Случайные величины и законы распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Написать закон распределения дискретной случайной величины X --числа появлений герба при 4_х бросаниях монеты. Построить многоугольник распределения, вычислить математическое ожидание M(X) и среднее квадратическое отклонение у(X) этого закона и отобразить их на многоугольнике распределения.

Таблица. Решение. Закон распределения:

Кол. вып. Герба X	0	1	2	3	4
Вероятность Р

Многоугольник распределения.

Рис. 1



Плотность вероятностей случайной величины X равна

Найти коэффициент a, интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(X), среднее квадратическое отклонение у(X) и вероятность P(0<X<р/6). Построить графики плотности и функции распределения и на показать них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение у (X).

Решение.

Находим параметр a из условия:



Графики.

Плотность.

Рис. 2

Функция распределения

Рис. 3



Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a = 145 мм. Фактическая длина изготовленных изделий 144,5<X<145,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 144,9 мм. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,94? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?

Решение.

a = 145 мм. у = (((145,5-145)+(145-144,5))/2)/5 = 0,1 мм.

Отклонение длины детали с вероятностью 0,94:

Пределы отклонения длины детали с вероятностью 0,9973:



На основе данных о результатах тестирования 50_ти студентов по дисциплине “Психология”(по двадцатибальной системе) сформировать

Таблица 2

No	Балл	No	Балл	No	Балл	No	Балл	No	Балл
1	8,2	11	10,1	21	11,3	31	12,7	41	14,4
2	8,4	12	10,2	22	11,4	32	12,8	42	14,5
3	8,6	13	10,3	23	11,5	33	13,0	43	14,7
4	8,7	14	10,4	24	11,6	34	13,2	44	14,9
5	8,8	15	10,5	25	11,7	35	13,6	45	15,2
6	8,9	16	10,6	26	11,9	36	13,7	46	15,3
7	9,0	17	10,7	27	12,0	37	13,9	47	15,4
8	9,2	18	11,0	28	12,2	38	14,0	48	15,6
9	9,6	19	11,1	29	12,3	39	14,1	49	15,8
10	9,8	20	11,2	30	12,5	40	14,3	50	16,0

таблицу значений относительных частот для равноотстоящих вариант, таблицу значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения, разбив рассматриваемый отрезок значений исследуемого параметра на 6 равноотстоящих частичных интервалов. Решение.

Минимальное значение = 8,2.

Максимальное значение = 16.

Шаг = (16-8,2)/6 = 1,3.

Таблица 3. Группировка

Номер группы	Левая граница	Правая граница	Середина интервала	Частота	Частость	Накопленная частость
1	8,2	9,5	8,85	8	0,16	0,16
2	9,5	10,8	10,15	9	0,18	0,34
3	10,8	12,1	11,45	10	0,2	0,54
4	12,1	13,4	12,75	7	0,14	0,68
5	13,4	14,7	14,05	8	0,16	0,84
6	14,7	16	15,35	8	0,16	1



Таблица 4. Таблица значений эмпирической плотности относительных частот и эмпирической функции распределения.

X	Плотность распределения f(X)	Функция распределения F(X)
?9,5	0,16	0,16
9,5<X?10,8	0,18	0,34
10,8<X?12,1	0,2	0,54
12,1<X?13,4	0,14	0,68
13,4<X?14,7	0,16	0,84
14,7<X?16	0,16	1

Построить полигон и гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения

Полигон частостей.

Рис. 4. Гистограмма частостей



Рис. 5

Рис. 6. Функция распределения

Вычислить выборочную среднюю выборки, её дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса, отобразив выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение на полигоне и гистограмме относительных частот.

дискретный величина эмпирический выборка



Таблица. 5. Расчетная таблица, решение

Группы	Сер. Инт., xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x - xср|*f	(x - xср)2*f	Частота, fi/n
8,2 - 9,5	8,85	8	70,8	8	25,38	80,49	0,16
9,5 - 10,8	10,15	9	91,35	17	16,85	31,54	0,18
10,8 - 12,1	11,45	10	114,5	27	5,72	3,27	0,2
12,1 - 13,4	12,75	7	89,25	34	5,1	3,71	0,14
13,4 - 14,7	14,05	8	112,4	42	16,22	32,9	0,16
14,7 - 16	15,35	8	122,8	50	26,62	88,6	0,16
Итого		50	601,1		95,89	240,52	1

Средняя взвешенная

Дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение.

Степень асимметрии.

As = M3/s3

где M3 - центральный момент третьего порядка.

s - среднеквадратическое отклонение.



M3 = 48,07/50 = 0,96

Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии

Эксцес:

Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M4/s4 = 3.

