Анализ содержания темы "Многогранники" в школьных учебниках геометрии
Многогранник как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая определенное геометрическое тело. Диагональ - отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. Определение основания правильной усечённой пирамиды.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.03.2016 |
| Размер файла | 7,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
В средней школе по геометрии ученики изучают планиметрию, то есть свойства геометрических фигур на плоскости. Но, придя в старшую школу, они должны быть готовы видеть фигуры в их пространственном изображении, так как с десятого класса у учащихся школы начинается изучение нового раздела геометрии, который называется «Стереометрия».
В этом разделе изучаются свойства фигур в пространстве, где основными фигурами являются точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами также рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах нам дают все окружающие нас предметы, которые составлены из многоугольников. Такие тела называются многогранниками.
Содержание темы «Правильные и полуправильные многогранники» на базовом уровне.
На базовом уровне я буду рассматривать определения из учебника Л.С. Атанасяна. геометрический многогранник диагональ
Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями (при этом предполагается, что ни какие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости). Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер - вершинами многогранника.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр - выпуклые многогранники.
Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Можно доказать, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600.
Затем в учебнике Л.С. Атанасяна рассматривают понятия граничной и внутренней точек. Также здесь рассматриваются понятия ограниченности и связности, и на основе этих определений вводится новое определение уже известного ранее понятия.
Геометрическим телом называют ограниченную связную фигуру в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причём сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу тела называют, также, его поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело.
Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью. Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью, называется сечением тела.
Затем в учебнике вводятся понятия призмы, пирамиды, правильной пирамиды и правильного многогранника. Там же даны несколько теорем о площадях многогранников. Я хочу отобразить их в своей курсовой работе.
Определение. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.
Теорема 1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Определение. Многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников, называется пирамидой.
Определение. Пирамида называется правильной, если её основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
Также в учебнике доказывается, что все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.
Теорема 2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Затем рассматривается правильная усечённая пирамида, которая, в свою очередь является полуправильным многогранником.
Определение. Возьмём произвольную пирамиду PA1A2...An(рис. 5.)И проведём секущую плоскость b, параллельную плоскости основания a пирамиды и пересекающую боковые рёбра в точках В1, В2, …, Вn. Плоскость b разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются A1A2...An и В1, В2, …, Вn, расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников A1A2В2В1, А2А3В3В2, …, АnА1В1Вn называется усечённой пирамидой. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды - трапеции.
Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды - правильные многоугольники, а боковые грани - равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.
Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Различные виды правильных и полуправильных многогранников, их основные свойства. Многогранные поверхности, многогранники, топологические, простейшие и правильные многогранники. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника. Пирамиды и призмы.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 21.08.2013Правильная пирамида. Сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания. Ось правильной пирамиды. Апофема пирамиды. Усеченная пирамида. Боковые грани правильной усеченной пирамиды. Боковое ребро пирамиды.
доклад [7,8 K], добавлен 27.10.2006Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. Поверхность пирамиды, основание и боковые грани. Определение высоты пирамиды. Произвольные, усеченные и правильные пирамиды. Нахождение боковой поверхности правильной пирамиды и ее объема.
презентация [726,6 K], добавлен 08.06.2011Понятие и свойства многогранников. Геометрическое моделирование как неотъемлемая часть современного математического образования. Применение изображений пространственных фигур в преподавании геометрии, роль наглядных средств при изучении многогранников.
дипломная работа [4,7 M], добавлен 28.10.2012Понятие многогранной поверхности, виды многоугольников. Грани, стороны и вершины многогранников. Свойства пирамиды, призмы и параллелепипеда. Объем многогранника, его измерение с помощью выбранной единицы измерения объемов. Основные свойства объемов.
реферат [73,5 K], добавлен 08.05.2011Основные элементы пирамиды. Понятие правильной пирамиды. Нахождение площади основания, высоты пирамиды и высоты боковой грани, вписанной и описанной окружностей и точки пересечения диагоналей. Треугольная, четырехугольная и шестиугольная пирамиды.
