо функцію :

Рисунок 5

Теорема 5

Якщо функція визначена і монотонно спадна на множині Х, то тоді функція буде зростаючою на цій множині.

Доведення

Нехай функції визначена і монотонно зростає на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівність:

Отже, за означенням це зростаюча функція, що й потрібно було довести.

Приклад 6

Візьмемо для прикладу функцію , тоді ми отримаємо функцію , яка буде зростаючою.

Рисунок 6

Теорема 6

Якщо функції та невід'ємні на множині Х та зростають на ній, то функція також зростає на цій множині.

Доведення

Нехай функції та зростають на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівності: та .

Перемножимо обидві нерівності між собою і отримаємо:

Отже, за означенням це зростаюча функція, що й потрібно було довести.

Приклад 7

Візьмемо дві зростаючі функції та , тоді їх добуток також є зростаючою функцією.

Рисунок 7

Теорема 8

Якщо функції та невід'ємні на множині Х та спадають на ній, то функція також спадає на цій множині.

Доведення

Нехай функції та визначенні і монотонно спадають на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівності: та

Перемножимо обидві нерівності між собою і отримаємо:

Отже, за означенням це спадна функція, що й потрібно було довести.

Приклад 9

Приклад функції та . Тоді добуток цих 2 функцій буде функція спадна: .

Рисунок 8

Теорема 9

Якщо невід'ємні функції зростає на множині , а спадає на цій множині, тоді добутком цих 2 функцій буде функція або зростаюча або спадна.

Доведення

Нехай функції та спадають на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівності: та

Помножимо другу нерівність на -1 та перемножимо обидві нерівності між собою і отримаємо:

Отже, за означенням це зростаюча функція, що й потрібно було довести.

Приклад 10

Приклад функції та Тоді добуток цих 2 функцій буде функція зростаюча:

Рисунок 9

Теорема 10

Якщо функція визначена і монотонно зростає на множині Х, тоді функція буде спадною.

Нехай функції монотонно зростає на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівність:

Давайте оцінимо .

Тоді будемо мати:

Накладемо додаткові умови, що , звідси слідує що , а отже, .

Тобто дана функція є спадною що потрібно було довести.

Теорема 11

Якщо функція визначена і монотонно спадає на множині Х, тоді функція буде зростаючою.

Доведення

Нехай функції монотонно спадає на множині Х, тоді для будь-яких Х таких, що виконуються нерівність:

Давайте оцінимо .

Тоді будемо мати:

Накладемо додаткові умови, що , звідси слідує що , а отже, .

Тобто дана функція є зростаючою, що потрібно було довести.



3. Парні і непарні функції

Функція називається парною, якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність .

Функція називається непарною, якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність .

Якщо то функція не є ні парною, ні непарною, або кажуть, що це функція загального виду.

Графіки парної та непарної функцій мають такі властивості:

· якщо функція є парною, то її графік симетричний відносно осі ординат;

· якщо функція є непарною, то її графік симетричний відносно початку координат.

Приклад 1. Функція - парна.

Рисунок 10



Приклад 2. Функція - непарна.

Рисунок 11

Приклад 3. З'ясувати, чи дана функція парна, непарна, загального виду: а) ; б) ; в) .

Розв'язання

а) , тобто функція - непарна.

б)

- парна функція.

в)

- непарна функція.



4. Властивості парних і непарних функцій та арифметичні операції над ними

1. Якщо функція - парна, то функція - теж парна.

Доведення:

За умовою:

.

Знайдемо :

.

Отже, функція - парна, що і треба було довести.

Приклад. Функція - парна і функція - парна.

Рисунок 12

2. Якщо функція - непарна, то функція - теж непарна.

Доведення:

За умовою:

.

Знайдемо :

.

Отже, функція - непарна, що і треба було довести.

Приклад. Функція - непарна і функція - непарна.

Рисунок 13

3. Якщо функція - парна, то функція - теж парна.

Доведення:

За умовою:

.

Знайдемо :

.

Отже, функція - парна, що і треба було довести.

4. Якщо функція - непарна, то функція - теж непарна.

Доведення:

За умовою:

.

Знайдемо :

.

Отже, функція - непарна, що і треба було довест

Приклад. Функція - непарна і функція - непарна.

Рисунок 14

5. Якщо функції і - парні, то функція - теж парна.

Доведення:

За умовою:

Знайдемо :

.

Отже, функція - парна, що і треба було довести.

Приклад. Функції - парні і функція - парна.

6. Якщо функції і - непарні, то функція - теж непарна.

Доведення:

За умовою:

Знайдемо :

.

Отже, функція - непарна, що і треба було довести.

Приклад. Функції - непарні і функція - непарна.

