Приближенные вычисления и оценка погрешностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

16

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский институт экономики, менеджмента и права

Реферат

по дисциплине:

«Высшая математика»

на тему:

«Приближенные вычисления и оценка погрешностей»

Выполнила: студентка

Янчук Людмила Александровна

Научный руководитель Питерцева Галина Александровна

Москва, 2000 год

План

Введение. Вычисления в современной науке и технике

1. Приближенные значения и погрешности приближений

2. Округление чисел. Погрешность округления

Заключение. Некоторые сведения о вычислительной технике

Литература

Введение. Вычисления в современной науке и технике

Измерения и вычисления с давних времен играют важную роль в жизни общества. Необходимость подсчитывать урожай, измерять емкость сосудов, размеры земельных участков, производить расчеты при строительстве крупных сооружений, выполнять различные астрономические расчеты -- вот неполный перечень задач, которые люди должны были решать еще в давние времена.

Одним из наиболее значительных событий последнего времени необходимо считать освоение человечеством космоса. Мы с волнением следим за полетами на Луну, Венеру, Марс, за созданием пилотируемых орбитальных станций. Запуск космического корабля был бы немыслим, если бы не был проведен точный расчет движения корабля, а для этого требуется выполнить колоссальную и сложную вычислительную работу.

В современный период, период научно-технической революции, роль математических методов все возрастает. Математические методы применяются не только в физике, но и в химии, биологии, медицине, экономике, истории и лингвистике

Большую вычислительную работу приходится выполнять математикам и инженерам в будничной, текущей деятельности промышленных предприятий, научных институтов, государственных учреждений, фермерских и коллективных хозяйствах.

Вычислительные методы в настоящее время широко применяются в экономических расчетах, в планировании работы отдельного предприятия, области и всего хозяйства страны.

Имеется много задач, в которых для получения численного результата требуются вычисления, превосходящие возможности одного человека. Расчет упругих напряжений в плотине, расчет сопротивлении, испытываемых самолетами при полете, или траекторий снарядов -- вот примеры таких задач. Десятки инженеров-вычислителей, используя различные вычислительные машины, выполняют эту сложную вычислительную работу.

Появление ЭВМ вызвало революцию в технике вычислений. Но для того чтобы довести решение математических задач до этапа, после которого они могут быть переданы на вычислительную машину для получения численных результатов, необходим тоже труд многих вычислителей. Создание ЭВМ стимулировало развитие самой математики, особенно ее прикладных направлений, вычисления теперь играют не вспомогательную, а основную роль во многих научных и технических достижениях. Во всех случаях, когда нужно довести до конца решение какой-либо математической задачи практического характера, необходимо получить численный результат. Если исходные данные приближенные, то нельзя добиться любой степени точности результата. Надо уметь оценивать точность исходных данных, а также определять, какая точность результата может быть достигнута и какая точность результата нужна при практическом использовании полученных численных результатов. В одних вычислениях требуется получить результат с очень большой точностью, а в других такая точность не требуется. Отсюда ясно, что нужно организовывать вычисления так, чтобы получать результаты с требуемой точностью при минимальной затрате вычислительного труда.

Для достижения этой цели необходимо:

изучить принципы и правила вычислений с приближенными данными;

овладеть необходимыми навыками рациональных вычислений с помощью доступных средств, к которым относятся различные приемы устных вычислений, математические таблицы, конторские счеты, счетные логарифмические линейки, арифмометры, полуавтоматические и автоматические вычислительные машины.

1. Приближенные значения и погрешности приближений

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, учитывать материалы и продукты труда, производить различные вычисления. Результатами различных измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Числа, полученные в результате измерения, лишь приблизительно, с некоторой степенью точности характеризуют искомые величины. Точные измерения невозможны ввиду неточности измерительных приборов, несовершенства наших органов зрения, да и сами измеряемые объекты иногда не позволяют определить их величину с любой точностью.