презентация [561,8 K], добавлен 19.09.2011Определение правильного многогранника, его сторон, вершин, отрезков, соединяющих вершины. Анализ особенностей, геометрических свойств и видов правильных многогранников. Правильные многогранники, которые встречаются в живой природе и архитектуре.
презентация [1,2 M], добавлен 13.11.2015Многогранник как пространственное тело с плоскими гранями и прямолинейными ребрами, устроенное так, чтобы всякое ребро соединяло две вершины и служило общей стороной двух граней. Создание модели призмы, призмоида и пирамиды. Обоснование теоремы Элера.
презентация [2,9 M], добавлен 28.11.2011Определение многогранника, его сторон и вершин, отрезков, соединяющих вершины. Описание основания, боковых граней и высоты призмы. Правильная и усеченная пирамида. Теорема Эйлера. Анализ особенностей и геометрических свойств правильных многогранников.
презентация [6,5 M], добавлен 27.10.2013Понятие и определение пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. Площадь боковой поверхности, основания и полной поверхности пирамиды. Свойства произвольных, усеченных и правильных пирамид. Определение высоты боковой грани.
презентация [726,8 K], добавлен 05.04.2012Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. История развития пирамиды; виды, элементы, углы, развёртка, свойства; теоремы, связывающие ее с другими геометрическими телами; формулы.
презентация [280,4 K], добавлен 28.03.2012Понятие пирамиды, ее математическое обоснование, отражение в науке и искусстве. Принцип Кавальери. Сечение пирамиды как многоугольника, который образуется при пересечении пирамиды с секущей плоскостью. Правильная пирамида и ее основополагающие свойства.
презентация [1,5 M], добавлен 18.04.2014Выпуклые многогранники и их "ежи". Понятие опорной плоскости и ее свойства. Пересечение конечного числа полупространств. Множество векторов в пространстве. Многогранники с центрально-симметричными гранями и центрально-симметричные многогранники.
презентация [1,4 M], добавлен 22.04.2013Разнообразие мира кристаллов - мира природных многогранников. Правильные многогранники (поваренная соль и сернистый колчедан) и просто многогранники (кварц, гранат, алмаз, исландский шпат). Вид простейшего Circogonia icosahedra - форма икосаэдр.
презентация [2,3 M], добавлен 21.03.2009Особенности видов тетраэдров и теоремы о них, их доказательства и примеры решения задач. Сравнительная характеристика изложения темы "тетраэдр" в школьных учебниках. Тестирование уровня развития пространственного мышления у учеников средней школы.
дипломная работа [910,4 K], добавлен 19.06.2011Понятие многогранника и его элементы с точки зрения топологии. Определение площади и боковой поверхности призмы, параллелепипеда, пирамиды. Понятие правильных, полуправильных, звездчатых многогранников. Многогранники в разных областях культуры и науки.
курсовая работа [4,6 M], добавлен 02.04.2012По заданным координатам пирамиды, ее основанию и высоте нахождение длины ребер и угла между ними, площадь основания и объем пирамиды, проекцию вершины на плоскость, длину высоты. Расчет угла наклона ребра к основанию пирамиды. Построение чертежа.
контрольная работа [66,3 K], добавлен 29.05.2012Изучение однородных выпуклых и однородных невыпуклых многогранников. Определение правильных многогранников. Двойственность куба и октаэдра. Теорема Эйлера. Тела Архимеда. Получение тел Кеплера-Пуансо. Многогранники в геологии, ювелирном деле, архитектуре.
презентация [4,9 M], добавлен 27.10.2013Концепция и основные аспекты профильного обучения на старшей ступени общего образования. Содержание, структура, пояснительная записка и учебно-тематический план элективного курса "Многогранники", в том числе теоретический материал, вопросы и задачи.
дипломная работа [485,6 K], добавлен 08.12.2009Построение разверток поверхностей. Параллелепипед и его развертка. Чертеж развертки поверхности правильной пирамиды, прямого кругового конуса, прямого кругового цилиндра, правильной призмы, прямого эллиптического цилиндра. Способ нормального сечения.
контрольная работа [1,8 M], добавлен 11.11.2014
