Геометричне моделювання базисів гексагональних скінчених елементів

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. В проектуванні, машино-, судно- та авіабудуванні, при розрахунках конструкцій-носіїв і тепло-навантажених елементів машин, апаратів, споруд існує велика кількість задач, пов'язаних з розрахунками стаціонарних фізичних полів: температурних, електромагнітних, міцнісних. Задачі аналізу фізичних процесів в ядерних реакторах (обчислення теплопровідності та нейтронної дифузії) є актуальними і для України.

В багатьох випадках інженерна постановка задачі вимагає перехід від дискретної форми уявлення образу до неперервного. З геометричної точки зору задачі інтерполяції пов'язані з пошуком гладких кривих або поверхонь, що проходять через множину точок і ліній, такі задачі є типовими задачами прикладної геометрії. Технології відновлення функцій відіграють значну роль при розробці методів аналітичного опису поверхонь різних предметів та об'єктів. Так, одним з перспективних напрямків розвитку сучасного машинобудування є відновлення поверхонь за результатами обміру на координатно-вимірювальних машинах при застосуванні методу сіток.

Широке впровадження ЕОМ в практику технічних та наукових розрахунків сприяло розвитку обчислювальних методів відновлення функцій, орієнтованих на ЕОМ: методу скінчених різниць (МСР), методу скінченних елементів (МСЕ), методу контрольних об'ємів (МКО), методу Монте-Карло. В основі МСЕ, а також при застосуванні методу сіток для відновлення обмірних поверхонь, лежить розбиття досліджувальної області на піделементи простої геометричної форми: трикутні, прямокутні, квадратні скінченні елементи (СЕ), на яких невідома функція апроксимується, як правило, поліноміальною функцією. Вибір для кожного елемента апроксимуючої функції (базисної функції (БФ)) буде визначати відповідний тип елемента. Великий інтерес в плані наукових досліджень являє собою елемент в формі гексагона, який має ряд переваг у порівнянні з іншими елементами: дозволяє покривати область без пропусків і накладок; при застосуванні стільникової сітки для однієї і тієї ж конфігурації області необхідно менше вузлів, ніж при трикутній сітці; одна шестикутна комірка може замінити декілька трикутних, що дозволяє знизити розмірність задачі. Гексагональна структура, на відміну від чотирикутної та трикутної, займає більшу площу при фіксованому периметрі, забезпечуючи при цьому найбільшу місткість і міцність за найменших витрат. Проблема оснащення шестикутних носіїв підходящим інтерполяційним унітарним базисом є актуальною для аналізу полів з “стільниковою” геометрією. Спроба побудувати стандартний шестипараметричний поліном типу Лагранжа матричним методом приводить до системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) шостого порядку з виродженою матрицею. Обійти проблему сингулярності матриці вдалося, застосувавши геометричне моделювання. На даний момент гексагональний елемент має обмежений набір альтернативних базисів, серед яких лише один є поліноміальним. Крім того, даному набору БФ притаманні ряд недоліків: порушення вагового балансу, осциляції на границі та ін.

Отже актуальними є питання пошуку, дослідження та впровадження можливостей побудови оптимального базису гексагона, який би задовольняв всім інтерполяційним властивостям і давав найбільш точні результати, а також удосконалення альтернативних поліноміальних функцій форми гексагона за допомогою геометричних методів.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є побудова нових поліноміальних базисних функцій на гексагональному дискретному елементі для відновлення поверхонь заданих точковим базисом на стільниковій сітці або для моделювання стаціонарних фізичних полів на гексагональних дискретних елементах.