M4 = 2040,12/50 = 40,8

Ex < 0 - плосковершинное распределение

Полигон.



Рис. 7. Гистограмма

Рис. 8

Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, записать соответствующую формулу для плотности вероятностей f(x) и рассчитать теоретические относительные частоты. Построить график плотности распределения на гистограмме относительных частот, а теоретические относительные частоты показать на полигоне относительных частот. Функция плотности нормального распределения имеет вид:



Точечная оценка математического ожидания = 12,02.

Точечная оценка СКО = 2,19.

Таблица .6. Теоретические частоты:

Интервалы группировки	Теоретические частости
8,2 - 9,5	0,0853
9,5 - 10,8	0,16
10,8 - 12,1	0,23
12,1 - 13,4	0,22
13,4 - 14,7	0,15
14,7 - 16	0,0772

Рис. 9. Гистограмма



Рис. 10

Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения, приняв доверительную вероятность 0,95 и 0,99.

0,95.

Доверительный интервал для математического ожидвания.

Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = г

Ф(tkp) = г/2 = 0,95/2 = 0,475

По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0,475

tkp(г) = (0,475) = 1,96



(12,02 - 0,607;12,02 + 0,607) = (11,39;12,61)

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что МО не выйдет за пределы найденного интервала.

Доверительный интервал для СКО.

S(1-q) < у < S(1+q)

Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью г = 0,95 и n = 50.

По таблице q=q(г ; n) определяем параметр q(0,95;50) = 0,21.

2,19(1-0,21) < у < 2,19(1+0,21).

1,73 < у < 2,65.

Таким образом, интервал (1,73;2,65) покрывает параметр у с надежностью г = 0,95.

0,99.

Доверительный интервал для генерального среднего.

Поскольку n>30, то определяем значение tkp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(tkp) = г



Ф(tkp) = г/2 = 0,99/2 = 0,495.

По таблице функции Лапласа найдем, при каком tkp значение Ф(tkp) = 0,495.

tkp(г) = (0,495) = 2,58.

(12,02 - 0,799;12,02 + 0,799) = (11,2;12,8).

С вероятностью 0,99 можно утверждать, что МО не выйдет за пределы найденного интервала. Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения.

S(1-q) < у < S(1+q)

Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью г = 0,99 и объему выборки n = 50 По таблице q=q(г ; n) определяем параметр q(0,99;50) = 0,3.

2,19(1-0,3) < у < 2,19(1+0,3).

1,533 < у < 2,847.

Таким образом, интервал (1,533;2,847) покрывает параметр у с надежностью г = 0,99. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки, используя критерий Пирсона при уровнях значимости 0,01; 0,05.

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.



где pi -- вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Таблица 7

Интервалы группировки	Наблюдаемая частота ni	Теоретические частости	Ожидаемая частота, 50pi	Слагаемые статистики Пирсона, Ki
8,2 - 9,5	8	0,0853	4,27	3,27
9,5 - 10,8	9	0,16	8,03	0,12
10,8 - 12,1	10	0,23	11,42	0,18
12,1 - 13,4	7	0,22	10,99	1,45
13,4 - 14,7	8	0,15	7,56	0,0256
14,7 - 16	8	0,0772	3,86	4,44
	50			9,47

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+?).

Её границу Kkp = ч2(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке).

Доверительная вероятность 0,95.

Kkp = ч2(6-2-1;0,05) = 7,81473; Kнабл = 9,47.

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону.

Доверительная вероятность 0,99.

Kkp = ч2(6-2-1;0,01) = 11,34487; Kнабл = 9,47.

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

Найти выборочное уравнение линейной регрессии признака Y на признаке X и коэффициент их корреляции по экспериментальным данным из таблицы

Таблица 8

nij	X
	50	55	60	65	70
Y	30				5	5
	40	4	6
	50		15	40
	60			10	5
	70				5
	80				3	2

Решение.

Уравнение линейной регрессии величины на величину имеет вид:

где , - соответствующие выборочные средние,

- выборочное среднее квадратическое отклонение случайной величины ;

- выборочное среднее квадратическое отклонение случайной величины ;

- выборочный коэффициент корреляции случайных величин и , показывающий силу линейной корреляционной связи.

Вычислим выборочные величины , , и , составив для удобства расчётные таблицы:

Таблица 9

;

;

;

;

выборочная дисперсия случайной величины :



;

выборочная дисперсия случайной величины :

;

;

.

Вычислим сумму ,

где - частоты появления пар .

Выборочный коэффициент корреляции:

Подставляем вычисленные значения в уравнение:

Размещено на Allbest.ru

...