Так, например, известно, что длина Суэцкого канала 160 км, расстояние по железной дороге от Москвы до Ленинграда 651 км. Здесь мы имеем результаты измерений, произведенных с точностью до километра. Если, например, длина прямоугольного участка 29 м, ширина 12 м, то, вероятно, измерения произведены с точностью до метра, а долями метра пренебрегли,

Прежде чем произвести какое-либо измерение, необходимо решить, с какой точностью его нужно выполнить, т.е. какие доли единицы измерения надо при этом принять во внимание, а какими пренебречь.

Если имеется некоторая величина а, истинное значение которой неизвестно, а приближенное значение (приближение) этой величины равно х, то пишут а х.

При различных измерениях одной и той же величины будем получать различные приближения. Каждое из этих приближений будет отличаться от истинного значения измеряемой величины, равного, например, а, на некоторую величину, которую мы будем называть погрешностью. Определение. Если число x является приближенным значением (приближением) некоторой величины, истинное значение которой равно числу а, то модуль разности чисел, а и х называется абсолютной погрешностью данного приближения и обозначается _ax: или просто _a. Таким образом, по определению,

_ax = a-x (1)

Из этого определения следует, что

a = x _ax (2)

Если известно, о какой величине идет речь, то в обозначении _ax индекс а опускается и равенство (2) записывается так:

a = x x (3)

Так как истинное значение искомой величины чаще всего бывает неизвестно, то нельзя найти и абсолютную погрешность приближения этой величины. Можно лишь указать в каждом конкретном случае положительное число, больше которого эта абсолютная погрешность быть не может. Это число называется границей абсолютной погрешности приближения величины a и обозначается h_a. Таким образом, если x -- произвольное приближение величины а при заданной процедуре получения приближений, то

_ax = a-x h_a (4)

Из сказанного выше следует, что если h_a является границей абсолютной погрешности приближения величины а, то и любое число, большее h_a, также будет границей абсолютной погрешности приближения величины а.

На практике принято выбирать в качестве границы абсолютной погрешности возможно меньшее число, удовлетворяющее неравенству (4).

Решив неравенство a-x h_a получим, что а заключено в границах

x - h_a a x + h_a (5)

Более строгое понятие границы абсолютной погрешности можно дать следующим образом.

Пусть X -- множество всевозможных приближений х величины а при заданной процедуре получения приближении. Тогда любое число h, удовлетворяющее условию a-x h_a при любом хХ, называется границей абсолютной погрешности приближений из множества X. Обозначим через h_a наименьшее из известных чисел h. Это число h_a и выбирают на практике в качестве границы абсолютной погрешности.

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1 см какую-либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет плохая точность. Если же с точностью до 1 см определить длину или ширину волейбольной площадки, то это будет высокая точность.

Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности.

Определение. Если _ax: есть абсолютная погрешность приближения х некоторой величины, истинное значение которой равно числу а, то отношение _ax к модулю числа х называется относительной погрешностью приближения и обозначается _ax или x.

Таким образом, по определению,

(6)

Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает размерной величиной, относительная погрешность является безразмерной величиной.

На практике рассматривают не относительную погрешность, а так называемую границу относительной погрешности: такое число Е_a, больше которого не может быть относительная погрешность приближения искомой величины.

Таким образом, _ax Е_a.

Если h_a -- граница абсолютной погрешности приближений величины а, то _ax h_a и, следовательно,

(7)

Очевидно, что любое число Е, удовлетворяющее условию , будет границей относительной погрешности. На практике обычно известны некоторое приближение х величины а и граница абсолютной погрешности. Тогда за границу относительной погрешности принимают число

(8)

2. Округление чисел. Погрешность округления

При выполнении вычислений часто возникает необходимость в округлении чисел, т.е. в замене их числами с меньшим количеством значащих цифр.

Существуют три способа округления чисел:

Округление с недостатком до k-й значащей цифры состоит в отбрасывании всех цифр, начиная с (k+1)-й.

Округление с избытком отличается от округления с недостатком тем, что последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Округление с наименьшей погрешностью отличается от округления с избытком тем, что увеличение на единицу последней сохраняемой цифры производится лишь в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр больше 4.

Исключение: если округление с наименьшей погрешностью сводится к отбрасыванию только одной цифры 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.