Для досягнення поставленої мети сформульовані наступні задачі:

- встановити та дослідити зв'язки між сітковими методами;

- провести геометричний аналіз базисних функцій трикутних та чотирикутних скінченних елементів;

- побудувати за допомогою геометричного моделювання поліноміальні гексагональні базисні функції;

- удосконалити відомі базисні функції (отримання нових дробово-раціонального та синтетичного базисів);

- встановити імовірнісний критерій гармонічності базисних функцій; перевірити базисні функції на гармонічність за допомогою диференціального критерію Лапласа, а також інтегральних критеріїв Кьобе й Привалова;

- провести порівняння інтерполяційних якостей нових альтернативних моделей;

- сформулювати та розв'язати модельні задачі на розподіл температури в гексагональній, круглій пластинах та прямій призмі з шестикутним перерізом; дати інтерпретацію отриманим результатам; здійснити практичне впровадження результатів дослідження.

Об'єктом дослідження є гексагональний скінченний елемент.

Предметом дослідження є геометричне, алгебраїчне та комп'ютерне моделювання базисних функцій на гексагональних дискретних елементах; імовірнісні властивості цих функцій.

1. Передумови та етапи розвитку геометричного моделювання; наведено огляд та геометричні моделі дискретних методів, які дозволяють розв'язувати задачу відновлення функції, а саме МСР, МСЕ, методу Монте-Карло

МСР - один з перших наближених методів розв'язання диференціальних рівнянь, дозволяє аналітично описувати дискретні геометричні образи. Одне з перших застосувань МСР для розв'язання рівняння Лапласа з граничними умовами Діріхле пов'язують з появою обчислювального шаблона “хрест”. Використовуючи дані СР-аналогів розв'язок рівняння Лапласа для двовимірного випадку (схема прямий “хрест”) може бути представлений в дискретній формі:

, (1)

де h - крок дискретизації.

Коефіцієнт в (1) вказує на взаємозв'язок між МСР, де є ваговим коефіцієнтом в чотирьохвузловому СР-аналогу рівняння Лапласа, та методом Монте-Карло, де є перехідною ймовірністю в схемі випадкових блукань з квадратними комірками. Серед великого різноманіття шаблонів помітне місце займає семивузловий шаблон, який побудований на гексагоні; він дає найбільш точні результати завдяки більшій вибірки даних. Здатність усереднення не залежить від конфігурації і розмірів шаблона, тому вищезазначена аналогія буде характерна для будь-яких правильних многокутників. При переході від вихідної задачі до її різницевого аналогу важливим є етап вибору сітки і побудова скінченних різниць. Найбільш поширеними є топологічно правильні сітки з трикутними та чотирикутними комірками. До таких сіток відносяться і стільникові сітки.

На скінченному елементі (СЕ), в МСЕ, апроксимуюча функція задається локально, тому кожний елемент можна вважати ізольованим від системи і апроксимувати функцію на цьому елементі за допомогою його вузлових значень. Наближений розв'язок скінченно-елементної моделі на окремому СЕ визначається за допомогою інтерполюючого співвідношення:

, (2)

де n - кількість вузлів на СЕ, - значення функції в вузлових точках СЕ, - спеціальні інтерполюючі функції - БФ. Інтерполяційна гіпотеза типу Лагранжа, що повинна виконуватися для функції , полягає в тому, що апліката поверхні БФ повинна дорівнювати 1 у вузлі i елемента, і обертатися в нуль в інших вузлах. В деяких задачах важливим є збереження геометричної ізотропії, що гарантує можливість перетворення рівняння для елемента з локальної системи координат в глобальну без порушення умов збіжності. При вилученні з поліномів деяких членів збереження геометричної ізотропії досягається шляхом виключення симетричних пар, які не вносять несиметричності по відношенню до тієї чи іншої певної вісі.

МСЕ “не любить” гострих кутів і дуже тонких елементів. Як правило вихідна область розбивається на трикутні, прямокутні та квадратні СЕ, БФ на яких будуються методами матричної алгебри. Традиційні матричні методи далеко не завжди справляються з задачею побудови БФ, особливо коли лінійна незалежність СЛАР відсутня. Сингулярні матриці виникли в МСЕ на гексагональних СЕ, що привело до непереборних труднощів. Формула (2) є досить змістовною: з точки зору геометрії базисні функції є аплікатами поверхні в будь-яких точках носія; з позицій методу Монте-Карло інтерполююче співвідношення (2) має вигляд математичного сподівання, де БФ відіграють роль перехідних ймовірностей в однокрокових схемах випадкових блукань по СЕ, що дуже важливо для методів типу Монте-Карло, т.б. інтерполяційний поліном на елементі - це середня винагорода за вихід блукаючої частинки у граничний вузол елемента. Геометрична та імовірнісна інтерпретації базисних функцій СЕ дали можливість застосовувати геометричні та імовірнісно-геометричні підходи в задачах відновлення функцій на гексагональних СЕ.

