Метод координат в аналитической геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

19

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Метод координат в аналитической геометрии

Введение

Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором изучают свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей и тел) средствами алгебры и математического анализа при помощи метода координат.

Сущность данного метода заключается в том, что геометрическим объектам сопоставляются уравнения или их системы, так что геометрические свойства фигур выражаются в свойствах их уравнений. Благодаря этому аналитическая геометрия объединила геометрию с алгеброй и математическим анализом, что плодотворно сказалось на развитии этих трех разделов математики.

1. Основные понятия. Метод координат

геометрия математика координата алгебра

В элементарной (школьной) геометрии изучаются свойства прямолинейных фигур и окружности (в разделе планиметрия), а также прямые и плоскости в пространстве, многогранники и круглые тела-цилиндр, конус, шар (в разделе стереометрия). Основную роль при этом играют построения, а вычислениям отводится роль вспомогательная. Выбор того или иного построения для каждого конкретного случая требует обычно индивидуального подхода и соответствующей изобретательности, что и составляет основную трудность при решении задач методами элементарной геометрии.

Аналитическая геометрия и была призвана устранить эти трудности и создать единый метод решения различных геометрических задач. Поставленная цель была достигнута разработкой координатного метода, в котором основную роль играют вычисления, выполняемые по заданным формулам, а построения имеют вспомогательное значение.

Необходимые предпосылки для создания метода координат были подготовлены еще трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония Пергского (ок. 260-170 до н.э.). Однако систематическое развитие этот метод получил в первой половине XVII века в работах Рене Декарта и Пьера Ферма.

Рене Декарт (Rene Descartes, 1596-1650) - знаменитый французский философ, математик, физик и физиолог. Родился в г. Лаз (департамент Турень) в дворянской семье. В 1629 г. поселился в Голландии, где написал большую часть своих работ. Умер в Стокгольме, куда переехал в 1649 г.

В физике Декарт установил закон преломления света на границе двух сред (который несколько раньше и независимо от него был сформулирован В. Сиеллиусом), пояснил образование радуги. Ему же принадлежит формулировка закона сохранения количества движения (в скалярной форме) и разработка механистической гипотезы образования тел Солнечной системы. В области физиологии Декарту принадлежит большое число экспериментов и ряд плодотворных научных идей, в частности, он первым ввел понятие о рефлексе.

В 1637 г. Декарт издал большой философский трактат «Рассуждение о методе. С приложениями: Диоптрика, Метеоры, Геометрия» (русский перевод, Гостехиздат, М., 1953), в котором, в частности, систематически изложен метод прямолинейных координат, введена удобная алгебраическая символика, сохранившаяся до наших дней, выполнена классификация кривых на алгебраические и трансцендентные, а также даны способы построения касательных и нормалей к плоским алгебраическим кривым. Благодаря этой работе, которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие математики, Декарта, наряду с его не менее знаменитым соотечественником Ферма, и считают основоположником аналитической геометрии, а 1637 год - годом ее зарождения.

Пьер Ферма (Pierre de Fermat, 1601-1665) - известный французский математик. Родился в городке Бомон-де-Ломань, вблизи Монтобана, на Тарне (приток Гароны). По профессии юрист, с 1631 г. был советником парламента в г. Тулузе. Один из творцов теории чисел, в которой ему принадлежит несколько важных результатов, в частности так называемые большая и малая теоремы Ферма. В физике ему принадлежит основной принцип геометрической оптики, согласно которому свет всегда распространяется между двумя точками по такому пути, для преодоления которого необходимо затратить минимальное время. Большое внимание Ферма уделял также разработке основ дифференциального исчисления и аналитической геометрии. Он раньше и более последовательно, чем Декарт, разработал метод координат, а также вывел уравнение прямей и линий второго порядка. Но основные работы Ферма, в том числе и по аналитической геометрии, были опубликованы только в 1679 г. после его смерти сыном Самюэлем под заглавием «Различные математические работы д-ра Петра де Ферма, выбранные из его писем или к нему написанных по математическим вопросам и по физике ученейшими мужами на французском, латинском или итальянском языках». Наиболее полное собрание сочинений Ферма в трех томах издано видным специалистом по истории математики Полем Таннери в Париже в 1896 г.

Дальнейший существенный вклад в развитие этой науки внесли Исаак Ньютон (I. Newton, 1642-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (G.W. Leibnitz, 1646-1716) и Леонард Эйлер (L. Euler, 1707-1783), которые придали ей современную структуру. Сам термин аналитическая геометрия был предложен И. Ньютоном.

Перейдем к изложению метода координат, ограничиваясь при этом только двумерным (плоским) случаем.

Прямую линию, на которой указано положительное направление и единица масштаба (т.е. отмечены точки 0 и 1), называют числовой осью. На числовой оси каждому действительному числу соответствует одна и только одна точка. Возьмем на плоскости две числовые оси, пересекающиеся под прямым углом (рис. 1). Точку их пересечения будем считать началом отсчета для обеих осей и обозначим ее буквой О (от латинского origo - начало; отсюда и «оригинал», т.е. первоисточник, начало).