Из вышеуказанных правил округления приближенных чисел следует, что погрешность, вызываемая округлением с наименьшей погрешностью, не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда, а при округлении с недостатком или с избытком погрешность может быть и больше половины единицы последнего сохраняемого разряда, но не более целой единицы этого разряда.

Рассмотрим это на следующих примерах.

1. Погрешность суммы. Пусть x -- некоторое приближение величины а, у -- некоторое приближение величины b. Пусть х и у -- абсолютные погрешности соответствующих приближений х и у. Найдем границу абсолютной погрешности h_a+b суммы х+у, являющейся приближением суммы а+b.

Имеем

a = x + х,

b = y + y.

Сложим эти два равенства, получим

a + b = x + y + х + y.

Очевидно, что погрешность суммы приближений x и у равна сумме погрешностей слагаемых, т.е.

(x + y) = x + y

Известно, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых. Поэтому

(x + y) = x + y x + y

Отсюда следует, что абсолютная погрешность суммы приближений не превышает суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Следовательно, за границу абсолютной погрешности суммы можно принять сумму границ абсолютных погрешностей слагаемых.

Обозначив границу абсолютной погрешности величины а через h_a, а величины b через h_b будем иметь

h_a+b = h_a + h_b

2. Погрешность разности. Пусть х и у -- погрешности приближений x и у соответственно величин a и b.

Тогда

a = x + х,

b = y + y.

Вычтем из первого равенства второе, получим

a - b = (x - y) + (x - y)

Очевидно, что погрешность разности приближений равна разности погрешностей уменьшаемого и вычитаемого, т. е.

(x - y) = x - y),

или

(x - y) = x + (-y)

А тогда, рассуждая так же, как в случае сложения, будем иметь

(x - y) = x + (-y) x + y

Отсюда следует, что абсолютная погрешность разности не превышает суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

За границу абсолютной погрешности разности можно принять сумму границ абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Таким образом.

h_a-b = h_a + h_b (9)

Из формулы (9) следует, что граница абсолютной погрешности разности не может быть меньше границы абсолютной погрешности каждого приближения. Отсюда вытекает правило вычитания приближений, применяемое иногда при вычислениях.

При вычитании чисел, являющихся приближениями некоторых величин, в результате следует оставить столько цифр после запятой, сколько их имеет приближение с наименьшим числом цифр после запятой.

3. Погрешность произведения. Рассмотрим произведение чисел х и у, являющихся приближениями величин a и b. Обозначим через x погрешность приближения х, а через у -- погрешность приближения у,

Имеем

a = x + х,

b = y + y.

Перемножив эти два равенства, получим

Абсолютная погрешность произведения ху равна

И поэтому

Разделив обе части полученного неравенства на ху, получим

Учитывая, что модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, будем иметь

Здесь левая часть неравенства представляет собой относительную погрешность произведения ху, -- относительную погрешность приближения х, а -- относительную погрешность приближения у. Следовательно, отбрасывая здесь малую величину , получим неравенство

Таким образом, относительная погрешность произведения приближений не превышает суммы относительных погрешностей сомножителей. Отсюда следует, что сумма границ относительных погрешностей сомножителей является границей относительной погрешности произведения, т.е.

E_ab = E_a + E_b (10)

Из формулы (10) следует, что граница относительной погрешности произведения не может быть меньше границы относительной погрешности наименее точного из сомножителей. Поэтому здесь, как и в предыдущих действиях, не имеет смысла сохранять в сомножителях излишнее количество значащих цифр.

Иногда при вычислениях для сокращения объема работы полезно руководствоваться следующим правилом: При умножении приближений с различным числом значащих цифр в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет приближение с наименьшим числом значащих цифр.

4. Погрешность частного. Если x -- приближение величины а, погрешность которого x, а у -- приближение величины b с погрешностью y, то

Вычислим сначала абсолютную погрешность частного:

а затем относительную погрешность:

Принимая во внимание, что y мало по сравнению с y, абсолютную величину дроби можно считать равной единице. Тогда

из последней формулы вытекает, что относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя. Следовательно, можно считать, что граница относительной погрешности частного равна сумме границ относительных погрешностей делимого и делителя, т.е.