7. Якщо функція - парна, а функція - непарна, то функція - ні парна, ні непарна.

Доведення:

За умовою:

Знайдемо :

.

Отже, функція - ні парна, ні непарна, що і треба було довести.

Приклад. Функція - парна, - непарна, а функція - ні парна, ні непарна.

8. Якщо функції і - парні, то функція - теж парна.

Доведення:

За умовою: , тобто

Згідно з Властивістю 1, якщо функція - парна, то функція - теж парна, а сума двох парних функцій, відповідно до Властивості 5, теж парна функція, що і треба було довести.

9. Якщо функції і - непарні, то функція - теж непарна.

Доведення:

За умовою: , тобто

Згідно з Властивістю.2, якщо функція - непарна, то функція - теж непарна, а сума двох непарних функцій, відповідно до Властивості.6, теж непарна функція, що і треба було довести.

10. Якщо функція - парна, а - непарна, то функція - ні парна, ні непарна.

Доведення:

За умовою: , тобто

Згідно з Властивістю 2, якщо функція - непарна, то функція - теж непарна, а сума парної та непарної функцій, відповідно до Властивості 7, ні парна, ні непарна функція, що і треба було довести.

11. Якщо функція - непарна, а - парна, то функція - ні парна, ні непарна.

Доведення:

За умовою: , тобто

Згідно з Властивістю 2.1, якщо функція - парна, то функція - теж парна, а сума парної та непарної функцій, відповідно до Властивості 2.7, ні парна, ні непарна функція, що і треба було довести.

12. Якщо функції і - парні то функція - теж парна.

Доведення:

За умовою:

Знайдемо :

.

Отже, функція - парна, що і треба було довести.

Приклад. Функції - парні і функція - теж парна.



Рисунок 15

13. Якщо функції і - непарні то функція - парна.

Доведення:

За умовою:

Знайдемо :

.

Отже, функція - парна, що і треба було довести.

Приклад. Функції - непарні, а функція

- парна.

14. Якщо функція - парна, а функція - непарна, то функція - непарна.

Доведення:

За умовою:

Знайдемо :

.

Отже, функція - непарна, що і треба було довести.

Приклад. Функція - парна, - непарна, і функція - непарна.

15. Якщо функції і - парні, то функція - теж парна.

Доведення:

За умовою: , тобто .

Згідно з Властивістю 2.3, якщо функція - парна, то функція - теж парна, а добуток двох парних функцій, відповідно до Властивості 2.12, теж парна функція, що і треба було довести.

Приклад. Функції - парні і функція - теж парна.

Рисунок 16



Властивість 2.16. Якщо функції і - непарні, то функція - парна.

Доведення:

За умовою: , тобто .

Згідно з Властивістю 4, якщо функція - непарна, то функція - теж непарна, а добуток двох непарних функцій, відповідно до Властивості 13, функція парна, що і треба було довести.

17. Якщо функція - парна, а - непарна, то функція -непарна.

Доведення:

За умовою: , тобто

Згідно з Властивістю 4, якщо функція - непарна, то функція - теж непарна, а добуток парної та непарної функцій, відповідно до Властивості 14, непарна функція, що і треба було довести.

Приклад. Функції - парна, - непарна і функція - непарна.

18. Якщо функція - непарна, а - парна, то функція - непарна.

Доведення:

За умовою: , тобто

Згідно з Властивістю 3, якщо функція - парна, то функція - теж парна, а добуток парної та непарної функцій, відповідно до Властивості 14, непарна функція, що і треба було довести.

Приклад. Функції - непарна, - парна і функція - непарна.

19. Якщо функції і - парні то функція - теж парна.

Доведення:

За умовою:

Знайдемо :

.

Отже, функція - парна, що і треба було довести.

Приклад. Функції - парні і функція - парна.

Рисунок 17

20. Якщо функції і - непарні то функція - теж непарна.

Доведення:

За умовою:

Знайдемо :

.

Отже, функція - непарна, що і треба було довести.



Список використаної літератури

1. Патрусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: проф. уровень. М.: Просвещение, 2009.

2. Томусяк А.А., Трохименко В.С., Шунда Н.М. Математичний аналіз, вступ до аналізу. Навчальний посібник. Вінниця-2001.

3. Шунда Н.В. Застосування похідної до розв'язування задач: Посібник. К.: Техніка. 1999

4. Ковтонюк М.М. Лекції з математичного аналізу для студентів першого курсу математичних спеціальностей педагогічних ВНЗ - Вінниця: ВДПУ, 2008. - 299с.

5. Томусяк А.А., В.С. Трохименко, Н.М. Шунда. Математичний аналіз. Вступ до аналiзу. - 2001, 327 с.

Размещено на Allbest.ru

...