2. Загальна методика та основні методи дослідження

Розглянуто алгебраїчний, геометричний та імовірнісно-геометричний методи побудови базисних функцій на трикутних, чотирикутних СЕ різних порядків. При використанні геометричного підходу можна обійти проблему сингулярності матриці, уникнути перетворень матриць n-го порядку, зробити процедуру конструювання БФ “відкритою”. Моделювання базису розпочинається з побудови геометричних композицій із простих піделементів з спільною вершиною в обраному вузлі і. В 1975 році Уачспресс запропонував використовувати при побудові БФ метод заснований на добутку площин. При побудові БФ СЕ третього порядку для проміжних вузлів, наприклад для функції , яка асоціюється з вузлом 4, поверхня третього порядку отримується в результаті композиції трьох площин, дві з яких проходять через точку (х4;у4;1) і сторони трикутника, до яких не належить вузол 4, а третя через точку (х4;у4;1) та вузли (х5;у5;0), (х10 ;у10;0), (х8;у8;0) . Таким чином,

,

де - барицентричні координати симплекса 1,2,3.

Використання геометричної ймовірності і правила множення ймовірностей незалежних випадкових подій значно спрощує процедуру побудови БФ для елементів вищих порядків. Автором отримані функції форми для трикутного СЕ 4-го порядку. Для побудови БФ треба спочатку розбити СЕ n-го порядку на n простих елементів, що мають спільну вершину i.

Лишається скористатися правилом множення ймовірностей незалежних випадкових подій:

.

Таким чином, БФ функції трикутного СЕ 4-го порядку мають вигляд:

Аналіз структури базисних функцій лінійних, квадратичних лагранжевих трикутних СЕ та трикутних СЕ вищих порядків показав, що при збільшенні порядку трикутного СЕ буде збільшуватися кількість площин, що формують БФ, ці площини будуть проходити через спільну точку та інші вузли, окрім вузла, для якого будується БФ, і формувати таким чином в'язки площин. Отже, кількість площин у в'язці визначається порядком трикутного елемента. Крім того, кожна БФ залежить від трьох барицентричних координат: .

При геометричному моделюванні існує альтернатива вибору піделементів (площин, поверхонь), з яких конструюється поверхня БФ.

Еквівалентність БФ геометричним ймовірностям дає можливість отримати набір БФ для біквадратичного СЕ, який співпадає з БФ побудованими геометрично. Ця ідентичність свідчить про еквівалентність матричних, геометричних та імовірнісно-геометричних методів.

Традиційно метод побудови базису СЕ полягає в визначенні для кожної вершини і шестипараметричного полінома:

, () (3)

На початку 80-х років японські вчені намагалися побудувати БФ у вигляді (3), але матриця СЛАР 6х6 виявилася виродженою, внаслідок, як вважають, надлишкової симетрії правильного шестикутника. Зрозуміло, що цю проблему можна було вирішити лише шляхом геометричного моделювання. Вперше проблема побудови БФ гексагона за допомогою геометричних методів була розглянута Ішігуро, який використав ідею Уачспресса (1975р.), апробовану на інших елементах. Якщо розглянути гексагон, вписаний у коло одиничного радіусу, то для побудови наприклад БФ вузла 1 будуть використані рівняння сторін гексагона, що не включають вузол 1, та рівняння “зовнішніх діагоналей” - прямих АВ і АС.