5. Погрешность степени и корня. 1) Пусть u = aⁿ, где n -- натуральное число, и пусть а х. Тогда, если E_a -- граница относительной погрешности приближения x величины a, то

и поэтому

Таким образом, граница относительной погрешности степени равна произведению границы относительной погрешности основания на показатель степени, т.е.

E_u = n E_a (11)

2) Пусть , где n -- натуральное число, и пусть ах.

По формуле (11)

и, следовательно,

погрешность вычитаемый вычисление

Таким образом, граница относительной погрешности корня n-й степени в n раз меньше границы относительной погрешности подкоренного числа.

6. Обратная задача приближенных вычислений. В прямой задаче требуется найти приближенное значение функции u=f(х,у,…,n) по данным приближенным значениям аргументов

и границу погрешности h_a, которая выражается через погрешности аргументов некоторой функции

h_u = (h_x, h_y, …, h_z) (12)

На практике нередко приходится решать и обратную задачу, в которой требуется узнать, с какой точностью должны быть заданы значения аргументов х, у, …, z, чтобы вычислить соответствующие значения функции u = f(х, у, …, z) с наперед заданной точностью h_u.

Таким образом, при решении обратной задачи искомыми являются границы погрешностей аргументов, связанные с заданной границей погрешности функции h_u уравнением (12), и решение обратной задачи сводится к составлению и решению уравнения h_u = (h_x, h_y, …, h_z) относительно h_x, h_y, …, h_z. Такое уравнение или имеет бесконечное множество решений, или совсем не имеет решений. Задача считается решенной, если найдено хотя бы одно решение такого уравнения.

Для решения обратной задачи, которая часто бывает неопределенной, приходится вводить добавочные условия об отношениях искомых погрешностей, например считать их равными и тем самым сводить задачу к уравнению с одним неизвестным.

Заключение. Некоторые сведения о вычислительной технике

В зависимости от точности исходных данных и целей проведения вычислений пользуются различными вычислительными средствами. Работникам многих массовых профессий значительно облегчают расчеты и позволяют экономить время и труд на производство различных вычислений русские счеты, счетные логарифмические линейки, арифмометры и всевозможные карманные и настольные электронные вычислители (микро- и миникалькуляторы).

К классу миникалькуляторов в настоящее время в нашей стране относятся семейство электронных настольных калькуляторов «Искра» и семейство калькуляторов «Электроника», в которое входит и несколько типов карманных калькуляторов. По очевидным причинам эти калькуляторы морально устарели, но, тем не менее, это единственные модели, выпускаемые отечественной промышленностью.

Машины семейств «Электроника» и «Искра» предназначены главным образом для решения несложных инженерных» бухгалтерских и учетных задач с точностью порядка 8--10 значащих цифр. Во многих из них предусмотрена возможность автоматического вычисления значений элементарных функций и имеются элементы программного управления.

С быстрым ростом технической оснащенности нашей промышленности и сельского хозяйства, с развитием науки все более и более увеличивается потребность во всевозможных вычислениях. Располагая быстродействующими электронными вычислительными машинами (ЭВМ) исследователь теперь может решать такие задачи, которые раньше даже не ставились, поскольку их решение требовало слишком много времени.

Электронные вычислительные машины применяются, например, для численного решения уравнений. Первые вычислительные машины разрабатывались именно для такого рода вычислений.

В настоящее время ЭВМ с успехом используются для управления технологическими процессами. Если управление быстропротекающим процессом требует сложных вычислений, основанных на данных, получаемых в ходе этого процесса, то без ЭВМ подобная задача была бы вообще неосуществима.

Литература

Алгебра и начала анализа. Ч. 1. Под ред. Г.Н. Яковлева. - М.: Наука, 1981. 336 с.

Выготский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: 1987.

Введение в метрологию. Тюрин Н.И., М., Изд-во стандартов, 1976, 304 с.

Размещено на Allbest.ru

...