Вертикальная ось Оу называется осью ординат или осью у, а горизонтальная Ox - осью абсцисс или осью X. Всю плоскость эти две оси разбивают на четыре части, называемые квадрантами. Каждый квадрант имеет свой номер, как показано на рис. 2. Любую точку M плоскости можно определить двумя числами - расстояниями этой точки от координатных осей. Эти числа называются координатами данной точки. Число х называется абсциссой точки М, число у - ее ординатой. Так, например, на рис. 3 точка M₁ определяется координатами х = 3; у = 2, или сокращенно (3; 2), причем на первом месте всегда ставят абсциссу х, а на втором - ординату у.

Точки M₁ (3; 2) и М₂ (-3; 2), у которых ординаты совпадают, а абсциссы разнятся только знаками, называются точками, симметричными относительно оси у. Если представить, что вдоль оси у установлено зеркало, то отражение в нем точки М₁ дает точку, ей симметричную. В общем случае координаты точек М₁ (х1; у1) и М₂ (x₂, y₂) будут связаны соотношениями.

Рене Декарт

Пьер Ферма

Аналогично точки M₁ (3; 2) и М₄ (3; -2) симметричны относительно оси х.

В общем случае координаты точек M₁ (x₁; y₁) и М₄ (x₄, у₄) будут связаны соотношениями

Рис. 1

Рис. 2

Наконец, точки M₁(х₁; у₁) и M₃(x₃; y₃) с координатами, удовлетворяющими условиям x = - x₃; y₁ = - y₃, называются симметричными относительно начала координат или центрально симметричными.

2. Задачи, связанные с методом координат

Решим теперь методом координат некоторые наиболее типичные задачи.

Задача 1. Определить расстояние r от начала координат точки М (х; у) заданной своими координатами (рис. 3).

Рис. 3

Рис. 4

Решение. Данная задача сводится к вычислению гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого |х| и |у|. Согласно теореме Пифагора

или

(1)

причем значение корня берется арифметическое, т.е. только со знаком плюс.

Задача 2. Найти расстояние между двумя точками М₁(х₁, y₁) и М₂(x₂; у₂), заданными своими координатами (рис. 4).

Решение. В данном случае катеты треугольника M1M2P будут |x₂-x₁| и |y₂-y₁|, так что.

(2)

Заметим, что точки М₁ и М₂ могут лежать в любых квадрантах, т.е. знаки У x₁, x₂, y₁, y₂ могут быть как положительные, так и отрицательные. Таким образом, одной формулой (1.2) охвачены все частные случаи взаимного расположения точек.

Задача 3. Отрезок задан координатами своих концов M₁ (x₁; y₁) и m₂ (x₂; y₁). Найти точку М (х; у), которая делит данный отрезок на части, пропорциональные числам m и n.

Решение. Будем считать, что отрезок M₁M имеет m единиц, а отрезок MM₂, - n таких же единиц. Интересующие нас формулы найдем из подобия прямоугольных треугольников M₁M₂N₂ и М₁ММ (у которых стороны MN и M₂N₂ параллельны оси Оу, а следовательно, и между собой):

Решив это уравнение относительно х, имеем

(3)

в, аналогично,

(3')

В частности, для координат середины отрезка, для которого m = n, формулы упрощаются и принимают следующий вид:

(4)

Применение этих формул покажем на двух примерах: одном из механики, а другом из геометрии.

Отметим, что в задачах механики материальное тело часто заменяют одной надлежащим образом выбранной точкой, которой приписывается вес всего тела. Например, при расчете траектории искусственного спутника Луны ракета, Солнце, Земля и Луна рассматриваются как материальные точки.

Задача 4. Определить площадь S фигуры, ограниченной отрезком, соединяющим точки M₁ (x₁; y₁) и M₂ (x₂; y₂) ординатами его концов и осью х (рис. 5).

Решение. Рассматриваемая фигура есть трапеция. Ее площадь

Рис. 5

В данном случае h = x₂ - x₁, а m есть ордината средней точки отрезка М₁М₂, т.е.

Следовательно,

(5)

Задача 5. Определить площадь треугольника АВС, зная координаты его вершин.

Решение. Задачу легко привести к предыдущей, если рассматривать площадь треугольника как разность суммы площадей A'C'CA и C'B'BC и площади трапеции A'B'BA (рис. 6). В таком случае, вынося общий множитель 1/2 за скобки, имеем:

Рис. 6

Выполнив несложные преобразования, этой формуле легко придать следующий вид:

(6)

или, переходя к определителям второго порядка,

(7)

Площадь треугольника всегда считаем величиной положительной. Поэтому перед определителем берем знак плюс, если значение определителя положительно, и минус, если оно отрицательно. С этой же целью в формуле (6) применен знак модуля (который надо отличать от совпадающего с ним по начертанию знака определителя).

Литература

Выготский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: 1987.

Ефимов М.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: 1965.

История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. М.: 1972.

Размещено на Allbest.ru