Ішігуро запропонував метод був заснований на ідеї використання добутку площин, що проходять через точку (хі,уі,1) та протилежну сторону трикутника. Функція для вузла 1 має вигляд:

Але побудовані системи функцій Уачспресса та Ішігуро є недосконалими внаслідок наявності вагового дисбалансу, і тому не можуть бути використані в якості інтерполяційних базисів. Недолік системи функцій був виправлений японськими вченими шляхом введення в знаменник функціонального множника. З геометричної точки зору ваговий дисбаланс ліквідується за рахунок стиснення поверхні до площини z = 0 зі змінним коефіцієнтом стиснення . Функція для вузла 1 має вигляд:

. (4)

Даний ДРБ (4) повністю задовольняє інтерполяційним умовам, спостерігається лінійна поведінка функції на границі гексагона. Однак, головним недоліком дробово-раціональних функцій є погано контрольовані похибки чисельного інтегрування. Бажання позбавитися цього недоліку спонукало дослідників до пошуку поліноміального базису (ПБ) на гексагоні (Хомченко А.Н., 1986р).

Існує потреба мінімізувати відхилення на границі гексагона, тим самим покращити інтерполяційні властивості базису. Крім того, для даної функції характерний парадоксальний результат, який був виявлений в процесі тестування: гармонічна за Приваловим функція не є гармонічною за Лапласом. Отже, існує потреба в пошуку гексагональних поліноміальних БФ, які б були позбавлені вищезазначених недоліків.

3. Критерії гармонічності для гексагональних БФ

Класичні теореми Кьобе і Приавлова (традиційні критерії гармонічності) доведені для кола та круга, але класичний результат не має відношення до МСР, МСЕ, т.я. колові сітки або СЕ у формі круга не використовуються. В роботі доведено, що ідея класичних теорем зберігається на трикутних, квадратних, гексагональних носіях.

Для функції двох аргументів рівняння Лапласа (диференціальний критерій) має вигляд:

, (5)

Встановлено, що головним недоліком диференціального критерію гармонічності функцій є завищені вимоги до функції: шукана функція повинна бути двічі диференційована, що не завжди можливо, досліджувальна область - опукла, її границі гладкі, граничні умови - неперервні. Інтегральний критерій чутливий до форми границі СЕ. Тому необхідно вводити поняття гармонічності за Приваловим і за Лапласом окремо. За допомогою інтегрального критерію гармонічності функції встановлено зв'язок між дискретними методами. Наприклад, в МСР, МСЕ, методі Монте-Карло розрахункові формули являють собою зважене усереднення вузлових значень, крім того дозволяють розглядати задачі з областями складної форми при дискретно заданій граничній інформації.

Введено поняття квазігармонічної БФ гексагона, як функції, яка витримує тестування на гармонічність хоча б за одним критерієм.

Введено дискретний аналог інтегрального критерію гармонічності для гексагона. При проведенні комп'ютерних експериментів з випадковими блуканнями на гексагоні були виявлені цікаві особливості сукупності точок Мк (), для яких спостерігалася наступна властивість - сума перехідних ймовірностей з цих шести точок Мк () в конкретний вузол стійко коливалася біля одиниці:

,

де n - загальна кількість частинок, що приймали участь у експерименті; ni - кількість частинок, що потрапили у вершину і; і - номер вершини, куди переходять частинки з шести стартів; k - номер старту.

Вперше була сформульована гіпотеза, яка дозволила виявити нові властивості БФ. Встановлені нові властивості можуть бути використані як і ще один критерій гармонічності функції. Сукупність точок Мк () будемо називати опорними вузлами, на які спирається поверхня БФ.

Висновки

базисний геометричний поліноміальний гексагональний

В дисертації на основі проведених досліджень розв'язана важлива науково-технічна задача побудови альтернативних гексагональних моделей на основі вдалого поєднання геометричного, алгебраїчного та експериментального методів.

Значення для науки полягає у подальшому розвитку геометричних та комбінації геометричних, алгебраїчних та емпіричних методів побудови БФ.

Значення для практики досліджень полягає в одержанні каталогу базисів для гексагонального СЕ, що дозволяє вирішувати питання оптимізації якісних і кількісних показників в конкретних задачах.

При цьому отримані результати, що мають науково-практичну цінність.

1. Встановлено, що використання геометричного моделювання у поєднанні з аналітичними та експериментальними підходами дозволяє вирішити актуальну проблему побудови базисів для гексагонального елемента. Графічна інформація, що отримана під час комп'ютерної візуалізації, допомагає виявити переваги та недоліки сконструйованих геометричних моделей.

2. Отримали подальший розвиток геометричний та імовірнісно-геометричний методи побудови базисних функцій на скінченних елементах. Встановлено, що використання імовірнісно-геометричних та геометричних підходів дозволяє будувати раніше відомі і нові БФ на СЕ, уникаючи побудови і розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

3. Вперше створена методика побудови нових поліноміальних базисів гексагона, що заснована на конструктивному використанні спеціальних вузлів всередині носія. Встановлені імовірнісно-геометричні властивості аплікат базисної функції в цих опорних вузлах дозволяють керувати в розумних межах формою поверхні базисної функції.

4. Створено каталог альтернативних базисних функцій гексагона. Поєднання геометричних, алгебраїчних та експериментальних підходів дає можливість будувати альтернативні моделі. За допомогою усереднення альтернативних моделей вирішується питання оптимізації якісних та кількісних показників.

5. Вперше встановлено імовірнісний зміст інтегрального критерію гармонічності Кьобе, на основі якого сформульовані і розв'язані нові імовірнісні задачі на квадратах з білінійною інтерполяцією, а саме отримання прискорених схем випадкових блукань в мультиплексу з багатьма стартами. Мова йде про випадкове вкладання геометричних об'єктів (відрізка, n-кутника) в скінченний елемент, в цьому випадку вершини n-кутників розглядаються як точки старту одночасних випадкових блукань частинок. Ці дослідження виявили нові властивості білінійних функцій.

6. Побудовані нові моделі базисних функцій для призматичного тривимірного елемента з гексагональними перерізами з 12-ма вузлами та 18-ма вузлами.

Література

1. Хомченко А.Н., Моисеенко С.В. Лагранжева модель потенциального поля // Научно-техн. журнал “Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы”. - 2005. - №1(15). - С. 6 - 9.

2. Моисеенко С.В., Хомченко А.Н. Многочлены с нулевым средним и приближенное интегрирование // Вестник Херс. нац. техн. ун-та. - Херсон: ХНТУ, 2005. - №1(21). - С. 400 - 402.

3. Моисеенко С.В., Хомченко А.Н. Интерполяционная гипотеза Ньютона и базис Лагранжа // Вестник Херс. нац. техн. ун-та. - Херсон: ХНТУ, 2005. - №2(22). - С. 216 - 218.

4. Хомченко А.Н., Моисеенко C.B. Диагностика синтетических базисов гексагона // Інтелектуальні системи прийняття рішень та прикл. аспекти інфор. технологий: Зб. наук праць. - Євпаторія, 2005. - Т.3 - С. 160 - 162.

5. Хомченко А.Н., Моисеенко С.В. Квазигармонические базисы конечно-элементной интерполяции// Новые информационные технологии в учебных заведениях: Зб. праць Міжнар. конф. пам'яті проф. І.І. Мархеля. Одеса: Астропринт, 2005. - С.173 - 175.

6. Хомченко А.Н., Моисеенко С.В., Николаенко Ю.И. Моделирование полиномиального базиса гексагона // Питання прикладної математики і математичного моделювання: Зб. наук. праць. - Дніпропетровськ: ДНУ, 2006. - С. 242 - 249.

7. Моисеенко С.В. Неклассические базисы гексагона и правило центрального интегрирования // Геом. та комп'ютерне моделювання. - Харків: ХДУХТ, 2006.- Вип.14. - С. 111 - 116.

Размещено на Allbest.ru